数学中的对称美完整版
《对称的美》课件
对称在生物进化中的作用
对称的形态和结构在生物进化中具有重要的作用，它能够提 高生物的生存能力和繁殖能力，使生物更好地适应环境的变 化。
在生物进化中，对称的形态和结构有助于生物的运动和捕食 ，提高生物的竞争力和适应能力，从而更好地生存和繁衍。
06
对称的美学意义与价值
对称的美学意义
对称是一种自然现象和美学法则 ，它存在于自然界、艺术、建筑
和日常生活中。
对称能够给人带来和谐、平衡和 稳定的感觉，使事物显得更加美
观和优雅。
对称可以表达出一种秩序、规律 和完美的美学理念，使人们感受
到自然和人类创造力的美感。
对称的价值与作用
对称在艺术设计中具有重要的作用，它能够创造出更加美观和有吸引力的作品。
对称在建筑设计中也广泛应用，它能够使建筑物显得更加稳定、美观和有气势。
对称在科学实验和工程设计中也具有实际的应用价值，它能够提高实验的准确性和 工程的安全性。
对称在现代设计中的应用与发展
在现代设计中，对称被广泛应 用，如平面设计、产品设计、 服装设计等领域。
随着科技的发展，对称的设计 理念也在不断发展和创新，出 现了更加多样化和个性化的对 称形式。
形象和故事情节。
对称在平面设计中的美学价值
要点一
总结词
要点二
详细描述
对称在平面设计中具有美学价值，能够带来和谐、稳定的 视觉感受。
对称是一种自然美的形式，在平面设计中运用对称可以营 造出和谐、稳定的视觉感受，提升设计的美学价值。同时 ，通过对称的运用也可以表达出一种庄重、大气的设计风 格。
05
对称在自然界和生物中的应 用
数学中的对称美
数学中的对称美古代哲学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美．”作为科学语言的数学，具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的美，即数学美．数学美是一种理性的美、抽象的美．数学美的主要特征有：简洁性、对称性、统一性、奇异性．它们各有其独特的魅力，给人带来不同的愉悦和享受．在初等数学和高等数学中，对称美表现得尤为突出．对称通常指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系．自然界的许多事物都呈现对称性，例如，人体是左右对称的，太阳是对称的，就连蜂巢、蛛网也成正多边形等等．从数学的观点看，对称有两方面的含义：第一，对称只不过是一类很特殊的变换，具有对称性的图形，是指在对称变换下仍变成它自己的图形．以此观之，在其他变换下不变的图形，也应该具有对称美．第二，在抽象意义上，对称意味着数量之间的平衡关系和在意义上的相反相成关系．数学中的对称美是指部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，以及各种数学概念和理论之间存在的“对等性”．因而，对称美是数学美的重要组成部分．在数学教育中，教师要有意识地揭示数学中的对称美，从而培养学生的美感和解决问题的能力．下面以数学中的实例来说明数学的对称美及其在数学研究和解题中的应用．1 数学图形中的对称美是数学美的主要体现]1[“为什么把车轮做成圆形？”这个有趣的问题就体现了数学的对称美．几何图形的对称美是对数学对称美最通俗直观的解释．在几何图形中，等腰三角形是轴对称的；平行四边形是中心对称的；圆关于圆心是对称的，关于直径也是对称的；球形则最为特殊，它既是中心对称的，又是轴对称的，也是面对称的图形．正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆．”又如《解析几何》中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面等这些图形都有鲜明的对称性，直观地给人以美的享受．正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案和精美的建筑，从而陶冶了人们的情操．2 数学中的对称美是数学美的重要内容对称是数学美的重要内容，它给人们一种圆满而匀称的美感和享受．下面从不同角度来看数学中的对称美．2.1 数和式中的对称美奇数和偶数，质数和合数，约数和倍数，整数和分数，正数和负数等都体现了数学中数的对称性，使人感到一种很强的对称美感．从式的角度看，在代数上形如21x x +，21x x ，321x x x ++，212323222221x x x x x x ++等均称为对称多项式（即一个多项式n x x x f Λ,,(21)中任何两个变元j i x x ,对调后，所得的多项式与原来的多项式相同）．几何上关于三角形面积S 的海伦公式便是以对称多项式的形式出现的S =))()((c p b p a p p --- ，这里p 为三角形周长的一半．三角学中的很多公式如：βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+都体现着对称美．又如二项式的展开式：n n n n n n n n n n n b C ab C b a C a C b a ++++=+---11110)(ΛΛ中，0n C =ΛΛ11,-=n n n n n C C C ，也表现出一种对称美．在这个式子中，a 与b 的位置交换，结果是不变的．在中国古代数学遗产中，值得注意的一例是令中国人骄傲的杨辉三角（如下图），左、右两个斜行各数都是1，其余各数都等于它肩上两个数字的和．多么和谐、奇异而美妙的结构，这种对称的排列，内容深刻独到，便于理解和记忆．11 11 2 11 3 3 11 4 ６ 4 1……2.2 运算中的对称美加与减，乘与除，乘幂与开方，指数与对数，微分与积分，矩阵与逆矩阵这些互逆运算可以看作一种“对称”关系．此外，在集合运算中，以下公式很具有对称性：B A B A B A B A Y I I Y ==,．2.3 函数中的对称美函数与反函数也视为一种对称，更一般地，变换与反变换，映像与逆映像也属于对称．2.4 命题中的对称美与原命题并存，有逆命题、否命题、逆否命题．原命题与逆命题互逆，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题互否，逆命题与逆否命题互否．可是，原命题与逆否命题等效，逆命题与否命题也等效．射影几何中的对偶定理，布尔代数中的对偶原理，分析中的对偶算子、共轭空间，规划论中的对偶规划等均表现出命题关系中的对称性．2.5 数学思想和方法中的对称美数学中的“对称”体现了数学美，不仅具有美学上的价值，而且在数学理论中应用比较广泛，同时也给数学提供了一种独特的解题思想和方法——对称思想和对称方法．常用的对称方法有分析法与综合法，直接法与反证法，逻辑思维与逆向思维等均体现了对称美．3 数学中对称美的应用3.1 对称美在数学研究中的应用对称性本身就是一种美，它是自然美的一种最直接的展示，数学作为客观事物在量和形上的一种表达形式，必然会反映这种美．许多数学家往往出于对数学对称美的考虑而获得重要的数学结果．下面举两个例子．例]2[ 3.1.1 自然对数的产生为什么人们通常采用以e 为底的自然对数（e Λ71828.2≈）而不是以10为底的常用对数呢？对此有多种可能的解释，但其中之一的原因就是出于对对称美的考虑．从实际看，以10为对数的底的常用对数是很方便的，但是从美学角度看，常用对数却不是十分理想的．因为：第一，真数及其常用对数的增长表现出明显的不对称性．当真数由1增大到10000时，常用对数却只从0增大到4．第二，当真数均匀地增长时，其常用对数却是不均匀的．