高中数学复习专题讲座(第41讲)探索性问题
高中数学解题方法辅导-高考数学探索性问题的解题方法
高考数学探索性问题的解题方法[高考能力要求]1.如果把一个数学问题看作是由条件、解题依据、解题方法和结论这四个要素组成的一个系统，那么我们把这四个要素中有两个是未知的数学问题称为探索性问题。
条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征。
2、探索型问题的基本类型(1)、条件追溯型这类问题的外在形式是针对一个结论，条件未知需探究，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
解决这类问题的基本策略是执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或论证找到结论成立的充分条件，在执果索因的推理过程中，不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，是一种常见错误，必须引起注意，确定条件是否多余时要着眼于每个条件对所求（或所证）对象的确定性，判断条件正误时多从构造反例人手。
(2)、结论探索型这类问题的基本特征是有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
先探索结论后论证结论是解决这类问题的一般形式。
(3)、存在判断型这类问题的基本形式是判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立，解决这类问题基本策略是通常假设题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明。
(4)、方法探究型这类问题的基本形式是需要非常规的解题方法或被指定要用两种以上的方法解决同一个问题，如难度较高的构造法即属此型。
在探究方法的过程中，常常需要研究问题的特殊情形，运用类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。
3、思想方法解决探索性问题，没有现成的套路和常规程序，需要较多的分析成分和对数学思想方法的综合运用。
对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面的能力有较高要求。
高考中求解这类问题的常见方法是：(1)、直接法(2)、观察—猜测—证明 (3)、赋值法 (4)、数形结论 (5)、联想类比 (6)、从特殊到一般 (7)、从特殊到一般再到特殊 (8)、等价转化 [例题精讲]【例1】 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是___________。
高三数学函数中探索性问题 北师大 人教版 教案
高三数学函数中探索性问题 某某市奉贤中学数学组 教学目的： 1，引导学生运用已有函数的认识探索未知的函数问题，形成自觉运用数学基础知识、基本技能和数学思想方法分析问题解决问题的能力和意识。
2，创设问题情景，激发学生数学学习的兴趣，培养学生主动参与、团结协作的精神，体验数学探索研究的魅力。
3，揭示数学研究活动的一般过程，培养学生观察、类比、联想、归纳的探索研究的思维方法，培养学生研究性学习的能力和创新精神。
教学重点：函数性质研究的思想方法和数学研究活动的一般过程教学难点：运用多条性质构造函数教学过程：一、引入由国际数学家大会引发的“数学热”导出课题。
二、学生探索过程问题一（1）函数)x (f 是奇函数；（2）对于任意R x ∈，都有)x 1(f )x 1(f -=+； （3）函数)x (f 在]1,(-∞上单调递减； （4）)0(f 不是函数的最小值。
根据以上条件，写出一组能满足其中三条性质的函数)x (f 的解析式。
（学生研究讨论，教师巡视指导）（学生成果展示，教师适时提问）教师点评小结：数学研究活动的一般过程问题二给出新的概念： 发现问题产生联想 进行修正 归纳论证对于任意定义在区间D 上的函数)x (f ，若存在实数D x 0∈，满足00x )x (f =，则称0x 是函数)x (f 在区间D 上一个不动点．．．。
（对函数不动点概念的学习）请同学们在刚才研究1的基础上，探求自己所得到的函数的不动点。
将问题研究1中性质（1）（2）（3）中一条修改为：“函数)x (f 有2个或2个以上的不动点。
”能否写出同时满足四条性质的一个函数)x (f 解析式。
（学生研究讨论，教师巡视指导）（学生成果展示，教师适时提问）是否还有其他的研究设想？教师点评小结： 函数新性质的理解中渗透了数形结合的思想。
数学研究活动的一般过程是发现与论证两个过程。
三、课堂小结1，研究函数性质的思想方法；2，数学研究活动的一般过程；3，数学学习的魅力。
高考数学复习热点之：探索性问题
高考数学复习讲座之二 探索性问题近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。
在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。
于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。
实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。
一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。
此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。
探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。
猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。
它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。
其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。
存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。
解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。
代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。
分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。
此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。
2024版高考数学总复习：定点定值探索性问题课件
= 2 ，解得a＝2，b＝ 2，
2
，
2
2
所以椭圆E的方程为
4
2
+ ＝1.
2
例3
2
如图，椭圆E： 2
2
2
+ 2 ＝1(a＞b＞0)的离心率是 ，过点P(0，
2
1)的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l
被椭圆E截得的线段长为2 2.
(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P
= +2 ，
所以Δ＝(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－4)＞0.
8 2 −4
2−4 2
由根与系数的关系得－2x1＝
，即x1＝
.
2
2
1+2
1+2
4
所以y1＝k(x1＋2)＝
，
1+2 2
所以P
2−4 2
4
，
1+2 2
1+2 2
.
设Q(x0，0)，且x0≠－2.
若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，
点．
例3
2
如图，椭圆E： 2
2
2
+ 2 ＝1(a＞b＞0)的离心率是 ，过点P(0，
2
1)的动直线l与椭圆E相交于A，B两点，当直线l平行于x轴时，直线l
被椭圆E截得的线段长为2 2.
(1)求椭圆E的方程；
解：由已知，点( 2，1)在椭圆E上，
因此
2
1
+ 2
2
2 − 2
=
= 1，
以MP为直径的圆恒过直线DP，MQ的交点？若存在，求出点Q的坐
高二数学课件：4.1.1 问题探索
问题4：高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 计算在2s时的瞬时速度。
h
o
t
解决问题的思路和方法总结： 结论：
若物体的运动方程为s=s(t),则物体在任意时刻t的 f (t d ) f (t ) 瞬时速度v(t),就是平均速度v(t,d)= d 在d趋于0时的极限.
