高三数学一轮复习精品教案1：三角函数的图像与性质教学设计

4.3三角函数的图像与性质
(下表中k ∈Z ).
1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 『试一试』
1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫
π4－x 的定义域是________．
『答案』⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
x ≠k π＋3π
4，k ∈Z ，x ∈R 2．(2013·南京三模)函数y ＝sin x ⎝⎛⎭⎫－π4
≤x ≤3π
4的值域是________． 『解析』因为－π4≤x ≤3π4，由y ＝sin x 的图像知－2
2
≤sin x ≤1，故函数y 的值域为
⎣⎡⎦
⎤－22，1. 『答案』⎣
⎡⎦
⎤
－
22，1
1．三角函数单调区间的求法
先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内考虑．注意区分下列两题的单调增区间的不同：
(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π
4－2x . 2．求三角函数值域(最值)的两种方法
(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图像写出函数的值域；
(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． 『练一练』
1．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是________．
『解析』作出函数y ＝|sin x |的图像观察可知，函数y ＝|sin x |在⎝⎛⎭⎫π，3π
2上递增． 『答案』⎝
⎛⎭⎫π，3π
2 2．(2013·天津高考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上的最小值为________． 『解析』由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－2
2，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－2
2
. 『答案』－
2
2
考点一
三角函数的定义域与值域
1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π
2上的值域为________． 『解析』当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π
6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－3
2，3，
即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－3
2，3. 『答案』⎣⎡⎦
⎤－3
2，3 2．(2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －1
2
的定义域为________．
『解析』要使函数有意义必须有 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪
⎧
sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π
3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π
3
＋2k π，k ∈Z ，
∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 『答案』⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
2k π<x ≤π
3＋2k π，k ∈Z 3．(1)函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 『解析』(1)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋9
8
.
故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， 故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为『－9,1』． (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦
⎤－1
2，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝ 2⎝
⎛⎭⎫sin x －142＋7
8. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78
，
当sin x ＝－1
2或sin x ＝1时，y max ＝2.
『答案』(1)『－9,1』 (2)7
8
2
『备课札记』 『类题通法』
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；
(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．
考点二
三角函数的单调性
『典例』 求下列函数的单调递减区间： (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4；(2)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π
3－2x . 『解』 (1)由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π
2，k ∈Z ，
得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π
4，k ∈Z .
故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭
⎫x －π
4的单调减区间为 ⎣
⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )．
(2)把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π
3. 由k π－π2<2x －π3<k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－π6<2x <k π＋5π
6，k ∈Z ，
即k π2－π12<x <k π2＋5π
12
，k ∈Z . 故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为
⎝⎛⎭
⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． 『备课札记』
若将本例(1)改为“y ＝2⎪⎪⎪
⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4”，如何求解？ 『解析』画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣
⎡⎦⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )．
『类题通法』
三角函数的单调区间的求法
(1)代换法：
所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数整理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．
(2)图像法：
函数的单调性表现在图像上是：从左到右，图像上升趋势的区间为单调递增区间，图像下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图像，结合图像易求它的单调区间．
提醒：求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．
『针对训练』
1．(2013·盐城二模)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π
4，x ∈『－π，0』的单调增区间为________． 『解析』当x －π
4∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f (x )的单调增区间．又因为x ∈『－π，0』，故取k ＝0得x ∈⎣⎡⎦
⎤－π
4，0 『答案』⎣⎡⎦
⎤－π
4，0 2．(2013·苏北四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π
3上单调递增，则ω的最大值为______．
『解析』依题意可知12×T ≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为3
4.
『答案』3
4
考点三
三角函数的对称性与奇偶性
正、余弦函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.正切函数的图像只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一.归纳起来常见的命题角度有：1求三角函数的对称轴或对称中心；
2由三角函数的对称性求参数值； 3三角函数对称性的应用.
角度一 求三角函数的对称轴或对称中心
1．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.
(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π
3时，求f (x )的最大值和最小值． 『解析』(1)f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝
2π
2
＝π. 令 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π
12(k ∈Z )， 所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π
6， 所以－1
2
≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 所以当x ＝－π6时，f (x )的最小值为－1；当x ＝π
6时，f (x )的最大值为2.
角度二 由三角函数的对称性求参数值
2．(2014·连云港期末)若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫
π3，0中心对称，则φ＝________.
『解析』由题意得3sin ⎝⎛⎭⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π
3. 『答案』π
3
3．已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．
『解析』由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2π
ω≤π，ω≥2.
『答案』2
角度三 三角函数对称性的应用
4.(2014·辽宁五校联考)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．
『解析』由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝1
2cos ωx ，又由题图知
12·2π
ω
＝1，所以ω＝π， 所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝3
4. 『答案』
3
4
『备课札记』 『类题通法』
1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.
2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．
『课堂练通考点』
1．(2014·常州统考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π
2的单调增区间是________． 『解析』由0≤x ≤π2，可知π4≤2x ＋π4≤5π
4.又y ＝sin x 的单调增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，从而π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π
8
，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤0，π8. 『答案』⎣⎡⎦
⎤0，π
8 2．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π
6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间为________．
『解析』 根据已知得2πω＝π，得ω＝2.由不等式2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2
(k ∈Z )，解得k π
－π6≤x ≤k π＋π
3
(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 『答案』⎣
⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π
3(k ∈Z ) 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________． 『解析』由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π
4得 2k π≤2x －π
4≤2k π＋π(k ∈Z )，
解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8
(k ∈Z )．
所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π
8(k ∈Z )． 『答案』⎣
⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π
8(k ∈Z ) 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4的图像与x 轴交点的坐标是________． 『解析』由2x ＋π
4＝k π(k ∈Z )得，
x ＝k π2－π
8
(k ∈Z )．
∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π
8，0. 『答案』⎝⎛⎭⎫
k π2－π8，0
5．(2013·南京二模)对函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题： (1)函数f (x )是偶函数；
(2)函数f (x )的最小正周期是2π；
(3)点(π，0)是函数f (x )的图像的一个对称中心；
(4)函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π
2，0上单调递减． 其中是真命题的是________(填序号)． 『解析』由f (x )＝x sin x 知其定义域为R ， 对于(1)，f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )， 所以f (x )是偶函数；
对于(2)，f ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＝⎝⎛⎭⎫2π＋π2sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＝5π
2， 而f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，显然f ⎝
⎛⎭⎫2π＋π2≠f ⎝⎛⎭⎫π2；
对于(3)，f ⎝⎛⎭⎫π－π2＝π2，f ⎝⎛⎭⎫π＋π2＝－3π2， 显然f ⎝⎛⎭⎫π－π2≠－f ⎝⎛⎭
⎫π＋π2； 对于(4)，f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，易知f ′(x )>0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π
2上为增函数，由(1)知f (x )在⎣⎡⎦
⎤－π
2，0上为减函数． 『答案』(1) (4)。