为了克服这种不对称性，就尝试采用较小的底数，经过试验并使用极限工具，从而产生了自然对数，这正是人们对对称美追求的结果．例3.1.2 射影几何理论的创立我们知道，在欧氏平面几何中，过两点可作一条直线，但直线不总有一个交点（当这两条直线平行时）．如果我们设想两平行线相交于无穷远点，那么就形成完全对称关系了．笛沙格正是在此设想下引进了“无穷远点”的概念，从而推动了几何的发展，建立了射影几何学．那么，为什么只是在直线上引进一个无穷远点，而不是两个呢？对于这个问题，唯一的解答就是对对称美的追求．通过引进一个无穷远点，我们就可以在平面上的直线与点之间建立对偶关系．反之，如果引进两个无穷远点，就会破坏这种对偶性．这样，在射影几何理论中，点与直线始终具有对称的重要特征，例如，两点确定一条直线，两直线确定一点；不共线三点确定一个三角形，不共点三直线也唯一地确定一个三角形等等．欧氏平面几何的定理与射影几何中的定理之间也就构成一种对称关系．3.2 对称美在数学解题中的应用数式结构的对称，必将蕴含着解法（证法）的对称．因而，具有相同结构特征的数式具有同等的地位，处理的手法必将相同．从数学中的对称美的角度出发，常能起到优化解题思路和简化解题过程的效果．因此，巧妙地利用数学问题的对称性，有助于找到简洁优美的解决法，也有利于思想水平的提高．下面列举一些运用对称方法解题的例子．例3.2.1 求函数xy z =)0,0(>>y x 在满足条件1=+y x 时的最大值．解 根据y x ,的对称性，令k y k x +=-=21,21，则241)21)(21(k k k xy z -=+-==，故当0=k 即21==y x 时，xy z =取得最大值：412121=⨯=z ． 此题有多种解法，而利用对称性求解更令人赏心悦目．例]3[ 3.2.2 已知:0=++c b a ，求证:333c b a ++abc 3=证明 根据对称关系给等式0=++c b a 赋予活的数学内容，那将出现一种新的局面．首先，它不再是一个静止的等式，而是方程0=++cz by ax 有非零解:1===z y x ．其次，它不再是一个孤立的等式，而是三个同样的等式:0=++c b a ;0=++b a c ;0=++a c b ．最后，将上述两个等式结合起来，得齐次线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000az cy bx bz ay cx cz by ax 有非零解而系数行列式等于零，即abc c b a ac bb ac c ba 30333-++== 所以333cb a ++abc 3=． 评注 在这里既没有用到乘方公式，也没有用到因式分解的技巧，而是对方程解的定义的理解，根据对称性，把0=++c b a 转化为齐次线性方程组，从而归结为行列式的简单展开．例3.2.3 设,0,0≠=++xyz z y x 求)11()11()11(yx z z x y z y x +++++的值． 分析 条件式具有对称性，为追求欲求式中三项的和谐统一和考虑出现0=++z y x ，审美直觉心理倾向于在每个括号里添一项，美化成关于zy x 111++的对称统一式． 解 原式可化为： zz y y x x z y x z z y x y z y x x 111)111()111()111(⋅-⋅-⋅-++++++++ =33)111)((-=-++++zy x z y x 评注 根据式子中的轮换对称，通过“添项”，实现了整体形式高度统一，从而获得题突破口，问题得解．这里的“添项”是数学对称美的具体体现．例3.2.4 如图，060=∠=∠ACD ABD ，BDC ADB ∠-=∠21900．求证：ABC ∆ 是等腰三角形．证明 以AD 为对称轴作ABD ∆的对称图形,AED ∆ ABD E AB AE ADB ADE ∠=∠=∠=∠,, 因为BDC ADB ∠-=∠21900 所以ADE ADC CDE ∠+∠=∠ADB BDC ADB ∠+∠+∠=)(BDC ADB ∠+∠=2BDC BDC ∠+∠-=)180(00180=所以CDE 是直线段．在ACE ∆中，因为E ABD ACD ∠=∠=∠所以AE AC =从而,AC AB =即ABC ∆是等腰三角形．例]4[ 3.2.5 设函数)(x f 满足条件3)()(bx x af x f =-+，其中b a ,是常数)0,1(2≠≠b a ，求)(x f ．分析 根据题目所给条件进行解题似乎无从下手，但通过认真观察所给的条件发现x 与x -是一对互为相反数，从对称关系出发，将两者互换又得到了一个方程，因此得到了解题的思路．解 将所给条件中的x 与x -互换得到方程3)()(bx x af x f -=+-，联立已知条件得到⎩⎨⎧-=+-=-+33)()()()(bxx af x f bx x af x f 解得0)()1()()1(=++-+x f a x f a 又,12≠a 整理得：,0)()(=+-x f x f 则函数)(x f 是奇函数．由此可知3)()()()(bx x af x f x af x f =-=-+，即得a bx x f -=1)(3． A B E DC评注 数学的对称美不单是“形”之美，也是一种非常重要的数学思想，正如此题，利用好数学的对称思想可以使一些问题解答变得十分简洁而优美，从而收到事半功倍之效．3.3 数学中的对称美在规划论中的应用在现代生活中，我们常常遇到这样的问题：（1）利用有限的资源（人力，物力，财力）去完成最大的任务．（2）利用最少的资源完成规定的任务．这两类题就是《规划论》中的对偶问题．我们把问题（1）视为原问题，问题(2)视为原问题的对偶问题．由于它们具有对称性，我们要求原问题的最大值，就是求对偶问题的最小值；要求对偶问题的最小值就是求原问题的最大值．当原问题的约束条件不等式的个数比决策变量的个数多时，用求解对偶问题代替原问题的求解，可使计算量大大减少．下面先通过一个实例，来说明对偶性规划的意义．例3.3.1 某农场种植某种作物，全部生产过程中至少需要氮肥32公斤、磷肥24公斤、钾肥42公斤．市场上有甲、乙、丙、丁四种综合肥料可供选用．已知这四种肥料每公斤的价格和每公斤所含氮、磷、钾成分的数量如下表．问应如何配合使用这些肥料，才能既满足作物对氮、磷、钾的需要，又能使施肥成本最低？设甲、乙、丙、丁四种肥料的用量分别为4321,,,x x x x 公斤，则问题的数学模型是如下的线性规划问题：,13.01.015.004.0m in 4321x x x x f +++=..t s ,3215.03.003.0421≥++x x x,241.02.005.0431≥++x x x,4207.014.041≥+x x0≥j x ).4,3,2,1(=j现在从另外一个方面提出如下问题：某肥料公司，针对上述类型的农场的需要，计划生产氮、磷、钾三种单成分的化肥．该公司要为这三种化肥确定单价，既要使获利最大，又要能与市场现有的甲、乙、丙、丁四种综合肥料相竞争，问应如何定价？设氮肥、磷肥、钾肥的单价分别定为321,,u u u 元．收益为g ．则这个问题的数学模型是如下的线性规划问题：,422432m ax 321u u u g ++=..t s ,04.014.005.003.0321≤++u u u,15.03.01≤u,1.02.02≤u,13.007.01.015.0321≤++u u u0≥i u ).3,2,1(=i我们称后一个问题是前一个问题的对偶问题．作为数学美基本特征之一的对称美，其内容是十分丰富的．上述所及不过是管中窥豹．在数学教学和学习中应注意挖掘数学中对称美的因素，利用数学的对称性考查数学对象，思考数学问题，形成数学思维的美学方法和解题策略．美的观点一旦与数学问题的条件和结论特征结合，思维主体就能凭借已有的知识和经验产生审美直觉，从而确定解题的总体思路或入手方向．因此，学习数学的对称思想，体验数学的对称美，培养对数学的审美能力，并用美的思想去创造美，不仅有利于激发同学们的学习兴趣，更有助于培养同学们发明创造的能力．综上所述，对称在数学中是普遍存在的，在从事数学学习与研究的过程中，应充分认识到数学美尤其是对称美的价值，学会从美学的角度去欣赏数学，学习数学，发展数学，从而把数学学习与研究变得充满情趣，富有魅力．。