练 习
P5练习1、2
作业： P5习题1第1、2
4.1.1 问题探索 ---求自由落体的瞬时速度
问题1:伽利略发现了自由落体的运动定律：
s s(t ) 4.9t
2
如何求自由落体运动的瞬时速度呢？
问题2:斜面上滚下的小球有关系：
s s(t ) at
ห้องสมุดไป่ตู้
2
如何求小球的瞬时速度呢？
问题3:牛顿给出了瞬时速度的概念和计算方法。 牛顿是怎么想的，怎么做的？
高考二轮复习之探索性问题
专题 探索性问题【考点聚焦】考点1：对条件和结论的探索．考点2：猜想、归纳、证明问题．考点3：探索存在型问题．考点4：命题组合探索性问题．【自我检测】探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程．（以问题的形式考查学生对必须要具备的知识，对必须具备知识的友情提示）【重点∙难点∙热点】问题1：条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．例1．例1．（02年上海）设函数)(,2sin )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是 ．分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即．由此可得)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或 ∴)(412Z k k t ∈+=π 点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力．演变1：(05年浙江)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证：OD ∥平面P AB ； (Ⅱ)当k ＝21时，求直线P A 与平面PBC 所成角的大小； (Ⅲ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？A B C D OP点拨与提示：(Ⅱ)找出O 点在平面PBC 内的射影F ，则∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角． 又OD ∥PA ，∠ODF 即为所求；(Ⅲ)若F 为PBC 的重心，得B 、F 、D 共线，进一步得BD ⊥PC ，故PB=BC ，得k=1．问题2：结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．例2．（04年上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组．（写出所有符合要求的组号）．①S 1与S 2；②a 2与S 3；③a 1与a n ；④q 与a n ．(其中n 为大于1的整数，S n 为{}n a 的前n 项和．)思路分析：研究能否由每一组的两个量求出{}n a 的首项和公比．解：（1）由S 1和S 2，可知a 1和a 2．由q a a =12可得公比q ，故能确定数列是该数列的“基本量”．（2）由a 2与S 3，设其公比为q ，首项为a 1，可得211132112,,q a q a a S qa a q a a ++=== ∴q a a qa S 2223++=，∴0)(23222=+-+a q S a q a 满足条件的q 可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列{}n a 的基本量．（3）由a 1与a n ，可得1111,a a q q a a n n n n ==--，当n 为奇数时，q 可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．（4）由q 与a n ，由1111,--==n n n n qa a qa a 可得，故数列{}n a 能够确定，是数列{}n a 的一个基本量．故应填①、④评注：本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义．如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解．演变2：某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(Ⅰ)当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(Ⅱ)当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由．点拨与提示：从第二年开始，每年所需维修、保养费用构成一个等差数列，x 年的维修、保养费用总和为42)1(12⨯-+x x x ，求出x 与y 之间的函数关系． 问题3：存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立．解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用． 例3： ( 06年湖南）已知椭圆C 1:22143x y +=，抛物线C 2:2()2(0)y m px p -=>，且C 1、C 2的公共弦AB 过椭圆C 1的右焦点．(Ⅰ)当AB ⊥x 轴时，求m 、p 的值，并判断抛物线C 2的焦点是否在直线AB 上； (Ⅱ)是否存在m 、p 的值，使抛物线C 2的焦点恰在直线AB 上？若存在，求出符合条件的m 、p 的值；若不存在，请说明理由．思路分析：(Ⅱ)中，分别将直线方程)1(-=x k y 与椭圆、抛物线的方程联立，22438k k +＝2221)2(k k p x x +=+，再由)(214)212()212(2121x x x x +-=-+-＝1212()()22p p AB x x x x p =+++=++得34124)(2342221+-=+-=k k x x p 可到k 的值．解 （Ⅰ）当AB ⊥x 轴时，点A 、B 关于x 轴对称，所以m ＝0，直线AB 的方程为x =1，从而点A 的坐标为（1，23）或（1，－23）． 因为点A 在抛物线上，所以p 249=，即89=p ． 此时C 2的焦点坐标为（169，0），该焦点不在直线AB 上． （Ⅱ）：假设存在m 、p 的值使2C 的焦点恰在直线AB 上． 当C 2的焦点在AB 时，由（Ⅰ）知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ． 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得01248)43(2222=-+-+k x k x k ． ① 设A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）， （x 2，y 2），则x 1，x 2是方程①的两根，x 1＋x 2＝22438k k +．由⎩⎨⎧-==-)1(2)(2x k y px m y 消去y 得px m k kx 2)(2=--，②∵C 2的焦点),2(m p F '在直线)1(-=x k y 上，所以)12(-=p k m ，代入②得04)2(22222=++-p k x k p x k ③ 由于x 1，x 2是方程③的两根，∴ 2221)2(k k p x x +=+，从而 22438k k +=22)2(k k p + ④ 因为AB 既是过C 1的右焦点的弦，又是过C 2所以)(214)212()212(2121x x x x AB +-=-+-=，且 1212()()22p p AB x x x x p =+++=++． 从而121214()2x x p x x ++=-+． 所以34124)(2342221+-=+-=k k x x p 解得6,62±==k k 即，此时34=p ． 因为C 2的焦点),32(m F '在直线)1(-=x k y 上，所以k m 31-=． 即3636-==m m 或． 当36=m 时，直线AB 的方程为)1(6--=x y ；当36-=m 时，直线AB 的方程为)1(6-=x y ． 点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行．“不存在”就是没有，找不到．这类问题常用反证法加以认证．“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由．这类问题常用“肯定顺推”．演变3：（06年福建）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+（I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．点拨与提示：(I)讨论f(x)对称轴x=4与区间[],1t t +的位置关系；(II)转化为()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点， 利用导数分析函数 ()()()x g x f x φ=-的极值情况．问题4：条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题．此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段．一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求．应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力．例4 （99年全国）α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 ．思路分析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证．解：依题意可得以下四个命题：(1)m ⊥n ， α⊥β， n ⊥β⇒ m ⊥α；(2)m ⊥n ， α⊥β， m ⊥α⇒n ⊥β；(3)m ⊥α， n ⊥β， m ⊥α⇒ α⊥β；(4)α⊥β，n ⊥β，m ⊥α⇒m ⊥n ．不难发现，命题(3)、(4)为真命题，而命题(1)、(2)为假命题．故填上命题(3)或(4)． 点评：本题的条件和结论都 不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的．演变4：6．（05福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称，则函数)(x g = ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）五、规律探究型这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高． 例5：（06年上海春）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）．（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？思路分析：()22203011010d d d a a ++=+=，()323304011010d d d d a a +++=+=， ()4324405011010d d d d d a a ++++=+=，由此得到()n n d d a +++=+ 110)1(10 解：（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ． （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ， 当),0()0,(∞+∞-∈ d 时，[)307.5,a ∈+∞．（3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d a n n n当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等． 演变5：在等差数列{a n }中，若a 10=0，则有等式a 1+ a 2+…+ a n = a 1+ a 2+…+ a n-19(n<19，n ∈N)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{ b n }中，若b 9=1，则有等式___________成立． 点拨与提示：分析所给等式的性质：项数之和为n +(19－n)=19(定值)，19与a 10的序号关系为：2⨯10－1=19；由此得相应等式．专题小结1、 条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．2、 结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．3、条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论．其中反证法在解题中起着重要的作用．4、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．5、规律探究型问题，通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高．【临阵磨枪】一．选择题1．(05年江西)123)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有（ ）A 4项B 3项C 2项D 1项2．(05天津)设γβα、、为平面，l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 （ ）A l m l ⊥=⋂⊥,,βαβαB γβγαγα⊥⊥=⋂,,mC αγβγα⊥⊥⊥m ,,D αβα⊥⊥⊥m n n ,,3． （05年山东）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 44．