数学史上的三次数学危机

对数学的浅思

数学是什么，就必须从数学的起源说起。数学无所不在，人们从自然界获得经验进行严格地“数学加工”（高度抽象的思维加工，使之概念明确，推理严格，整体内容无矛盾），形成了数学。数学不仅仅是纯粹的数学理论知识，而是一种文化。正如著名数学家罗素说：“数学如果正确地看待它，则发现它只有至高无上的美，一种冷色而严肃的美，这种美没有音乐或绘画那般华丽的装饰，但它可以纯净到崇高的地步，只有伟大的艺术才能显示那种完美的境地；一种真实喜悦的精神，一种精神的亢奋，一种高于普通人的意识，这些至善至美的标准，能在诗里得到，也能在数学里得到。数学具有一种至高无上的美，它是一种文化，也是一门自然科学。”

学习数学，不仅仅学习数学理论知识，还要理解数学的思想文化，更要去欣赏数学纯净崇高至真至善的美。数学是科学家、经济学家和工程师的有用工具，也是至美的自然科学。

于2013年12 月

数学史上的三次数学危机

第一次数学危机

时间：公元前4 世纪人物：毕达哥拉斯、希帕苏斯地点：古希腊毕达哥拉斯是泰勒斯的传人，生于希腊东部萨摩斯岛，曾求学于泰勒斯门下，游历过埃及和巴比伦。毕达哥拉斯在意大利南部的克伦吞成立了一个秘密组织，该组织是一个集科学、宗教、哲学于一体的帮会性学术团体，后人称之为毕达哥拉斯学派。该学派纪律严明，主要有两条：一是一切服从与毕达哥拉斯，二是一切发明都不得私自外出传。毕达哥拉斯后来在政治斗争中被杀，但其组织团体却存在了两个世纪多久，但是其数学贡献是不朽的。

毕达哥拉斯学派在数学上的信条为“万物皆数”，他们所说的数为正整数和正分数。认为10 是最完美的，因为10=1+2+3+4，称1、2、3、4 为“四象”。

约公元前470年毕达哥拉斯学派成员希帕苏斯考虑边长为1 的正方形对角线长度，根据勾股定理对角线长应满足=2,什么样的数它的平方是2 呢？显然不是整数，由此人们揭穿了毕达哥拉斯“万物皆数”的数只是整数和分数是不成立的。毕达哥拉斯的绝对权威受到严重的挑战，一方面已证明单位正方形对角线的长不是整数和分数，按毕达哥拉斯学派的观点这条对角线的长度就不是数，这当然是不能接受的；另一方面，毕达哥拉斯学派对数的根深蒂的认识又不肯承认自己的观点有问题，于是一时间陷入了极大的矛盾之中，这就是第一次数学危机。

第一次数学危机之后，承认了除整数和分数外，对这种存在的怪实数接受得很不情愿，于是起了个难听的名字：无理数。

第二次数学危机

时间：17 世纪前半叶人物：牛顿、莱布尼茨、伯克莱地点：欧洲

1734 年英国哲学家牧师伯克莱发表了《致一位不信神的科学家》。

不信神的科学家指帮助牛顿出版《自然哲学的数学原理》的哈雷，主要矛头指向牛顿的流数法，对莱布尼茨的微积分也同样的竭力非难。由于牛顿和莱布尼茨的微积分逻辑基础不严密，特别是无穷小的混乱遭到了伯克莱的非难，例如伯克莱的言论片段：“一次推导任意次幂的流数的方法如下：设均匀流动。欲求的流数与通过流动变为的同时，幂编成（）,也就是说使用无穷级数的方法有：