数学对称之美
数学中的对称之美无处不在，无论是几何图形还是代数形式，都展现出了对称的魅力。
在几何中，对称被赋予了直观的意义。
例如，一个圆是关于其中心对称的，一个正方形是关于其中心和两对边中点对称的，等等。
在更复杂的几何形态中，例如螺旋体和曲面，对称性也是普遍存在的。
而在代数中，对称的概念被推广到了更广泛的领域。
例如，对于一个函数f(x)，如果存在一个实数a，使得f(a+x)=f(a-x)，那么这个函数就被称为关于a对称。
这种对称性在解析几何中也有着广泛的应用，例如在研究函数图像的性质时。
毕达哥拉斯学派认为，美的线条和其他一切美的形体都必须有对称的形式。
这种观点被广泛接受，并在建筑、艺术和科学中都有所体现。
例如，中国的建筑，无论是宫殿、庙宇、亭台、楼阁还是园林，都注重对称之美。
这种对称美也被应用到了其他领域，如摄影、设计等。
除此之外，对称性在物理学中也有着重要的应用。
例如，在量子力学中，粒子的自旋是一种对称操作。
而在相对论中，洛伦兹变换也具有对称性。
总的来说，对称性在数学和物理学中扮演着重要的角色，它不仅具有美学价值，也是人类探索自然世界的重要工具。
数学论文数学中的对称美及应用资料
谈数学中的对称美与在解题中的应用吴恋，数学计算机科学学院摘要本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题.在数学问题的解题过程中，巧妙地构造对称美，从整体上把握问题的实质，优化解题过程.先是就对称在微积分中的应用，列举了一些重要的结论及其在解题中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在数学教学中的应用，通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法，从而促进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为，更好地理解数学知识，提高学生解决数学问题的能力.关键词：对称；数学美；轮换对称性；积分区间；对称性原理；数学思想1引言1.1对称美对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外著名的建筑、艺术珍品中看到.天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严.在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,充分展现出事物协调环境、自我完善的、和谐的自然美.1.2数学中的对称美美，不仅存在于艺术、文学中，存在于大自然以及社会生活中，而且也存在于自然科学中，存在于数学之中.早在两千多年前，古代哲学家、数学家普洛克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美.”这就是说，数学中也充满了美的因素.作为一门科学，数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美，即数学美.数学美的内容非常丰富，包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一，正如德国著名的数学家和物理学家魏尔所说的：“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的作用,一直是数学们长期追求的目标，有时甚至把它作为一种尺度，是数学创造与发现的美学方法之一.在数学中，不少的概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的.数学中众多的轴对称，中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对称美.对于数学概念，也是一分为二地成对出现的：整－分，奇－偶，和－差，曲－直，方－圆，分解－组合，平行－交叉，正比例－反比例……，都显得那么的稳定、和谐、协调、平衡，如此地奇妙动人.2数和式的对称美2.1数的对称美在数学中，如果一个整数，它的各位数字是左右对称的，我们就称这个数是对称数.例如：1234321、123321等.对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数.奇位对称数是指位数是奇数的对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数.偶位对称数是指位数是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数.产生对称数的方法有很多种：(1) 形如11、111、1111、……的数的平方数是对称数.如：1×9+2=11 12×9+3=111 ...............123456789×9+10=1111111111(2)某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，也可得到对称数. 如：475475+574=1049 1049+9401=10450 10450+05401=15851 15851也是对称数.美的主要形式就是秩序，匀称和确定性，上面的几个式子就巧妙的体现了数和式中的对称美.可以看出，数学与美学是紧密相连，相辅相成的. 2.2式的对称美如果在代数式中，把任意的两个字母对换，代数式仍然保持不变，像这样的代数式就称为是对称代数式或对称式.如：223223,2,33x y z x xy y x x y xy y +++++++,互换式子中的,x y ,得到的式子仍然成立.在对称式中，字母是对称的，地位是平等的. 在二项式定理：00111222222110()n n n n k n k kn n n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b -------+=+++++++中，如果把当1,2,n n =的二项式展开式的系数列成如下：11 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 15 10 10 5 1 16 15 20 15 6 10n C 1n C 2n C 3n Cn n C这就是著名的“杨辉三角”，它是宋朝数学家杨辉的杰作.杨辉三角是我国数学发展史上的一个成就，它反映的就是数学美的对称性.在代数学中，也存在着漂亮的对称式，如：初等对称多项式：112212131112n n n nn n x x x x x x x x x x x x x x σσσ-=+++⎧⎪=+++++⎪⎨⎪⎪=⎩， 它在解题中也有广泛的应用.