(05湖北)如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E 、F 、H 、 K 分别为AC ′、CB ′、A ′B 、B ′C ′的中点，G 为△ABC 的重心． 从K 、H 、G 、B ′中取一点作为P ， 使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为 （ ）A KB HC GD B ′5．（06年湖北卷）已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （C ）A 2-B 1-C 1D 46．（06年陕西）已知不等式1()()9a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （ ）Ａ 2 Ｂ 4 C 6 D 87．（06年安徽卷）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A 2-B 2C 4-D 48．（04年北京）已知三个不等式：0,0,0>->->bd a c ad bc ab （其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）A 0B 1C 2D 3二．填充题9．(05年山东）设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是_______________．10．(05湖南文)已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//．（i ）当满足条件 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 时，有β⊥m ． （填所选条件的序号）11．（02年全国理）已知函数221)(x x x f +=，那么 ___________.111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++=12．设函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ，给出以下四个结论：①它的图象关于直线12π=x 对称；②它的图象关于点()0,3π对称；③它的周期是π；④在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π上是增函数． 以其中两个论断作为条件，余下的两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______三．计算题13．（05江西卷）已知向量x f x x x x ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ． 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之．14．（05湖北理）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD的中点．（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离．15． （06年湖北卷）已知二次函数()x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f ．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()()*,N n S n n ∈均在函数()x f y =的图像上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13+=n n n a a b ，n T 是数列()n b 的前n 项和，求使得20m T n <对所有*N n ∈都成立的最小正整数m ．16． （06年湖北）如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，p 是侧棱1CC 上的一点，m CP =．（Ⅰ）试确定m ，使得直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23；（Ⅱ）在线段11C A 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，Q D 1在平面1APD 上的射影垂直于AP ．并证明你的结论．17．（05年广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）．（Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．18．（02年上海）．规定()()11!mx x x x m C m --+= ，其中x R ∈，m 是正整数，且01x C =，这是组合数m n C （n ，m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．（Ⅰ）求515C -的值； （Ⅱ）组合数的两个性质：①mn m n n C C -=；②11m m m nn n C C C -++=是否都能推广到（x R ∈，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（Ⅲ）我们知道，组合数m n C 是正整数．那么，对于m x C ，x R ∈，m 是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些m xC R ∈成立的例子吗？ 参考答案：1．B 提示：123)(x x +的展开式为12412236121212t t t t t t t t C C x C x -++-==，因此含x 的正整数次幂的项共有3项．选B2．D 提示：A 选项：缺少条件m α⊂；B 选项：当//,αββγ⊥时，//m β；C 选项：当,,αβγ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ= 时，m β⊂；D 选项：同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题．本题答案选D3． B 提示：直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '：2x +y －2=0，该直线与椭O图4圆相交于A (1， 0)和B (0， 2)，P 为椭圆上的点，且PAB ∆的面积为12，则点P 到直线l ’的距离为，所以在它们之间一定有两个点满足条件，而在直线的上方，与2x +y －2=0平行且与椭圆相切的直线，切点为Q (22，2)，该点到直线的距离小于5，所以在直线上方不存在满足条件的P 点 4．C 提示：用排除法．∵AB ∥平面KEF ，A B ''∥平面KEF ，B B '∥平面KEF ，AA '∥平面KEF ，否定(A)，AB ∥平面HEF ，A B ''∥平面HEF ，AC ∥平面HEF ，A C ''∥平面HEF ，否定(B)，对于平面GEF ，有且只有两条棱AB ，A B '' 平面GEF ，符合要求，故(C)为本题选择支．当P 点选B '时有且只有一条棱AB ∥平面PEF ．综上选(C)5．C ． 提示：由()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 的坐标位置知，ABC ∆所在的区域在第一象限，故0,0x y >>．由my x z +=得1z y x m m =-+，它表示斜率为1m-． （1）若0m >，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m最小，此时需11331AC k m --==-，即=m 1；（2）若0m <，则要使my x z +=取得最小值，必须使z m最小，此时需11235BC k m --==-，即=m 2，与0m <矛盾． 综上可知，=m 1．6．B 提示： a a yax x y a y a x y x 211)1)((++≥+++=++，∴a a 21++≥9，a ≥4． 7．D 提示：椭圆22162x y +=的右焦点为(2，0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2，0)，则4p =，故选D ．8．D 提示：若0,0,0>-=->->abadbc b d a c ad bc ab 则， ∴00,0>-⇒>->b d a c ad bc ab ，若0,0,0>->->abadbc b d a c ab 则0,0,00,0,000,0,0>⇒>->->∴>->->->-⇒>->>-∴ab bda c ad bc ab abadbc b d a c ad bc ad bc bda c ab ad bc 即则若即 故三个命题均为真命题，选D ．9． ()2,3 提示：由图在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围．可知，在(2， 3) 点目标函数65z x y =+取得最大值． 10．③⑤ ， ②⑤ 提示：[解析]:由线面平行关系知:αα,⊂m ∥β可得m ∥β; 由线面垂直关系得:αα,⊥m ∥ββ⊥m 可得,11．27 提示：考察函数可发现左式构成规律：1)21()(=+f x f ，于是立得结论为27．若直接代入费力又费时．12．答：①③⇒②④或②③⇒①④ 13．解：)42tan()42tan()42sin(2cos 22)(πππ-+++=⋅=x x x x x f12cos 22cos 2sin 22tan112tan 2tan 12tan1)2cos 222sin 22(2cos 222-+=+-⋅-+++=x x x x xx x x x x .cos sin x x +=x x x x x f x f x f x f sin cos cos sin )()(:,0)()(-++='+='+即令.0cos 2==x.0)()(],,0[2,2='+∈==x f x f x x 使所以存在实数可得πππ14．解：（Ⅰ）设AC ∩BD=O ，连OE ，则OE//PB ，∴∠EOA 即为AC 与PB 所成的角或其补角．在△AOE中，AO=1，OE=,2721=PB ,2521==PD AE∴.1473127245471cos =⨯⨯-+=EOA 即AC 与PB 所成角的余弦值为1473． （Ⅱ）在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6π=∠ADF ．连PF ，则在Rt △ADF 中.33tan ,332cos ====ADF AD AF ADF AD DF设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC ． ∴N 点到AB 的距离121==AP ，N 点到AP 的距离.6321==AF 15． 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ，则 f`(x)=2ax+b ，由于f`(x)=6x －2，得a=3 ， b=－2， 所以 f(x)＝3x 2－2x ．又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n ． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[])1(2)132---n n （＝6n －5． 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ， 故T n ＝∑=ni i b 1＝21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）． 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m ，必须且仅须满足21≤20m，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10．16． 解法1：（Ⅰ）连AC ，设AC 与BD 相交于点O ，AP 与平面11BDD B 相交于点，，连结OG ，因为PC ∥平面11BDD B ，平面11BDD B ∩平面APC ＝OG ，故OG ∥PC ，所以，OG ＝21PC ＝2m． 又AO ⊥BD ，AO ⊥BB1，所以AO ⊥平面11BDD B ，故∠AGO 是AP 与平面11BDD B 所成的角．在Rt △AOG 中，tan ∠AGO ＝23222==m GOOA，即m ＝31．所以，当m ＝31时，直线AP 与平面11BDD B所成的角的正切值为 （Ⅱ）可以推测，点Q 应当是A I C I 的中点O 1，因为D 1O 1⊥A 1C 1， 且 D 1O 1⊥A 1A ，所以 D 1O 1⊥平面ACC 1A 1，又AP ⊂平面ACC 1A 1，故 D 1O 1⊥AP ．那么根据三垂线定理知，D 1O 1在平面APD 1的射影与AP 垂直． 解法二：(本题也可用空间向量来求解)17．解：（I ）设△AOB 的重心为G(x ，y)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x …（1）∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OA k k ，即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II ）O22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==∆ 由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立． 