一道高考题的解法探讨与教学启示——2010年高考数学福建卷文科第16题

一
的 关注 ．在 近 几 年 的高 考 中考 查 归纳 、类 比的试 题 时有 出现 ，成 为近 几年 高考 的一 个亮 点 ． 命题 意 图 本题 以三 角公 式为 背景 ，考查 学 生运
用 知识 分析 、解 决实 际 问题 的能力 ．
３ ｏ ２ｃ ｓ
＋ １：
⑤ ＣＳ０ ＝ｍＣＳ Ｏ１０ ＂ Ｏ 口一 ２０ｏ ＋１２ ＣＳ １８ ｃｓ １０Ｏ６
定 系数 法 等基 本 数 学 方法 ．二是 在 探 究视 角 下 的考
示例三 已知 ｛ ｝ ａ 是各项均为实数的等差数列 ，
公 差 ｄ≠０，它 的前 ｒ 和为 ， ／ 项
ｒ １
集 ＝ ） ∈ ’， 合Ａ ｛ Ｌ （ ， ｆ Ｎ｝
， ？ Ｊ
ｒ
＝
１
有 限 的资料 作 归 纳整 理 ，提 出带有 规律 性 的认 识 ， 运 用合 情推 理 来解 决 ．从 解 题 角度 分析 的两种 解 法 应是 考 生在 考 场 中解 决该 题 的有效 、 高效 方法 ，而 从教 学 角 度分 析 的解 法 则不 宜在 考 场 有 限 的时 间 内 应 用 ，但 可 用作 高 三复 习教 学 ． 本题 亦可直 接设 问 ： ＣＳ０ 若 Ｏ１ａ＝ｍＣＳ 一１８ Ｏ ａ ２０
、
｛ ，）ｑ Ｙ ＝ ， Ｙ Ｒ｝ Ｌ Ｙｌ ÷ （ １ ∈ ｊ 一 ， ．
查 ，通 过对 已经掌握 的数 学知识 、方法 进行推广 和拓
展 ，对未 知的数 学领 域 ，通过 探索得 到新 的结 果 ．对 新 颖 的信 息、情境和 设 问，能选 择有效 的方法 和手段 分析 信息 ，并学会 综合与灵 活运 用所学 的数学知识 、
＋ｎｃ ｓ ｏ ＋ＰＣ Ｓ Ｏ 口 一１．
．
— —
可 以推 测 ， ｍ— ＋ ｎ ｐ＝
背景分析 合情推理是 普通高ａｕｅ 课程标准 ｇ ＃ （ 实验） （ 简称为 课标 ＞ ｖＴ ） Ａ ）背景下数学选修课程 的 内容 ．归纳 和类 比是 合情 推 理常 用 的思 维 方法 ，
Ｃ Ｓ ａ＋１２ ｃ ｓ ａ＋１ Ｏ Ｏ １０ ｏ ７ Ｓ ａ＋ｐｃ ｓ ａ一１ 贝 ｍ一， Ｃ ｏ ， ｚ ＋Ｐ＝
识 分析 问题 与解 决 问题 的能力 ，考查 学 生发 现新 知 识 的能力 ， 课 标 》在推理 与证 明部 分设 计 了合 情推 理 的 内容 ，要 求学 生通 过 运 用合 情推 理 探索 与 发现 数 学 结论 和 思路 ，体会 合 情推 理 在 数学 发现 中 的作 用 ．而培 养学 生 的合情推 理能 力是 一项 长期 的工作 ， 它 不 可能 在 一天 、 几天 、甚至 几 个 月 内完 成 ，需 要 教 师 持之 以恒 、循 序渐 进 ，并在 所 有 的数 学教 学 活 动 中具 有培 养 学 生合情 推 理 能 力 的意识 ．因此 ，在 教 学活 动 中 ，应 当把 培 养学 生 的合 情 推理 能 力作 为 明确 的教 学 目标 ，同时 辅 助 以相应 的数 学素 材 和教 学 设计 ，使 这 个 目标 得 到落 实 ，让 合 情推 理 能 力 的 培 养贯 穿于 教 学 的始终 ，使 学 生 形成 一 种 良好 的合
思想和 方法 ，进 行独立 的思考 和探究 ，提 出解决 问题
（Ｉ ）若 以集 合 的元 素作 为点 的坐标 ，求 证 ： 这些 点在 同一条 直线 上 ，并 写 出该直 线 方程 ．（ ｑ 用
表示 ）
（ Ⅱ）当 ａ ≠０时 ，一 定有 ｎＢ≠ 吗？ 如果 正 １
的思路 ，从 而创造性 地解决 问题 ． 总 之 ，纵 观近 年来 的 高考课 标试 卷 的考查 要求 ，
・ ＝
回避 一 定 技巧 上 关 注 数学 本质 的考 查 ，强 调 通性 通
０ ，若存在 ，求出 ａ的值 ，若不存在 ，说 ｔ
数 学文 化 价值 ．可 以说 ，试题 的演 变来 源 于 课程 标
准 ，源 于命 题理 念 的变迁 ．
明理 由 ．
上 述示例 旨在 体现注 重双基 ，突 出能 力 的命题 思