其中在运用初等对称多项式解题时联系最紧密的就是根与系数的关系定理：对于n 次多项式11110()n n n n f x a x a x a x a --=++++的n 个根12,,,n x x x有如下关系：1122121311012(1)n n nn n n nn n n n a x x x a a xx x x x x x x a a x x x a ---⎧+++=-⎪⎪⎪+++++=⎪⎨⎪⎪⎪=-⎪⎩由此定理可以非常简便的求出关于多项式根的对称多项式的值.例1.设1a ，2a ，3a 是方程0876523=-+-x x x 的三个根，计算：))()((233121233222222121a a a a a a a a a a a a ++++++（*）的值.解：令3211a a a ++=σ. 3132212a a a a a a ++=σ， 3213a a a =σ， 则 561=σ,572=σ,583=σ. 再将（*）式化为初等对称多项式的多项式，得：))()((233121233222222121a a a a a a a a a a a a ++++++ =323312221σσσσσ--=-6251679. 由上面的例子可以看出，对称性在数学中是广泛存在的，数学与对称是紧密相连的.3对称美在数学中的应用3.1对称在数学解题中的应用解题是一门艺术，对称性是艺术的一个非常重要的要素，如果在解题的过程中注意到对称性，那么就可以减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题的效率，达到事半功倍的效果.微分与积分也是一对具有对称美的事物，而对称性的方法也是微积分计算中常用的方法.3.1.1对称在微分学中的一些结论与应用定理：（1）若(,)(,)u x y u y x =，则(,)(,)y x u x y u y x =；(2) 若(,)(,)u x y u y x =-，则(,)(,)y x u x y u y x =-.因此若求出x u ，则可直接写出y u ，xx u 与yy u 的关系，也是如此. 例2.设()xy u e x y =-，求出x u ，y u ，xx u ，yy u . 解：2()(1)xy xy xy x u e y x y e e xy y =-+=-+，223(1)(2)xy xy xy xx u e y xy y e y e xy y y =-++=-+.对称的有：2(1)xy y u e x xy =--，32(2)xy yy u e x x y x =--. 3.1.2对称在积分学中的一些结论和应用3.1.2.1在重积分计算中，经常利用多元函数的轮换对称性来解题.轮换对称性的定义:若积分区域或被积函数的表达式中,将其变量x,y,z 按下列次序:x →y;y →z;z →x 后,其表达式均不变,则称积分区域或被积函数关于变量x,y,z 具有轮换对称性. 定理1：(二重积分的坐标轮换对称性)如果区域D 的边界曲线方程是关于x,y 地位对称，(,)f x y 在D 上连续,则(,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰定理2：(三重积分的坐标轮换对称性)如果有界闭区域Ω的边界曲面的方程关于x,y,z 地位对称,()f u 在Ω上连续,则()()()f x dxdydz f y dxdydz f z dxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.由此，可以推广到：定理3：(n 重积分的坐标轮换对称性)如果n 维有界闭区域V 的边界曲面的方程关于12,,,n x x x 地位对称，()f u 在V 上连续,则112()n f x dx dxdx ⎰⎰⎰⎰=212()n f x dx dxdx ⎰⎰⎰⎰=12()nn f x dx dxdx =⎰⎰⎰⎰例3.计算三重积分2()()f x dxdydz x y z dxdydz ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Ω是0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤所围成正方形(a 为一大于0的实数).解：2222()(222)I x y z dxdydz x y z xy xz yz dxdydzΩΩ=++=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰中被积函数及积分区域都有轮换对称性.所以222xd x d y d z y d x d y d zz d x d y d zΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，xydxdydz xzdxdydz yzdxdydz ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，故2(36)I x xy dxdydz Ω=+⎰⎰⎰260005(36)2a a adz dy x xy dx a =+=⎰⎰⎰.3.1.2.2 利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，可简化定积分的计算. 定理：设()f x 是[]b a ,上的连续函数，则通过变换x a b t =+-，可得：()baf x dx ⎰=()baf a b x dx +-⎰[]22()()a b af x f a b x dx +=++-⎰这就是积分区间的对称原理.特别地，当()()f x f a b x =+-时，有()ba f x dx ⎰22()ab af x dx +=⎰.例4.求积分2π⎰.解：由于()f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有界，且只有可去间断点2x π=,故定积分存在.由积分区间对称原理可得：原积分201121()2dx x ππ⎡⎤⎢⎥=+⎥⎥+-⎣⎦⎰220011224dx dx πππ===⎰⎰. 若被积函数是非奇非偶时，通过适当的换元或拆项等方法也可转化为对称区间的积分问题.把积分区间的对称性原理推广到二元函数积分中，可以得到结论： 结论1：设D 关于y 轴对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)0(,)D f x y dxdy f x y x f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰若关于变量为偶函数若关于变量为奇函数’ 其中1D 是D 的右半部分:1{(,)|(,),0}D x y x y D x =∈≥且.结论2：设D 关于x 轴对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰12(,)(,)0(,)D f x y dxdy f x y y f x y y ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰若关于变量为偶函数若关于变量为奇函数’ 其中1D 是D 的上半部分:1{(,)|(,),0}D x y x y D y =∈≥且.结论3：设D 关于x 轴和y 轴均对称，且(,)f x y 关于变量x 和变量y 均为偶函数，则1(,)4(,)DD f x y dxdy f x y dxdy =⎰⎰⎰⎰其中1D 是D 在第一象限的部分：1{(,)|(,),0,0}D x y x y D x y =∈≥≥且. 