所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1； 18．解：（Ⅰ）()()()515151619116285!C ----==- ．（Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当x =但1无意义．性质②如果能够推广，那么，它的推广形式应该是：11m m mx x x C C C -++=，其中x R ∈，m 是正整数．类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上，当1m =时，10111x x x C C x C ++=+=．当2m ≥时， ()()()()()()()()()()()111112!1!121 11!121 !m m x x m x x x x m x x x m C C m m x x x m x m m m x x x m x m C -+--+--++=+---+-+⎛⎫=+⎪-⎝⎭--++==由此，可以知道，性质②能够推广．（Ⅲ）从m x C 的定义不难知道，当x Z ∉且0m ≠时，mxC Z ∈不成立，下面，我们将着眼点放在x Z ∈的情形．先从熟悉的问题入手．当x m ≥时，m x C 就是组合数，故mx C Z ∈．当x Z ∉且x m <时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（mx C ，x Z ∉且x m <）与已知的结论mnC Z ∈相联系？ 一方面再一次考察定义：()()11!m xx x x m C m --+= ；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：551519C C -=-．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将515C -转化为519C 可能是问题解决的途径．事实上，当0x <时，()()()()()()()1111111!!m m mmx x m x x x m x m x x C C m m -+---+-+--+-==-=- ．①若1x m m -+-≥，即1x ≤-，则1m x m C -+-为组合数，故mx C Z ∈．②若1x m m -+-<，即0x m ≤<时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：43C ＝0……，可以猜想，此时0mx C Z =∈．这个结论不难验证．事实上，当0x m ≤<时，在,1,,1x x x m --+ 这m 个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，0m x C Z =∈．综上，对于x Z ∈且m 为正整数，均有mx C Z ∈．【挑战自我】直角梯形ABCD 中∠DAB ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝23，BC ＝21．椭圆C 以A 、4B 为焦点且经过点D ．（1）建立适当坐标系，求椭圆C 的方程； （2）若点E 满足21=AB ，问是否存在不平行AB 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点且||||NE ME =，若存在，求出直线l 与AB 夹角的范围，若不存在，说明理由． 讲解：（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系，⇒A （-1，0），B （1，0）设椭圆方程为：12222=+by a x令c b y C x 20=⇒= ∴⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==322312b a a b C ∴ 椭圆C 的方程是：13422=+y x （2）0(21E ⇒=，)21，l ⊥AB 时不符， 设l ：y ＝kx ＋m （k ≠0）由 01248)43(13422222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x m kx yM 、N 存在⇒ 0)124()43(46402222>-+-⇒>⋅m k m k 2234m k ≥+⇒设M （1x ，1y ），N （2x ，2y ），MN 的中点F （0x ，0y ） ∴ 22104342kkmx x x +-=+=，200433k m m kx y +=+= 243143421433121||||22200k m k k km k m k x y EF MN NE ME +-=⇒-=+--+⇒-=-⇒⊥⇒=∴222)243(34k k +-≥+ ∴4342≤+k ∴102≤<k ∴11≤≤-k 且0≠k ∴ l 与AB 的夹角的范围是0(，]41．【答案及点拨】演变1：(Ⅰ)∵O 、D 分别为AC 、PC 的中点：∴OD ∥PA ，又AC ⊂平面PAB ，∴OD ∥平面PAB ．(Ⅱ)∵AB ⊥BC ，OA=OC ，∴OA=OC=OB ，又∵OP ⊥平面ABC ，∴PA=PB=PC ．取BC 中点E ，连结PE ，则BC ⊥平面POE ，作OF ⊥PEABCDOP于F ，连结DF ，则OF ⊥平面PBC∴∠ODF 是OD 与平面PBC 所成的角．又OD ∥PA ，∴PA 与平面PBC 所成角的大小等于∠ODF ． 在Rt △ODF 中，sin ∠ODF=30OF OD =，∴PA 与平面PBC 所成角为(Ⅲ)由(Ⅱ)知，OF ⊥平面PBC ，∴F 是O 在平面PBC 内的射影．∵D 是PC 的中点，若F 是△PBC 的重心，则B 、F 、D 三点共线，直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，∵OB ⊥PC ．∴PC ⊥BD ，∴PB=BC ，即k=1．反之，，当k=1时，三棱锥O-PBC 为正三棱锥，∴O 在平面PBC 内的射影为△PBC 的重心．演变2：（1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y =984022-+-x x ． （2）解不等式 984022-+-x x ＞0， 得 5110-＜x ＜5110+．∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17．故从第3年工厂开始盈利． （3）(I ) ∵）xx x x x y 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯- 当且仅当xx 982=时，即x=7时，等号成立．∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元． (Ⅱ) y=－2x 2+40x －98= －2（x －10）2 +102， 当x=10时，y max =102． 故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元．演变3：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩ （II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．22()86ln ,62862(1)(3)'()28(0),x x x x m x x x x x x x x x xφφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=7m (1))(-==φφ极大值x ，15ln36m (3))(-+==φφ极小值x 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ> ∴要使()x φ的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨=+-<⎪⎩最大值最小值 即7156ln 3.m <<- 所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).-演变4：①x 轴，x 2log 3-- ②y 轴，)(log 32x -+③原点，)(log 32x --- ④直线32,-=x x y演变5：首先等差数列{a n }具有性质：所给等式两边为和式，项数之和为n +(19－n)=19(定值)，19与a 10的序号关系为：2⨯10－1=19；类比上述性质，等比数列{b n }应有：等式两边为积式，项数之积为 x (定值)，由于b 9=1，x 与b 9的序号关系为 2⨯9－1=17= x ，故应填入的等式为：b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17- n (n <17，n ∈N)．。
浅谈高中数学探索性问题
二 、数 列 中 的探 索 性 问题
例２ （ 高中数学专项训练 ２０ ０ ８年全 国各地统考试题 汇编第
学中 ，这类试题 如何表述 ？遇到 的时候 如何去分 析 、求解 呢？
下 面 结 合所 涉 及 的知 识 分 类讨 论 ．
一
４题 已 数 ｛｝前 项 为 ， （ ）直 ，１＋ ４ ） 知 列 的 ｎ 和 点ｎ 在 线） ， ＝
的解 集 是 ｛ 一 ≤ 一 或 ２≤ ≤ ４｝ ｌ２≤ １ ． （ ） ０ 、ｃ的值 ； １ 求 、ｂ
（） １ 求数列 ｛ｎ与数列 ｛ 的通项公式 ； ａ｝ ｂ｝
ｃ设ｅ，ｃ＝： ２ ｎ ｎ ｛ ， Ｎ／ ，
在 ，请 说 明理 由．
：是存 ｍ 问否在 ，
ｍ＋１ ） （ 成 立？若存 在 ，求 出 ｍ 的值 ；若不存 ５ ＝ ｍ） （） ２ 是否存在实数 ｍ使不等式 厂 （２＋ ｉ ０ ＜一 一 ｓ ） ｍ ＋丢 ， 使 得／（ ｎ
摘 要 ：探 索性 问题是 高中数 学教 学和 高考试誊 中的重要 内
容 和 难 点 之 一 ，通 过 统 计 分 析 近 几年 的 高 考 试 卷 ，结 合 具 体 的
教 学 内客 ，从 函数 、 数 列 、 立体 几 何 、 解 析 几 何 几 个 知 识 领
所
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人教A版数学必修一专题讲座四.pptx
后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定
假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重
要的作用．
本部分内容讲解结束
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(2)是否存在过点 A(2，0)的直线 l 交曲线 C2 于点 B，使O→T
＝ 55(O→A＋O→B)，且点 T 在圆 C1 上？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由．
[解] (1)设 M(x，y)，∵M→D＝2M→P，∴P(x2，y)． 又 P 在圆 C1 上， ∴(x2)2＋y2＝1，即 C2 的方程是x42＋y2＝1． (2)当直线 l 的斜率不存在时，点 B 与点 A 重合，此时点 T
所以 Tn＝212＋223＋234＋…＋2nn＋1，
12Tn＝213＋224＋…＋n2－n＋11 ＋2nn＋2．
两式相减得12Tn＝212＋213＋214＋…＋2n1＋1－2nn＋2 ＝212（11－－1221n）－2nn＋2＝12－n2＋n＋22 ， 所以 Tn＝1－n2＋n＋21 ．
(3)
k＋2 Sk·（Tk＋k＋1）
高中数学课件
（鼎尚图文*****整理制作）
专题讲座四 探索性问题
专题讲座四 探索性问题
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目 的条件或结论不完备，要求考生自己去探索，结合已知条 件，进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、 数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高 的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力，而且给考生 提供了创新思维的空间，所以备受高考的青睐，是高考重 点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问 题、结论探索性问题、存在探索性问题等．
高考数学复习知识点讲解课件14---探索性问题
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2
3＋8k42k22－4·43k＋2－4k122＝123＋1＋4kk22.
|MD|＝ 1＋k123＋4k42k2－0＝4|k3|＋k42k＋2 1，
12
若△ABD 为等边三角形，则|MD|＝ 23|AB|， 23·123＋1＋4kk22＝4|k3|＋k42k＋2 1，即 23k2＋27＝0，方程无实数解，
解 假设存在点 Ny420，y0，使以弦 AB 为直径的圆恒过点 N， 设过点M(8，－4)的直线l的方程为x＝m(y＋4)＋8， 联立xy＝2＝m4xy＋4＋8， 得 y2－4my－16m－32＝0， 则Δ＝16m2＋4(16m＋32)＝16(m2＋4m＋8)＝16[(m＋2)2＋4]>0， 设 Ay421，y1，By422，y2，则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－16m－32， ∵点N总在以弦AB为直径的圆上，∴∠ANB＝90°， ∴N→A·N→B＝0，
设 E(x3，y3)，F(x4，y4)，则 x3＋x4＝32－kmk2，
12
Δ2 ＝(－2km)2＋4(3－k2)(m2＋12)>0.