情推 理 的意识 ． 当然 我们 也要 注意 一个 问题 ： 在进行 “ 情推 理” 合
若该 题 以上述形 式呈 现 ，则解 决思路 只能 从三
角变 换 入手 ，通 过计 算 、整理 来解 决 ，虽然该解 法 计算 比较 复杂 ，但可 体现 学 生解 决 问题 的意志 品质 ． 分析 运 用二倍 角公 式 、三倍 角公 式 ，运 用 比较 系 数法 可得结 果 （ 参考 人教 Ａ版 必修 ４Ｐ ３Ｂ组第 － １８ １ ：ｉ３ ３ｉａ一 ｓ ，ｏ３ ４ ｏ 一 ｃｓ ） 题 ｓ ａ＝ ｓ ｎ ｎ ４ｉ ｎ ｃ ｓａ＝ ｃｓ ３ｏａ．
据复 数相 等 的充 要条件 ，比较系数 可得 结果 ．（ 详解 略 ， 见 数学通 讯 ２ １ １ 、１ 可 ０ １（ １ ２上半 月 ）（ 生） 学 ）
百度文库
３ ．解题 反 思与教 学启 示 ３１ ．解题 反 思
（ ）本题全 面贯彻 以能力立 意 的命 题原 则 ，突 １ 出重 要 内容 和 基本 方 法 ，不 过度 追 求解 题技 巧 ，低
试题 强 调 回归课 本 知识 ，对 双基 考 查 更深 入 ．在 不
确 ，给 予证 明，如果 不正确 ，举 例说 明 ． （ Ⅲ）是 否存 在 非零 实数 ，使 得 （ Ｉ）中 的
１
直 线 与 双 曲线 ÷ 一 １ 交 于 一 点 Ｐ ，且 法 以及 数 学 思想 方 法 的灵 活应 用 ，并显 现 出一 定 的 Ｙ＝ 相 ４
能力 的关 注 ，同时认 识 到 高考 试 题在 复 习备 考 中 的 教 学价 值 ．原题 如 下 ： 观 察 下列 等式 ： ① ｃｓａ＝２ ｏ 一 ； ｏ２ ｃｓ ｌ ② ｃｓ ａ＝８ｏ 一 ｃｓ口＋ ； ｏ４ ｃｓ ８ｏ。 １ ③ ＣＳ０＝３ ＣＳ 一 ８ｏ Ｏ６ ＂ ２ Ｏ ４ ｃｓ口＋１ｃｓ 一 ： ８ｏ １ ④ ｃｓ ａ＝１８ ｏ ２ ６ ｏ ＋ ６ ｃｓ ｏ ８＇ ２ ｃｓ口一 ５ ｃ ｓ １０ ｏ
１ ．从解题角度分析 归纳 推 理 和 类 比推 理 统称 合 情 推理 ，它 们 都是 根 据 已有 的事 实 ，经 过 观 察 、 比较 、联 想 ，再 进 行 归纳、类 比，然后提 出猜想的推理 ，数学发现 的过 程往往包含合情推理 的成分 ，在人类发明、创造活 动 中 ，合 情 推理 扮演 了重 要 的角色 ． 本题 由归纳猜 想易得最高次项系数 ｍ的值 ，对 于 、 Ｐ的值 ，应 如 何猜 想 、解 决是 本题 的关键 ．该 题 以三 角公 式为 背 景 ，若 从 三 角公 式入 手 ，势 必 会
养 发展” 的理 念 ． ３２ 学启 示 ．教 （ ）新课 程下 的高考 试题 更加 关注 学生运 用知 １
课 标 ＞ 指 出 －合 情 推理 是 数 学发 现过 程 和 数 ＞ 学体 系 建构 过程 中 的一种 重 要 思维 形 式 ．以上 几种 解 法 ，均根 据题 设 所 给 的五 个 等式 ，通 过观 察 ，对
２ ．从教学角度分析 本 题 解 题 思 路 的产 生 就 是 一 个 合 情 推 理 的过 程 ．从条 件 要达 到 结论 的彼 岸 －如何 选 择 入 口？如 何 实现 过渡 ？这 是观察 、 归纳、类 比、 猜想 、联 想 、 直 觉 、灵 感 等合 情 推理 手 段 的综 合运 用 ，每 一 个解 题 过程 就是一 个小 的“ 学发现 ” 也为教 师展示 自己 数 ， “ 学智慧 ” 培养 学生合 情推 理能 力提供 了取之 不尽 数 ， 的素材 ． 本题 以 三角 公 式为 背 景 ，通 过观 察 角 的系 数 关 系 出发 ，从 三 角公 式 入手 来 解决 ，亦可 体会 到 三 角 变换 的魅力 ，体会到数学的美 ．（ 详解略，可见 数
（ 详解 略 ，可 见 数 学通讯 》２ １ １ 、１ ０ １（ １ ２上半月 ）
（ 生） 学 ）
本 题亦可 从 复数运 算 入手 ，运 用复数 的三角运