结论4：设D 关于原点对称,则(,)Df x y dxdy ⎰⎰122(,)2(,),(,)(,)0(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y f x y f x y ⎧=--=⎪=⎨⎪--=-⎩⎰⎰⎰⎰如果如果 其中1{(,)|(,),0}D x y x y D x =∈≥且,2{(,)|(,),0}D x y x y D y =∈≥且. 结论5：设D 关于直线y=x 对称，则(,)(,)DDf x y dxdy f y x dxdy =⎰⎰⎰⎰特别地，当12(,)()()f x y f x f y =时,1212()()()()DDf x f y dxdy f y f x dxdy =⎰⎰⎰⎰.例5.计算二重积分2(751)DI x x y d σ=+++⎰⎰,其中22:1D x y +≤.解：D 关于x 轴和y 轴均对称,而75x y 和分别关于变量x 和y 为奇函数,故(75)0Dx y d σ+=⎰⎰,所以：22(1)D D DI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰212005(cos )4d r rdr πθθππ=+=⎰⎰.同样地，将它应用到三重积分中.例6.计算三重积分()x z dxdydz Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面z =与z =.解:Ω关于坐标面x=0对称,且关于变量x 为奇函数,故0xdxdydz Ω=⎰⎰⎰.所以()x z dxdydz zdxdydz ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21240cos *sin 8d d r r dr πππθϕϕϕ==⎰⎰⎰.例10.计算三重积分222222ln(1)1V z x y z dxdydz x y z ++++++⎰⎰⎰, 其中{}222(,,)|1V x y z x y z =++≤.解:积分区域V 是以原点O(0,0,0)为中心的单位球域,所以V 关于xoy 平面对称，被积函数222222ln(1)(,,)1z x y z f x y z x y z +++=+++是关于z 的奇函数, 故由对称性知222222ln(1)01Vz x y z dxdydz x y z +++=+++⎰⎰⎰. 由上可见，在解决微积分问题时，巧妙应用对称性的观点去解题，可以使运算过程更加的快捷、流畅，计算结果更加的精确. 3.2 对称在数学中的其他应用对称是形式美的显著特征,就数学而言,不仅让枯燥抽象的数学公式变得容易记忆,而且也是数学命题证明必不可少的一种方法. 3.2.1利用对称性记忆公式在数学分析中,斯托克斯公式有一种形式表示法:sin sin sin c s Pdx Qdy Rdz ds x yz PQR αβγδδδδδδ⎛⎫⎪ ⎪++= ⎪⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 其中P,Q,和R 为连续可微函数,S 为逐片光滑的有界双侧曲面,C 为包围S 的逐段光滑的简单闭曲线,(sin ,sin ,sin )αβγ为曲面S 在点(,,)x y z 处的单位法向量,方向为逆时针,这个公式的右边是用第一型曲面积分表示的,被积函数是一个三阶行列式.若取xy 平面上的平面区域D 作曲面S,并取上侧,则斯托克斯公式右侧的三阶行列式为001x y x yz P Q PQR δδδδδδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是斯式公式就变成了格林公式,由此可见,格林公式是斯式公式的特例. 类似地,奥式公式可表示为(sin ,sin ,sin )(,,)(,,)(,,)SVP Q R ds P Q R dv x y zδδδαβγδδδ=⎰⎰⎰⎰⎰ 其中S 是包围V 的逐片光滑曲面,P,Q,R 在S+V 上是连续可微的,(sin ,sin ,sin )αβγ为曲面S 上点(,,)x y z 处的单位法向量.不难看出,斯式公式和奥式公式都是由三个矢量(P,Q,R),(sin ,sin ,sin )αβγ,及(,,)x y zδδδδδδ所决定的. 上述一些形式上的对称性,是数学分析中追求对称形式美的有利证据.一些望而生怯的公式由于有了对称美,变得非常容易记忆了. 3.2.2数列解题中的的对称思想在数列解题中,存在着大量的对称思想,无论是等差数列还是等比数列,都含有丰富的对称之美.我们知道：只要m n p q +=+，其中,,,m n p q N ∈，就有 （ⅰ）m n p q a a a a +=+（等差数列）（ⅱ）m n p qa a a a =（等比数列）利用这个数量关系来处理有关数列问题，常常能化繁为简. 例11.（１）已知{}n a 为等差数列，且23101148a a a a +++=，求67?a a +=（２）已知{}n a 为等比数列，2435460,225n a a a a a a a >++=，求35?a a +=解：（１）∵21131067()()482()a a a a a a +++==+,∴6724a a +=（２）∵2224333465,a a a a a a a a ===,∴223355225a a a a ++= ∵20a >,∴355a a +=例12.在等差数列中，69121520a a a a +++=，求20S .解：∵691215651202()2()a a a a a a a a +++=+=+∴201202()20S a a =+=由此可以看出，如果在等差数列中，由条件不能具体的求出1a 和d ，但可以求出1a 和d 的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式来表示，那么就用“整体代值”的方法将值求出，同样的方法也可以用在等比数列中.3.3 对称美与数学教学人们常说：“成功的教学给人以一种美的享受”.而长期以来，在数学教学中，人们总是重视基础知识和基本技能的传授与训练，而忽视了美育的渗透，不善于发现数学本身所特有的美，不注意用数学美来感染诱发学生的求知欲望，激发他们的学习兴趣，不重视引导学生发现数学美，鉴赏数学美，以致使一些学生感到数学抽象枯燥，失去学好的信心.心理学研究表明：没有丝毫兴趣的强制性学习，将会扼杀学生探求真理的欲望.因此，只有学生热爱数学，才能产生积极而又持久的求学劲头.我国数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主观感受能力.”数学的教学过程不仅仅是学生个体的认识过程和发展过程，而且也是在教师指导下的一种特殊审美过程.因此在教学过程中，应当把数学美的内容通过教学过程的设计向学生揭示出来，从而使学生认识到数学的内容是美的，并且充分运用数学美的诱发力引起学生浓厚的学习兴趣、强烈的求知欲望，使抽象、高深的数学知识得以形象化、趣味化，使学生从心理上愿意接近它、接受它，直到最终热爱它.对称美是数学中最普遍的一种美.图形的对称、式子的对称和解题方法的对称等，都能给人以匀称的美感，用对称的观点去处理数学问题，往往可以从问题的一部分联想起与此对称的另一部分，从而采取补全的方法，使之构成一种整体的对称美，使问题化繁为简，化难为易.