②
∵D→F＋B→E＝0，∴(x4－x2)＋(x3－x1)＝0，即 x1＋x2＝x3＋x4，
∴－3＋8km4k2＝32－kmk2.∴2km＝0 或－3＋44k2＝3－1 k2，解得 k＝0 或 m＝0.
∴不存在这样的点D.
12
2.已知动圆C过点A(－2,0)，且与圆M：(x－2)2＋y2＝64相内切. (1)求动圆C的圆心的轨迹方程；
12
解 圆M：(x－2)2＋y2＝64, 圆心M的坐标为(2,0)，半径R＝8. ∵|AM|＝4<R，∴点A(－2,0)在圆M内. 设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r＝|CA|， 且|CM|＝R－r， 即|CM|＋|CA|＝8>|AM|. ∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆， 设其方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，则 a＝4，c＝2.∴b2＝a2－c2＝12. ∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
解析几何中的探索性问题课件-2024届高三数学二轮复习
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说明： 1. 解决方案及流程 解答这一类型问题的办法是先假设命题为真，然后据此推理或计 算，直接得到存在的依据或推出矛盾，从而肯定或否定假设．具体表现 为选取恰当的变量表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒 成立、数式变换等寻找不受所设变量影响的定点、定值等． 2. 失误与防范 探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何 可能的因素.
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(2) 假设存在实数 λ，使得 k1＋k2＝λk3. 由直线 l 与抛物线 C：y2＝4x 交于 A，B 两点，且与 x 轴交于点 M(a,0)(a>0)， 可设直线 l：x＝my＋a，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 A1(－a，y1)，B1(－a，y2)，N－a，y1＋2 y2. 联立yx2＝＝m4yx＋，a， 消去 x 并整理，得 y2－4my－4a＝0，＋t Nhomakorabea＝
－my1yy22－－2y1y1＋ty1＋t，
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9 又y1y＋1y2y2＝－3m3m12－22－m11＝－43m，
所以－my1y2＝34(y1＋y2)， 所以 xp＝34y2＋y2－－45y＋1 ty1＋t. 当34＋－54＋t＝0，即 t＝12时，xp 为定值54， 所以存在实数 t＝12，使得直线 EN 过定点 P54，0.
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目标2 探究定值问题 2 (2023广州二模)已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，
且与x轴交于点M(a,0)(a>0)，过点A，B分别作直线l1：x＝－a的垂线，垂 足依次为A1，B1，动点N在l1上．
(1) 当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，求证：AN⊥BN； (2) 若N为线段A1B1的中点，记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1， k2，k3，是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存 在，请说明理由．
高考数学第二轮专题复习----探索性专题.doc
高考中的探索性问题一、高考大纲剖析以前数学考试说明中能力要求没有创新意识。
数学考试说明：能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识。
其中创新意识指对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.命题基本原则中指出，创新意识和创造能力是理性思维的高层次表现.在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融汇的程度越高，展示能力的区域就越宽泛，显现出的创造意识也就越强.命题时要注意试题的多样性，设计考查数学主体内容，体现数学素质的题目；反映数、形运动变化的题目；研究型、探索型或开放型的题目.让考生独立思考，自主探索，发挥主观能动性，研究问题的本质，寻求合适的解题工具.梳理解题程序，为考生展现其创新意识，发挥创造能力，创设广阔的空间.数学考试大纲（必修+选I）：能力要求中创新意识增加了：创新意识是理性思维的高层次表现。
对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创造意识也就越强。
考查要求指出对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查。
在考试中创设比较新颖的问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题,要注重问题的多样化,体现思维的发散性。
精心设计考察数学主体内容,体现数学素质的试题;反映数、形运动变化的试题;研究型、探索型、开放型的试题。
两年考试大纲对比，说明今年高考对学生创新意识要求更高，近几年高考试题中对这方面考查主要通过探索性问题来实现的。
那么什么是探索性问题呢?如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.二、高考试题研究高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.由于这类题型没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明．其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神，数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型．近几年高考中探索性问题分量加重，在选择题、填空题、解答题中都已出现．如高考江苏卷第16题（立几）、第解几）；高考全国卷第15题（立几）、第22题（解几）；高考上海卷第12题（填空题，解几）、第21题（Ⅲ）（解几）、第22题（理：集合与函数，文：数列与组合数）；高考江苏卷第6题（统计图）、第13题（表格）；高考上海卷第12题（填空题，数列）、第16题（选择题，招聘信息表）、第21题（3）（立几）、第22题（3）（圆锥曲线）；高考北京卷第14题（填空题，数列）、第不等式证明）；高考福建卷第15题（概率）、第21题（Ⅱ）（导数与不等式）；春季高考上海卷第9题（数列）、第16题（函数）、第21题（2）（函数与直线）、第22题（3）（椭圆）等。
题目 高中数学复习专题讲座探索性问题
题目 高中数学复习专题讲座 高考要求高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题 重难点归纳如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题 条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊 典型题例示范讲解 例1已知函数1)(2++=ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)5（1）求函数f (x )的解析式；（2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点(1,0)对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由命题意图 本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力知识依托 函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题错解分析 不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；忽视b 为自然数而导致求不出b 的具体值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解技巧与方法 充分利用题设条件是解题关键 本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证解 （1）∵f (x )是奇函数∴f (–x )=–f (x )，即 1122++-=++-ax c bx ax c bx∴–bx +c =–bx –c∴c =0∴f (x )=12+ax bx 由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0，当x ＞0时，f (x )＞0∴f (x )的最大值在x ＞0时取得∴x ＞0时，22111)(b abx x b a x f ≤+= 当且仅当bxx b a 1= 即a x 1=时，f (x )有最大值21212=b a∴2ba =1,∴a =b 2 ① 又f (1)＞52，∴1+a b ＞52,∴5b ＞2a +2 ② 把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得21＜b ＜2 又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=12+x x （2）设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于点（1，0）对称，P (x 0,y 0)则Q （2–x 0,–y 0)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+020002001)2(21y x x y x x ,消去y 0，得x 02–2x 0–1=0解之，得x 0=1±2,∴P 点坐标为(42,21+)或(42,21--)进而相应Q 点坐标为Q （42,21--）或Q (42,21+) 过P 、Q 的直线l 的方程 x –4y –1=0即为所求例2如图，三条直线a 、b 、c 两两平行，直线a 、b 间的距离为p ，直线b 、c 间的距离为2p ，A 、B 为直线a 上两定点，且｜AB ｜=2p ，MN 是在直线b 上滑动的长度为2p 的线段（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C 的轨迹E ；（2）接上问，当△AMN 的外心C 在E 上什么位置时，d +｜BC ｜最小，最小值是多少？