算 （ＣＳ ｉｎ ＣＳ 十 ｓ 和复数相等的 （ ＋ ｓ ）＝ Ｏ ｉ ｎ 口） Ｏ ｉ ｉ 充 要条件 ，排列组 合数 公 式 ，二 项式 定理 的知识 来 处 理 ．从这 个角 度来解 析该 题 ，可 以让 学 生体会 高 中数学 知识 的整体 性 ，体会 高 中数学 知识 之 问的 内 在联 系 ，提 高学 生综合 分析 问题 、解决 问题 的能 力 ． 分析 依 据 （ Ｓ ｉｉ ｍ＝ Ｏ１ｃ＋ｉｉ１ａ， Ｃ 口＋ ｎ Ｏ ｓ ） ＣＳ０ｔ ｓ ０ ｎ
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福 建 中学数 学
２ １ 年 第 ３期 ０１
比较 困难 （ 文下 面将 展开论 述 ） 本 ，因此在 具体 解决 时应 从本 题 的结 构 入手 ，运 用合 情推 理 ，联 想 二项 式定 理 ，运 用二 项 式 系数 的赋 值 法 思想 ，结 合 数列
以及依 据 二项式 定理 （Ｏ ＋ ｓ ） Ｃ Ｓ ＋ ． Ｃ Ｓ ｉｉ ＝ Ｏ ｉ ｎ 。
．
ＣＳ ｓ ｔ Ｃ ．ＣＳ ｓ ＋ ＋ ｉｓ 口， Ｏ ｉ２ ？ｉ Ｏ ｉ ｎ ＇ ｏ ｎ … ｃ ． ｎ 根 ＋ ｍｉ
和 解 方程知识 可解 得 ，、Ｐ的值 ， 也应 该是考 生在 ｚ 这
考试 中解决该 题 的基本 方法 ．（ 解 略 ，可见 数学 详 通 讯 ２ １．１ １ ０ １１、 ２上半月 （ 生） 学 ）
２１ 年第 ３ ０１ 期
福 建 中 学数 学
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试比较 与 ＋ 的大小 ，并证 明你 的结论 ． ７
想 ，一 是在交 汇视角 下的考查 ，将 数列 知识 与解析 几 何 、函数、不等 式等知识 综合起 来 ，考查 学生综合 利 用各种 数学 思想与 方法 ，特别是 函数与 方程 ，转化与 化 归、分类讨论 等重要 思想及其 配方法 、换 元法 、待
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道 高考题 的解法探 讨与教 学启示
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２１ ００年高考 数 学福建 卷 文科第 １ ６题
福建 省福 州格致 中学 （５ ０ １ ３００）
宋建 辉
本 文给 出 ２ １ ０ ０年 高考数 学福 建卷 文科 第 ｌ ６题
的不 同解 法 ， 进而 从“ 考试 ” 角度 和“ 解题 ” 角度进 行 阐 析 ，意 在 让 读者 意 识 到在 课 标 课程 高 考对 合 情 推理
在 解 决 问题 的过 程 中 ，合 情 推 理 的结 论 往往 超 越 了 前 提 所包 含 的 范 围 ，具有 猜 测 和 发现 结 论 、探 索 和 提供 思路 的作 用 ，有 利于创 新意 识 的培养 ． 课标 》
指 出 ：以往 的数 学 课程 中 ，忽视 了合 情推 理 ，新 一 轮基 础 教 育数 学 课 程 改革 中 ，应 给 合情 推 理 以应 有
学通讯 ２ １ （ １ ２上 半月 ） （ 生） ０ １ １ 、１ 学 ）
起点 ，宽 入 口，解 法 发散 ．该题 关注 了对 学 生 自主 、 灵活 地 应 用相 关知 识 分析 、解 决 问题 的思 维过 程 的 考查 ，该题 设计 了没有 现成 解题模 式 的创新性 问题 ， 要 求学 生根 据 试题 提 供 的信 息进 行 检索 、 分析 、 加 工和组 合 ，探求 问题 实质 ，寻 找解决 方案 ． （）在 知识 网络 的交 汇点 处设计 试题 ，有效地 ２ 体现 数 学 内容 的关联 性 和数 学 知识 （ 方法 ） 的整体 性 ，既有效 的增 加知 识 点 的考查 ，又 能从 学科 整 体 的 高度 和 思 维价值 的高 度深 化对 基 础 知识 的考 查 ， 有效 的体现 注 重基 础 、 突 出重 点 、适 当整 合 的试 题 命题 原则 ． （）本题解 法 的多 角度探 讨 ，还体现 了新课 程 ３ “ 打破 知识 本位 ，提倡 知识 交叉与 渗透 ，注 重人 的素