在数学教学过程中，充分发掘教材中的对称式的美，运算中的对称美、函数中的对称美、几何图形中的对称美，激发学生对数学美的体验，使学生从数学的显性美提高到对数学隐性美的认识，从感性认识上升到理性认识，使学生对所学的知识更易于接受，便于理解，培养学生爱好数学、认识数学美的兴趣.在数学问题的求解过程中，充分运用对称的数学美的思想方法，可以使学生感受到对称美，增强求知欲，使数学问题的解决更加简捷明快，从而提高了学生的直觉思维能力和形象思维能力，开拓解题新思路，进而提高了学生解决问题的能力和对数学思想方法的领悟，使学生由此而产生学习数学的兴趣.在数学解题过程中,若能积极挖掘问题中隐含的对称性,巧妙地利用对称性,可使复杂的问题变得条理清楚,脉络分明,能化难为易、化繁为简.例如对于数列中的若干项的和或积的问题,如果能对其结构进行对称性的分析,将数学的对称美与题目的条件或结论相结合,就能构建一组互相关联的对偶式,从而确定解题的总体思路或入手方向.其实质是让美的启示、美的追求在解题过程中成为宏观指导力量,使问题的解决过程更加简洁明快.数学中蕴涵着丰富的美，除了对称美以外，还有很多.把数学美的和谐对称、简单统一等特征融贯在教学的整个过程中，可以发展学生思维的灵活性、发散性、深刻性、独创性等诸方面的能力就得到培养和提高.使学生在美的享受中，获得知识，理解知识，掌握知识.结术语数学并不等于美学，但是数学中却真实地蕴藏着丰富的美学内涵，而对数学内在美的追寻探索，又会使人们更迅速、更确切的洞悉数学的真谛.对称美是数学美的重要特征之一，对称美是一个广阔的主题，数学则是它根本.我们应该更深刻地掌握我们的所学专业知识，积极地去理解数学，学好数学，这样才能更好的走向工作岗位，取得成功.参考文献：[1]钱双平.对称性在高等数学解题中的应用---数学美学方法的应用，云南电大学报，2004,6(2):62-63.[2]马锐.数学中的对称美,昆明冶金高等专科学校学报,2004,20(2):35.[3]周齐明.在数学教学中应加强数学美的教育，六安师专学报，1999，15（4）.[4]杨琴，杨联华.探求高等数学中的对称美，景德镇高专学报，2005，20（4）.[5]陈自高.数学中的对称美与应用，中国科技信息，2006,(5).[6]胡本荣.从对称性看数学中的美学，达县师范高等专科学校学报，2004，14（2）.[7]钱双平.对称性在高等数学解题中的应用，2004，6（2）.[8]窦丹.“对称思想”对学生数学能力的培养和作用：[硕士学位论文],东北师范大学，2005.[9]赵博.数学美与中学数学教学：[硕士学位论文]，武汉：华中师范大学，2004.。
数学中的对称美
数学中的对称美数学的对称美分为两种：一种是数〔式〕的对称性美，要紧表达在数〔式〕的结构上，例如，加法的交换律a+b=b+a，乘法的交换律ab=ba，a与b的位置具有对称关系，然而能够变化的，变化的结果与原来的位置反而形成一种整齐的美感、均衡感，简洁明快，一目了然，从而显示了它的神奇感、奇妙感。
另一种是图形的对称性，整体美、简洁美，图形的对称是指组成图形的部分与部分之间、整体与整体之间的一种统一和谐关系。
例如轴对称图形和中心对称图形等，这些图形匀称美观，因此在日常生活中用途特别广泛，许多建筑师和美术工作者常常采纳一些对称图形，设计出漂亮的装饰图案。
倒影对称的建筑物，对称的图案，是随处可见的。
绘画中利用对称，文学作品中也有对称手法。
在数学中那么表现在几何图形中有点对称、线对称、面对称。
在几何图形中对称的图形给人以美的享受，而不对称的现象中同样存在着美，这确实是黄金分割的美或者更深层次的对称美。
如：一条线段关于它的中点对称，这条线段假设左端点的坐标为0，右端点的坐标为1，那么中点在0.5处。
又如：大概黄金分割点〔在0.618处〕不是对称点，但假设将左端记为A，右端记为B，黄金分割点记为C，那么AC2=AB·BC而且C关于中点的对称点D也是AB的黄金分割点，因为，再进一层看，D又是AC的黄金分割点；C是DB的黄金分割点。
类似地一直讨论下去，这可视为一种连环对称。
现在，设计师和艺术家们差不多利用这一规律创造出了许多令人心碎的建筑和无价的艺术珍宝。
在中学数学中，有关数与形的对称现象极为常见，这种对称有的是形象的，有的是抽象的观念和方法上的对称。
等边三角形是关于它的每条高线的轴对称图形，平行四边形是关于它的两条对角线交点的中心对称图形。
圆锥、圆柱、圆台是关于它的轴截面的对称图形。
代数中常利用来构造一元二次方程，几何中常利用对称思想添加辅助线，数学的对称美已成为人们研究解决问题的重要思想方法，它的作用越来越显得重要。
例谈数学中的对称美
例谈数学中的对称美数学是一门充满着美的学科，而对称美则是数学中一种非常重要的美感体现。
对称美在数学中无处不在，无论是几何图形、方程式还是数列等等，都存在着各种各样的对称性。
本文将以几个具体的例子来探讨数学中的对称美。
我们先来看看几何图形中的对称美。
大家都知道，正方形是一种具有对称性的几何图形。
它的四条边长度相等，四个角也都是直角。
这种对称性使得正方形非常美观，同时也具有一种稳定感。
除了正方形，圆也是具有对称美的几何图形。
无论从哪个角度来看，圆都是完全一样的，这种完美的对称性使得圆具有无穷无尽的美感。
除了几何图形，方程式也是数学中的另一个具有对称美的例子。
例如，关于x轴对称的函数可以写为f(x) = f(-x)，这种对称性使得函数在图像上具有一种左右对称的美感。
而关于y轴对称的函数可以写为f(x) = -f(-x)，这种对称性使得函数在图像上具有一种上下对称的美感。
另外，关于原点对称的函数可以写为f(x) = -f(-x)，这种对称性使得函数在图像上具有一种中心对称的美感。
方程式中的对称美不仅仅限于这些简单的情况，还存在着许多更为复杂的对称性。
数列中也存在着对称美的例子。
例如，斐波那契数列就是一种具有对称美的数列。
斐波那契数列的定义是：第一个和第二个数均为1，从第三个数开始，每个数都等于前两个数之和。
这种对称性使得斐波那契数列具有一种自相似的美感，每个数都是前两个数的和，形成了一个无限延伸的对称结构。
除了这些例子，数学中还存在着许多其他的对称美。
例如，对称矩阵在线性代数中是一种非常重要的概念。
对称矩阵的定义是：一个矩阵与其转置矩阵相等。
这种对称性使得对称矩阵具有许多重要的性质和应用。
总结起来，数学中的对称美无处不在，无论是在几何图形、方程式还是数列等等中，都存在着各种各样的对称性。
这种对称美使得数学不再是一门枯燥的学科，而是充满着艺术和美感的学科。
通过欣赏和研究数学中的对称美，我们可以更好地理解数学的本质，也能够更好地欣赏数学的美。
数学中的＂对称美＂
ＡＤ ＝Ａ Ｄ， Ｂ Ａ． Ｄ： 肌 Ｃ ＝１ ２ ０ 。
触类旁通 ， 由此产 生了一系列问题的解题 思路 ， 请看 ：
例 ２ 在正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， 点 Ｅ是 Ｂ Ｃ上 的 一 定 点 ，
‘
．
．
’ ． ．
强
．
．
ＬＤ Ａｌ Ｃ ＝１ ８ ０ 。一 ＬＢ Ａｌ Ｄ ＝６ ０。 ，
Ｃ＝ 曰＝３ ０ 。 ， 贝 Ⅱ Ａ １ ＤＣ： ９ ０ 。
Ａ
在 Ｒｔ ＡＡｌ ＤＣ 中 ：
ＡＩ Ｄ： ＤＣ＝ｔ ｇ Ｃ
解
结Ａ Ｂ
（ １ ） 作 Ａ点关
于 轴 的 对 称 点 Ａ ， 连
Ａｌ
＝
ｔ ｇ ３ ０ ｏ ＿ 字 ， 曰
Ａ Ｄ：ＤＣ ：
Ｃ
Ａ ＋Ｐｆ Ｂ．
要 抓住 Ｂ Ｄ 平 分 ／Ｂ Ａ Ｃ
的条件 ， 将 ＡＡ Ｂ Ｄ翻折 过来 ， 点 Ａ落 在 Ｂ Ｃ边
图１
Ｃ
的点 Ａ 处（ 如图 ２ ） ， 这 样Ａ Ｄ与 Ａ ． Ｄ 重合， 则 Ａ Ｄ ＝Ａ。 Ｄ， 问 题 就 归 纳 为 在