（其中d 是外心C 到直线c 的距离） 命题意图 本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力 知识依托 求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程 错解分析 ①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C 点位置需要一番分析 技巧与方法 本题主要运用抛物线的性质，寻求点C 所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目 解 （1）以直线b 为x 轴，以过A 点且与b 直线垂直的直线为y 轴建立直角坐标系设△AMN 的外心为C (x ,y )，则有A (0,p )、M （x –p ,0)，N (x +p ,0)， 由题意，有｜CA ｜=｜CM ｜ ∴2222)()(y p x x p y x ++-=-+,化简，得x 2=2py它是以原点为顶点，y 轴为对称轴，开口向上的抛物线（2）由（1）得，直线c 恰为轨迹E 的准线由抛物线的定义知d =｜CF ｜，其中F （0,2p ）是抛物线的焦点 ∴d +｜BC ｜=｜CF ｜+｜BC ｜由两点间直线段最短知，线段BF 与轨迹E 的交点即为所求的点 直线BF 的方程为p x y 2141+=联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=py x p x y 221412得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.16179)171(41p y p x 即C 点坐标为(p p 16179,4171++) 此时d +｜BC ｜的最小值为｜BF ｜=p 217 例3已知三个向量a 、b 、c ，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a ｜=3,｜b ｜=2,｜c ｜=1，则a 用b 、c 表示为 解析 如图–a 与b ，c 的夹角为60°,且|a |=|–a |=3 由平行四边形关系可得–a =3c +23b , ∴a =–3c –23b 答案 a =–3c –23b 例4 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？2 解析 飞机成功飞行的概率分别为 4引擎飞机为 4222443342224)1(4)1(6C )1(C )1(C P P P P P P P P P P +-+-=+-+- 2引擎飞机为222212)1(2C )1(C P P P P P P +-=+-⋅ 要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有6P 2（1–P ）2+4P 2（1–P ）+P 4≥2P (1–P )+P 2,解得P 32 即当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全学生巩固练习 1 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( )①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β A ①与② B ①与③ C ②与④ D ③与④ 2 某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票 现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( ) A 7张 B 8张 C 9张 D 10张 3 观察sin 220°+cos 250°+sin20°cos50° =43,sin 215°+cos 245°+sin15°²cos45°=43， 写出一个与以上两式规律相同的一个等式4 在四棱锥P —ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，问底面的边BC 上是否存在点E（1）使∠PED =90°；（2）使∠PED 为锐角 证明你的结论5 已知非零复数z 1,z 2满足｜z 1｜=a ,｜z 2｜=b ,｜z 1+z 2｜=c （a 、b 、c 均大于零），问是否根据上述条件求出12z z ？请说明理由6 是否存在都大于2的一对实数a 、b (a ＞b )使得ab ,ab ,a –b ,a +b 可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由7 直线l 过抛物线y 2=2px (p ＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A 、B 直线l 能否平分线段AB ？试证明你的结论8 三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？参考答案 1 解析 ①l ⊥α且α∥β⇒l ⊥β,m ⊂β⇒l ⊥m②α⊥β且l ⊥α⇒l ∥β,但不能推出l ∥m③l ∥m ,l ⊥α⇒m ⊥α,由m ⊂β⇒α⊥β④l ⊥m ,不能推出α∥β 答案 B 2 解析 选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张 故8张 答案 B 3 解析 由50°–20°=(45°–15°)=30°可得sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°4答案 sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=43 4 解 (1)当AB ≤21AD 时，边BC 上存在点E ，使∠PED =90°;当AB >21AD 时，使∠PED =90°的点E 不存在 （只须以AD 为直径作圆看该圆是否与BC 边有无交点）（证略）（2）边BC 上总存在一点，使∠PED 为锐角，点B 就是其中一点 连接BD ，作AF ⊥BD ，垂足为F ，连PF ，∵P A ⊥面ABCD ，∴PF ⊥BD ，又△ABD 为直角三角形，∴F 点在BD 上，∴∠PBF 是锐角 同理，点C 也是其中一点5 解 ∵|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=|z 1|2+|z 2|2+(z 12z +1z z 2)∴c 2=a 2+b 2+(z 12z +1z z 2)即 z 12z +1z z 2=c 2–a 2–b 2 ∵z 1≠0,z 2≠0，∴z 12z +1z ²z 2=12112221z z z z z z z z + =|z 2|2(21z z )+|z 1|2(12z z ) 即有 b 2(21z z )+a 2(12z z )=z 1z 2+z 1z 2 ∴b 2(21z z )+a 2(12z z )=c 2–a 2–b 2∴a 2(12z z )2+(a 2+b 2–c 2)(12z z )+b 2=0 这是关于12z z 的一元二次方程，解此方程即得12z z 的值 6 解 ∵a >b ,a >2,b >2,∴ab ,a b ,a –b ,a +b 均为正数，且有ab >a +b >ab ,ab >a +b >a –b 假设存在一对实数a ,b 使ab ,a b ,a +b ,a –b 按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列 不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab ,a +b ,a –b ,a b , 或 ②ab ,a +b ,a b ,a –b 由（a +b ）2≠ab ²a b 所以②不可能是等比数列，若①为等比数列，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-+-=+22710257 ))(()()(2b a a b ab b a b a b a ab b a 解得 经检验知这是使ab ,a +b ,a –b ,ab 成等比数列的惟一的一组值 因此当a =7+25,b =22710+时，ab ,a +b ,a –b ,a b 成等比数列 7 解 如果直线l 垂直平分线段AB ，连AF 、BF ，∵F （2p ，0）∈l ∴|F A |=|FB |,设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),显然x 1>0,x 2>0,y 1≠y 2,于是有（x 1–2p ）2+y 12=(x 2–2p )2+y 22, 整理得 （x 1+x 2–p )(x 1–x 2)=y 22–y 12=–2p (x 1–x 2)显然x 1≠x 2(否则AB ⊥x 轴，l 与x 轴重合，与题设矛盾）得x 1+x 2–p =–2p 即x 1+x 2=–p <0,这与x 1+x 2>0矛盾，故直线l 不能垂直平分线段AB 8 解 设元件T 1、T 2、T 3能正常工作的事件为A 1、A 2、A 3，电路不发生故障的事件为A ，则P （A 1）=0.7，P （A 2）=0.8，P （A 3）=0.9（1）按图甲的接法求P （A ） A =（A 1+A 2）²A 3，由A 1+A 2与A 3相互独立，则P （A ）=P （A 1+A 2）²P （A 3）又P （A 1+A 2）=1–P （21A A ）=1–P （1A ²2A ）由A 1与A 2相互独立知1A 与2A 相互独立，得P （1A ²2A ）=P （1A ）²P （2A ）=［1–P （A 1）］²［1–P （A 2）］ =（1–0.7）³(1–0.8)=0.06，∴P (A 1+A 2)=0.1–P (1A ²2A )=1–0.06=0.94， ∴P (A )=0.94³0.9=0.846(2)按图乙的接法求P （A ） A =（A 1+A 3）²A 2且A 1+A 3与A 2相互独立，则P （A ）=P （A 1+A 3）²P （A 2），用另一种算法求P （A 1+A 3）∵A 1与A 3彼此不互斥，根据容斥原理P （A 1+A 3）=P （A 1）+P （A 3）–P （A 1A 3）， ∵A 1与A 3相互独立，则P （A 1²A 3）=P （A 1）²P （A 3）=0.7³0.9=0.63,P (A 1+A 3)=0.7+0.9–0.63=0.97∴P (A )=P (A 1+A 3)²P (A 2)=0.97³0.8=0.776(3)按图丙的接法求P （A ），用第三种算法A =（A 2+A 3）A 1=A 2A 1+A 3A 1,∵A 2A 1与A 3A 1彼此不互斥，据容斥原理，则P （A ）=P （A 1A 2）+P （A 1A 3）–P （A 1A 2A 3）， 又由A 1、A 2、A 3相互独立，得P （A 1²A 2）=P （A 1）P （A 2）=0.8³0.7=0.56, P (A 3A 1)=P (A 3)²P (A 1)=0.9³0.7=0.63,P (A 1A 2A 3)=P (A 1)²P (A 2)²P (A 3)=0.7³0.8³0.9=0.504,∴P (A )=0.56+0.63–0.504=0.686综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为0.846,0.776,0.686 故图甲的接法电路不发生故障的概率最大 课前后备注。
高考数学复习点拨探索性问题揭秘
D B1
解： ∵ AA1 平面 A1B1C1 ， C1D 平面 A1 B1C1 ，∴ AA1 C1 D ，
∵ A1C1 B1 C1 1 ， D 是 A1 B1 中点，∴ C1 D A1B1 ，
A
F
C
又∵ AA1 , A1 B1 平面 A1 B ， AA1 A1 B1 A1 ，∴ C1 D 平面 A1 B . 过点 D 作 DF AB1 ，交 BB1于点 F .