＆而增量与

＆之比为1 ：+ ＆现在假设增量消失最终之比为1：然而这种推理看来是不合理的和不能令人

信服的。因为如何让增量消失，亦即让增量变为零或者说没有任何增量，那么原来的关于增量存在的假设也就不成立，而由这一假设也就不成立，而由这一假设引出的结果即借助于增量而得到的表达式却必须保留，这种推理是站不住脚的，因为我们的表达式以及由于假设其存在而导出的一切东西都随之消失。这些消失的是什么呢？他们既不是有限，也不是无限小，又不是

零，难道我们不能称它为消逝的鬼魂

吗？”

由“贝克莱悖论”对牛顿、莱布尼茨的微积分引起的非难，牛顿

和莱布尼茨也不能自圆其说，引发了数学史上耸人听闻的第二次数学危机。第二次数学危机激发了18世纪、19 世纪的众多数学家为微积分的完善做出了出色的工作。微积分基础的日臻完善，排除了第二次数学危机。

第三次数学危机

时间：19 世纪后半叶代表人物：康托尔、罗素地点：欧洲康托尔是俄国数学家。1871 年，他给出集合的第一个定义且引入点集的极限点、闭集、开集、交集、并集等概念。1874 年，康托尔证明了代数集与有理数集的可数性和实数集的不可数性。。1878年，他引入了集合“势”的概念，且证明了Cantor 尘集与实数集等势且不可数，但其测量度为零。1883 年，他证明了“ Cantor定理”一个集合与它的幂集间不可能建立一一对应，幂集的势大于原集合的势。1887 年，他证明了一条直线上的点与平面上的点乃至N 维空间中的点一一对应。开始连他自己开始感到疑惑，当然，康托尔还是相信自己严格证明出的理论是真的，他雄辩地证明无穷集合不在遵守有穷集合的很多规则。它的一一对应的原理突破了传统的“整体大于部分”的旧观念，例如正整数与全体偶数一一对应，正整数集与偶数集等势，相当于传统上的“个数相等” 。康托尔的集合论现在称为朴素集合论。康托尔在创立完集合论之后，他自己已经觉察到朴素集合论在逻辑上要出事儿，可惜他本人没来得及建立一套公理系统给出集合论以明确

无暇的概念和理论。

1902 年，罗素发表了理发师悖论改造成一个所谓的“罗素悖论” 引发了第三次数学危机。理发师悖论说：一位乡村理发师宣称，“他不给村子任何给自己刮脸的人刮脸，但他给所有不给自己刮脸的人刮脸。”人们问，“理发师先生，您给自己刮脸吗？”如果理发师回答自己刮脸，那么违背了他宣称的约定前半部分；如果理发师回答自己不自己刮脸，那么根据他约定的后半部分，他必给自己刮脸。理发师陷入了矛盾之中而不能自圆其说。由此可见，康托尔的朴素集合论会发生不是自己集合的元素，又会发生是自己

的元素。罗素悖论：罗素构作了如下的集合：B={A ∣A A}其中A与B是集

合代号。罗素问道：“ B∈B？”若B∈B，按B 的定义，B B 矛盾；若B B，按B 的定义，B∈B 矛盾。其中的矛盾回避不了。

1908 年，法国数学家策墨罗和弗伦克尔合作提出一套2F 公理。在2F 公理出现以前，人们可以自由地构作集合{ ∣φ( )}, 其中φ( ) 是对该集合中的元素性质的一种描述，正是这样限制了不严格地随意制作集合导致罗素悖论。2F 公理限制说：必须先有一个集合A 在A 中选择满足性质φ( )的元素们来构作另一个集合，包含一切集的集合不存在，从而朴素集合论蜕变为公理集合论。于是，集合论中剔除了罗素悖论，解除了第三次数学危机。

三次数学危机弄的天才数学家们都不能自圆其说。当然，我们不能否认数学危机的好处，正是数学危机的出现，数学的大厦概念和基础不断的被严

格逻辑化，从而建立起了庞大的数学体系。科学史上不

怕矛盾，矛盾才是真正会“下金蛋的鹅”。有人问：“是否还有第四次

乃至次数学危机呢？”