由此可见 ， 轴对称 帮我们找到 了符 合要求的点 的位
．
，．
。．
。．
．
－ 数学大世界 。 ． ６ ． ▲ ｖ；。 ． 。
…
．
蔓熊盟三 士： 曼 …旦羞
神奇 的 自然 图案 ， 典雅 的建 筑大观 ， 常 以对称 展示 着 自身的美． 数学来源于生活 ， 却高 于生活 ， 数 学学 习是
讲 究方 法 的． “ 对称 ” 不 仅 是 中学 数 学 内容 中一 个 重 要 的概 念 ， 更
数学中的对称美
数学中的对称“美”陈春艳对称,顾名思义,就是两个事物(或同一事物的两个方面)相对而又相称.如果A 、B 是具有对称性的两个事物(或同一事物的两个方面), 那么把A 、B 交换顺序,其结果不变,这就是对称原理．“对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法。
在“对称”中往往体现出数学的“美”来。
充分利用对称原理，可使我们在解决问题时多一条有效的通道，而且常能起到化繁为简，出奇制胜的效果。
本文在就对称性原理在中学数学中应用的几个方面作一些介绍，从中体会一下数学上的对称之美及对称性应用之妙。
一、 利用关系式中变元的对称“如果一个关系式中任何两个字母互换位置后关系式不变，则称它是关于这些字母的对称式，如122=+y x ，ab cc a b c b a +++++等。
当问题中的变元具有这种对称性，变形或运算的每一步都是对称的，则这些变元在结果中的地位也必然是对称的”。
这就是对称性原理之一。
例1 方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++③xyz ②zx yz xy ①z y x 6116 ( )(A) 1 (B) 2(C) 3(D) 6分析： 显然方程组关于z y x ,,对称，其结果也应关于z y x ,,对称。
若方程只有一组解，则必有z y x ==,此时由① 有2===z y x ，代入②、③皆不成立，所以(A)错。
若方程有两组解，则与方程组关于z y x ,,具有的对称性矛盾，所以(B)也不对。
若方程有三组解，则z y x ≠=应成立,此时由①，x z 26-=，代入②得0131232=+-x x ,但由于012<-=∆，此方程无解，(C)也错。
故应选(D)。
例 2 已知),,2,1(0n i x i =≥且π=+++n x x x 21，求n x x x sin sin sin 21+++ 的最大值。
分析：显然式子关于n x x x ,,,21 对称，观察21sin sin x x +可知： 因为2c os 2s in2s in s in 212121x x x x x x -+=+只有在21x x =时才能取得最大值，即当21x x ≠时，21sin sin x x +不可能取得最大值，所以由对称性知，在n x x x ,,,21 中，只要有两数不等，n x x x sin sin sin 21+++ 就不会取得最大值，所以当nx x x n π==== 21y时，n x x x sin sin sin 21+++ 有最大值nn πsin。
数学中的对称美
数学中的对称美对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成局部，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学那么是它根本，美和对称严密相连。
大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、雪花等等，对称本身就是一种和谐、一种美。
在数学中的应用也非常广泛，如：大家都非常熟悉的轴对称图形等等，其实根据对称原理在小学数学中各知识领域，均可发现这一规律的应用。
如何让学生掌握对称这一根本原理去解决一些实际问题，找到事物之间的内在统一性，用数学的思想去内化这一即简单，又蕴涵深入哲理的原理，这需要我们深层理解隐藏在问题后面的本质特征，现根据笔者在教学中发现的一些案例，来阐述如何发现数学中的对称美。
一、从回文数中得到启发，巧解等差数列回文数有许多如：2022年就是一个回文数，下一个回文数就要等到2112年，整数乘法中最有趣的一个回文数就是：1×1=1，11×11=121，111×111=12321。
根据这一规律可以巧算出：111111111×111111111=12345678987654321，学生对于回文数这一特殊结果，大都觉得非常惊讶，对此产生浓重的兴趣，感慨数的对称美。
对称作为一种美,在宇宙万物中成为一个永久的定理，就象有阴就有阳，有黑就有白一样，说的更玄乎一些，像现代物理学理论中所推论的那样有正物质就有反物质，如，我们生活中所看到感受到的一切客观事物都是正物质，同样宇宙中也存在我们看不见的能量和正物质一样相等的反物质，这样宇宙才平衡，就像宇宙中有你，同样也存在着“反你〞，假如有一天“你们〞一握手，那么你和“反你〞就顿时消失，就像5+〔-5〕=0一样，说来有些荒唐，可是这种设想在解答一些难题时，却显得巧妙、易懂。
(完整版)对称之美
对称之美生活中处处有数学，数学中处处存在美。
其中对称，是自然界中一种普遍存在的而且又奇妙有趣的现象,对称是种美，它能给人以整齐、沉静、稳重、和谐的感觉。
美是每一个人追求的精神享受。
在现实生活中，由于人们所处经济地位、文化素质、思想习俗、生活理想、价值观念等不同而具有不同的审美观念。
时至今日，形式美法则已经成为现代设计的理论基础知识。
在设计构图的实践上，更具有它的重要性。
宇宙万物，尽管形态千变万化，但它们都各按照一定的规律而存在，大到日月运行、星球活动，小到原子结构的组成和运动，都有各自的规律。
爱因斯坦指出：宇宙本身就是和谐的。
自然界中到处可见对称的形式，如鸟类的羽翼、花木的叶子等。
所以，对称的形态在视觉上有自然、安定、均匀、协调、整齐、典雅、庄重、完美的朴素美感，符合人们的视觉习惯。
平面构图中的对称可分为点对称和轴对称。
假定在某一图形的中央设一条直线，将图形划分为相等的两部分，如果两部分的形状完全相等，这个图形就是轴对称的图形，这条直线称为对称轴。
假定针对某一图形，存在一个中心点，以此点为中心通过旋转得到相同的图形，即称为点对称。
点对称又有向心的“求心对称”，离心的“发射对称”，旋转式的“旋转对称”，逆向组合的“逆对称”，以及自圆心逐层扩大的“同心圆对称”等等。
在平面构图中运用对称法则要避免由于过分的绝对对称而产生单调、呆板的感觉，有的时候，在整体对称的格局中加入一些不对称的因素，反而能增加构图版面的生动性和美感，避免了单调和呆板。
数学中处处蕴含着美——形式的美与内容的美，内隐的美与外显的美。
思维是地球上最美的花朵，而数学是锻炼思维的体操。
著名数学家高斯说：“去寻求一种最美和最简单的证明，乃是吸引我去研究的动力。
”所以，数学美的含义主要体现在既有情境之中的自然美，又有意料之外的简洁美、对称美、和谐美、奇异美、联想美、统一美。
对称是形式美的要求，它给以人以圆满、匀称、平衡、稳重和沉静的感觉。
数学中的对称美，使人赏心悦目。
数学中的对称美例子
数学中的对称美例子在数学中，对称美是一种引人注目的现象，被广泛应用于各个领域，包括几何学、代数学和物理学等。
通过对称性的研究，我们可以发现许多有趣和优美的例子，下面将介绍其中几个。
首先，最简单的对称性形式是轴对称。
例如，许多几何图形如正方形、矩形和圆等都具有轴对称性。
轴对称意味着图形可以被一个垂直线分成两个完全相同的部分。