探索性问题揭秘
探索性问题又叫开放型问题，此类问题作为立体几何的一种创新题型，在近几年的高
考中正方兴未艾 . 和我们司空见惯的封闭型问题恰好相反，探索性问题没有明确的条件或结
论，条件或结论是什么或有没有需要通过探索才能知晓
. 正因为如此，探索性问题往往令很
多同学望而却步，不知所措 . 鉴于此，本文就揭秘空间垂直关系中常见的探索性问题，以期
A
D
∵ PA AD ，点 F 是 PD 的中点，∴ AF PD ， 又 CD , PD 平面 PCD ， CD PD D ，∴ AF 平面 PDC ，又 PE 平面 BPDC ，
E C
∴ PE AF .
评注： 此型问题的基本解法是：先探索猜想结论，再证明结论
.
例 1图
二、条件反溯型
例 2 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，已知 AA1 平面 A1B1C1 ， A1C1 B1C1 1 ，
分析： 先假设存在点 H ，使得 EH 平面 ABCD . 然后依据已知条件，
反向探求，若能探求出点 H 的位置，则存在；若导出矛盾，则不存在 .
解： 假设存在点 H ，使得 EH 平面 ABCD .
作 SF BC 于 F ，连结 AF ，
∵平面 SBC 平面 ABCD ，平面 SBC 平面 ABCD BC ，∴ SF 平面 ABCD .
【优化方案】(新课标)高考数学一轮复习 专题讲座四课件 文
k 1
k＋2 ＜m 对任意正整数 n 恒成立，若存在， Sk·（Tk＋k＋1） 求出 m 的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)当 n＝1 时，a2＝S1＋1＝a1＋1＝2； 当 n≥2 时， Sn＋1＝an＋1， Sn－1＋1＝an， 相减得 an＋1＝2an． 又 a2＝2a1，所以{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列， － 所以 an＝2n 1． n n n n－1 (2)由(1)知 an＝2 ，所以 bn＝ ＝ ＝ ． 4an 4×2n－1 2n＋1 n 1 2 3 所以 Tn＝ 2＋ 3＋ 4＋…＋ n＋1， 2 2 2 2 n －1 n 1 1 2 T ＝ ＋ ＋…＋ n＋1 ＋ n＋2． 2 n 23 24 2 2
(2015· 广东六校联考)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项 和，且有 a1＝1，Sn＋1＝an＋1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项 an； n (2)若 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn； 4an
n
(3) 是 否 存 在 最 小 正 整 数 m ， 使 得 不 等 式 ∑ ＝
条件探索性问题 此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求， 或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基
本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过
检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过 程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否， 误将必要条件当作充分条件，应引起注意．
k
k＋ 2 ＝ k ＋ 2 （2k－1）· （1－ k＋1 ＋k＋1） 2
＋
1
2k 1 1 ＝ ＝ 2( k k k＋1 （2 －1）· （2 －1） 2 －1
n k＋2 1 1 所以 ∑ Sk · ＝ ∑ 2( － ＋ ) ＝ 2(1 － k＝1 （Tk＋k＋1） k＝1 2k－1 2k 1－1
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题目高中数学复习专题讲座探索性问题 高考要求高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题 重难点归纳如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题 条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊 典型题例示范讲解 例1已知函数1)(2++=ax c bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)5（1）求函数f (x )的解析式；（2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点(1,0)对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由命题意图 本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力知识依托 函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题错解分析 不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；忽视b 为自然数而导致求不出b 的具体值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解技巧与方法 充分利用题设条件是解题关键 本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证解 （1）∵f (x )是奇函数∴f (–x )=–f (x )，即 1122++-=++-ax c bx ax c bx∴–bx +c =–bx –c∴c =0∴f (x )=12+ax bx 由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0，当x ＞0时，f (x )＞0∴f (x )的最大值在x ＞0时取得∴x ＞0时，22111)(b abx x b a x f ≤+= 当且仅当bxx b a 1= 即a x 1=时，f (x )有最大值21212=b a∴2ba =1,∴a =b 2 ① 又f (1)＞52，∴1+a b ＞52,∴5b ＞2a +2 ② 把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得21＜b ＜2 又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=12+x x （2）设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于点（1，0）对称，P (x 0,y 0)则Q （2–x 0,–y 0)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+020002001)2(21y x x y x x ,消去y 0，得x 02–2x 0–1=0解之，得x 0=1±2,∴P 点坐标为(42,21+)或(42,21--)进而相应Q 点坐标为Q （42,21--）或Q (42,21+) 过P 、Q 的直线l 的方程 x –4y –1=0即为所求例2如图，三条直线a 、b 、c 两两平行，直线a 、b 间的距离为p ，直线b 、c 间的距离为2p ，A 、B 为直线a 上两定点，且｜AB ｜=2p ，MN 是在直线b 上滑动的长度为2p 的线段（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C 的轨迹E ；（2）接上问，当△AMN 的外心C 在E 上什么位置时，d +｜BC ｜最小，最小值是多少？（其中d 是外心C 到直线c 的距离） 命题意图 本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力 知识依托 求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程 错解分析 ①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C 点位置需要一番分析 技巧与方法 本题主要运用抛物线的性质，寻求点C 所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目 解 （1）以直线b 为x 轴，以过A 点且与b 直线垂直的直线为y 轴建立直角坐标系设△AMN 的外心为C (x ,y )，则有A (0,p )、M （x –p ,0)，N (x +p ,0)， 由题意，有｜CA ｜=｜CM ｜ ∴2222)()(y p x x p y x ++-=-+,化简，得x 2=2py它是以原点为顶点，y 轴为对称轴，开口向上的抛物线（2）由（1）得，直线c 恰为轨迹E 的准线由抛物线的定义知d =｜CF ｜，其中F （0,2p ）是抛物线的焦点 ∴d +｜BC ｜=｜CF ｜+｜BC ｜由两点间直线段最短知，线段BF 与轨迹E 的交点即为所求的点直线BF 的方程为p x y 2141+=联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=py x p x y 221412得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.16179)171(41p y p x 即C 点坐标为(p p 16179,4171++) 此时d +｜BC ｜的最小值为｜BF ｜=p 217 例3已知三个向量a 、b 、c ，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a ｜=3,｜b ｜=2,｜c ｜=1，则a 用b 、c 表示为 解析 如图–a 与b ，c 的夹角为60°,且|a |=|–a |=3 由平行四边形关系可得–a =3c +23b , ∴a =–3c –23b 答案 a =–3c –23b 例4 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p ，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p 而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？2 解析 飞机成功飞行的概率分别为 4引擎飞机为 4222443342224)1(4)1(6C )1(C )1(C P P P P P P P P P P +-+-=+-+- 2引擎飞机为222212)1(2C )1(C P P P P P P +-=+-⋅ 要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有6P 2（1–P ）2+4P 2（1–P ）+P 4≥2P (1–P )+P 2,解得P 32 即当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全学生巩固练习 1 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( )①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β A ①与② B ①与③ C ②与④ D ③与④ 2 某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票 现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( ) A 7张 B 8张 C 9张 D 10张 3 观察sin 220°+cos 250°+sin20°cos50° =43,sin 215°+cos 245°+sin15°²cos45°=43， 写出一个与以上两式规律相同的一个等式4 在四棱锥P —ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，问底面的边BC 上是否存在点E（1）使∠PED =90°；（2）使∠PED 为锐角 证明你的结论5 已知非零复数z 1,z 2满足｜z 1｜=a ,｜z 2｜=b ,｜z 1+z 2｜=c （a 、b 、c 均大于零），问是否根据上述条件求出12z z ？请说明理由6 是否存在都大于2的一对实数a 、b (a ＞b )使得ab ,ab ,a –b ,a +b 可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a 、b 的值，若不存在，说明理由7 直线l 过抛物线y 2=2px (p ＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A 、B 直线l 能否平分线段AB ？试证明你的结论8 三个元件T 1、T 2、T 3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？参考答案 1 解析 ①l ⊥α且α∥β⇒l ⊥β,m ⊂β⇒l ⊥m②α⊥β且l ⊥α⇒l ∥β,但不能推出l ∥m③l ∥m ,l ⊥α⇒m ⊥α,由m ⊂β⇒α⊥β④l ⊥m ,不能推出α∥β 答案 B 2 解析 选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张 故8张 答案 B 3 解析 由50°–20°=(45°–15°)=30°可得sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°4答案 sin 2α+cos 2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=43 4 解 (1)当AB ≤21AD 时，边BC 上存在点E ，使∠PED =90°;当AB >21AD 时，使∠PED =90°的点E 不存在 （只须以AD 为直径作圆看该圆是否与BC 边有无交点）（证略）（2）边BC 上总存在一点，使∠PED 为锐角，点B 就是其中一点 连接BD ，作AF ⊥BD ，垂足为F ，连PF ，∵P A ⊥面ABCD ，∴PF ⊥BD ，又△ABD 为直角三角形，∴F 点在BD 上，∴∠PBF 是锐角 同理，点C 也是其中一点5 解 ∵|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=|z 1|2+|z 2|2+(z 12z +1z z 2)∴c 2=a 2+b 2+(z 12z +1z z 2)即 z 12z +1z z 2=c 2–a 2–b 2 ∵z 1≠0,z 2≠0，∴z 12z +1z ²z 2=12112221z z z z z z z z + =|z 2|2(21z z )+|z 1|2(12z z ) 即有 b 2(21z z )+a 2(12z z )=z 1z 2+z 1z 2 ∴b 2(21z z )+a 2(12z z )=c 2–a 2–b 2∴a 2(12z z )2+(a 2+b 2–c 2)(12z z )+b 2=0 这是关于12z z 的一元二次方程，解此方程即得12z z 的值 6 解 ∵a >b ,a >2,b >2,∴ab ,a b ,a –b ,a +b 均为正数，且有ab >a +b >ab ,ab >a +b >a –b 假设存在一对实数a ,b 使ab ,a b ,a +b ,a –b 按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列 不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab ,a +b ,a –b ,a b , 或 ②ab ,a +b ,a b ,a –b 由（a +b ）2≠ab ²ab 所以②不可能是等比数列，若①为等比数列，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-+-=+22710257 ))(()()(2b a a b ab b a b a b a ab b a 解得 经检验知这是使ab ,a +b ,a –b ,ab 成等比数列的惟一的一组值 因此当a =7+25,b =22710+时，ab ,a +b ,a –b ,a b 成等比数列 7 解 如果直线l 垂直平分线段AB ，连AF 、BF ，∵F （2p ，0）∈l ∴|F A |=|FB |,设A （x 1,y 1）,B (x 2,y 2),显然x 1>0,x 2>0,y 1≠y 2,于是有（x 1–2p ）2+y 12=(x 2–2p )2+y 22, 整理得 （x 1+x 2–p )(x 1–x 2)=y 22–y 12=–2p (x 1–x 2)显然x 1≠x 2(否则AB ⊥x 轴，l 与x 轴重合，与题设矛盾）得x 1+x 2–p =–2p 即x 1+x 2=–p <0,这与x 1+x 2>0矛盾，故直线l 不能垂直平分线段AB 8 解 设元件T 1、T 2、T 3能正常工作的事件为A 1、A 2、A 3，电路不发生故障的事件为A ，则P （A 1）=0.7，P （A 2）=0.8，P （A 3）=0.9（1）按图甲的接法求P （A ） A =（A 1+A 2）²A 3，由A 1+A 2与A 3相互独立，则P （A ）=P （A 1+A 2）²P （A 3）又P （A 1+A 2）=1–P （21A A ）=1–P （1A ²2A ）由A 1与A 2相互独立知1A 与2A 相互独立，得P （1A ²2A ）=P （1A ）²P （2A ）=［1–P （A 1）］²［1–P （A 2）］ =（1–0.7）³(1–0.8)=0.06，∴P (A 1+A 2)=0.1–P (1A ²2A )=1–0.06=0.94， ∴P (A )=0.94³0.9=0.846(2)按图乙的接法求P （A ） A =（A 1+A 3）²A 2且A 1+A 3与A 2相互独立，则P （A ）=P （A 1+A 3）²P （A 2），用另一种算法求P （A 1+A 3）∵A 1与A 3彼此不互斥，根据容斥原理P （A 1+A 3）=P （A 1）+P （A 3）–P （A 1A 3），∵A 1与A 3相互独立，则P （A 1²A 3）=P （A 1）²P （A 3）=0.7³0.9=0.63,P (A 1+A 3)=0.7+0.9–0.63=0.97∴P (A )=P (A 1+A 3)²P (A 2)=0.97³0.8=0.776(3)按图丙的接法求P （A ），用第三种算法A =（A 2+A 3）A 1=A 2A 1+A 3A 1,∵A 2A 1与A 3A 1彼此不互斥，据容斥原理，则P （A ）=P （A 1A 2）+P （A 1A 3）–P （A 1A 2A 3）， 又由A 1、A 2、A 3相互独立，得P （A 1²A 2）=P （A 1）P （A 2）=0.8³0.7=0.56, P (A 3A 1)=P (A 3)²P (A 1)=0.9³0.7=0.63,P (A 1A 2A 3)=P (A 1)²P (A 2)²P (A 3)=0.7³0.8³0.9=0.504,∴P (A )=0.56+0.63–0.504=0.686综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为0.846,0.776,0.686 故图甲的接法电路不发生故障的概率最大 课前后备注。