这种对称性不仅在几何中常见，而且在自然界中也经常出现，如水滴和蝴蝶的翅膀。
其次，我们有球面对称。
球面对称发生在几何体的所有部分相对于一个中心点对称，好比地球上的经纬线。
例如，球体和圆锥体都具有球面对称性。
这种对称可以在许多物理现象中观察到，例如，流体中的涡旋和行星的运动等。
除此之外，还存在平移对称和旋转对称。
平移对称涉及将图形沿着一个方向移动，使其与原始位置完全重合，就好像将一本书从桌子上推到另一边，仍然保持原来的外观。
旋转对称即将图形绕一个中心点旋转一定角度，使其回到原始位置，就好像车轮在转动时，每个辐条都经历了相同的旋转。
这些对称性在数学中起着重要的作用，并被广泛应用于图像处理和密码学等领域。
最后要提到的是镜像对称性。
镜像对称性是指将图形沿着一条线分成两个完全相反的部分，就像将镜子放在图形旁边时，镜子中的映像与原始图形完全相同。
这种对称性在人类形象的研究中很重要，在对称面上的人脸的左右半部分几乎是对称的。
总而言之，数学中的对称美是一种普遍存在的现象，许多形状和结构都以某种方式表现出对称性。
对称性的研究不仅帮助我们理解数学的基本原理，还在各种应用中发挥着重要作用。
通过探索对称美的世界，我们可以深入了解数学领域中的许多奇妙而优美的例子。
浅谈数学中的对称美
05
对称美在科学和技术中 的应用
对称美在物理学中的应用
晶体结构：晶体中的 对称性决定了其物理 性质，如热学、光学 和电学性质。
电磁学：对称性在麦 克斯韦方程组中扮演 重要角色，决定了电 磁波的传播方向和偏 振状态。
量子力学：波函数具 有对称性，决定了微 观粒子状态的演化规 律。
ห้องสมุดไป่ตู้
相对论：时空对称性 是广义相对论的基础 ，决定了物体的运动 轨迹和引力场的分布 。
对称美在化学中的应用
分子结构中的对称性：化学键的对称分布和分子形状的对称性，使化学物质具有稳定性。
晶体结构中的对称性：晶体的对称性决定了其物理性质和化学性质，如硬度、导电性和光学性质 等。
对称性破缺：在化学反应中，对称性破缺可以导致新的化学键的形成或断裂，从而产生新的物质。
对称性在化学计算中的应用：对称性可以简化计算过程，提高计算效率。
代数表达式的 对称性是指数 学式子在某些 变换下保持不
变的性质。
对称性在代数表 达式中表现为多 种形式，如左右 对称、中心对称、
旋转对称等。
对称性在代数表 达式中的应用广 泛，如代数方程、 不等式、函数等
中均有应用。
对称性在代数 表达式中可以 简化计算，提 高解题效率。
数学定理和公式的对称美
定理：对称性定理，描述了图形 对称变换的性质和规律
对称美在艺术中 的体现：对称作 为一种重要的美 学原则，在绘画、 雕塑等艺术形式 中也有广泛应用， 丰富了艺术的表 现力和感染力。
对称美在音乐和文学中的应用
音乐中的对称：旋律、和声与节奏的平衡 文学中的对称：对仗、排比和反复的修辞手法 对称美在音乐中的表现：音符的排列与组合 对称美在文学中的体现：句式、篇章结构和叙事方式
数学中的对称之美
数学中的对称之美对称是数学中的一种重要概念，它在几何、代数、组合等领域都有广泛的应用。
对称不仅令人赏心悦目，还具有深刻的数学原理和应用。
本文将介绍数学中的对称之美，从几何、代数和组合的角度探讨对称的定义、性质和应用。
一、几何中的对称几何中的对称指的是图形或物体的镜像对称性，即通过某个轴或点进行镜像变换后，图形或物体不变。
镜像对称性是几何中最基本的对称性，它可以在平面和空间中进行。
1. 平面镜像对称平面中的图形具有对称性，当图形沿着某个直线折叠时，两个部分能够完全重合，这个折叠轴就是图形的对称轴。
对称轴两侧的点、线段或面积完全相等，形成了镜像对称。
平面镜像对称广泛应用于建筑、艺术和设计中。
许多大型建筑物都具有对称的外观，如印度泰姬陵和法国巴黎圣母院。
这些对称性不仅令建筑物显得庄重与美观，还有助于加强建筑物的结构稳定性。
2. 空间镜像对称空间中的图形、物体以及立体体积都可以具有对称性。
空间镜像对称是指物体通过某个点进行旋转180度，或绕某个轴进行旋转，使得物体保持不变。
空间镜像对称在科学研究和日常生活中都有重要应用。
例如，在化学中，有机分子的手性对称性对其化学性质起着决定性作用。
生物学中的DNA分子结构也具有空间对称性，这种对称性对于遗传编码具有重要意义。
二、代数中的对称代数中的对称包括代数方程、函数和算式的对称性。
这种对称性涉及运算的交换性、反射性和任意替换性。
1. 运算的交换对称性在代数运算中，加法和乘法具有交换对称性。
即对于任意的数a和b，a+b=b+a，ab=ba。
这种对称性使得代数运算更加灵活、简洁。
交换对称性在抽象代数中有着重要的地位。
例如，群是一种具有封闭性、结合律、单位元和逆元的代数结构，满足群运算的交换对称性的群称为阿贝尔群。
2. 函数的对称性函数的对称性包括奇偶性和周期性。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，即关于坐标原点对称；偶函数满足f(-x)=f(x)，即关于y轴对称。
周期函数在一定区间内具有重复性的对称性。
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数学中的对称美
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数学中的对称美
对称性是数学美的最重要的特征。
几何中的轴对称、中心对称，代数中的许多运
用都能给人以美感。
发掘学生对数学的审美能力，这对引发学生的数学兴趣和学习上都有很大的帮助。
许多数学教师在教学中关注怎样利用数学中的对称美,提高学生学习数学的兴趣,提高解题的能力。
我认为,数学教师在教学中,更要注意引导学生利用对称美提出问题,进行数学创新。
这样做,有利于学生跳出题海,掌握学习的主动权。
一：代数中的对称美：
常出现在规律运算、数列运算、函数运算中
例如1：“回文数”是一种数字，也是一种对称数。
如:98789，这个数字正读是98789，倒读也是98789，正读倒读一样，所以这个数字就是回文数。
解：我们最常见的一组算式：
1×1=1
11×11=121
11×111=12321?1111×1111=1234321
从上述计算中得出对称规律可得：
例如2、计算：1 + 2 + 3 +┅ + 100
引导学生利用数学对称美来解。
解：设x = 1 + 2 + 3 + ┅ + 100①
倒过来x = 100 + 99 + ┅ + 1
②
① + ② 得?2x = 101 × 100
∴ x = 5050
即：1 + 2 + 3 + ┅ + 100 = 5050
例如3、已知正比例函数与反比例函数的一个交点是（2，3），则另一个交点是（，）.
分析：因为正比例函数与反比例函数都是关于原点中心对称图形，从而它们的交点也是关于原点中心对称。
所以另一个交点是（－2，－3）
.
例如4、如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=•-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，•请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．
分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）•作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，•而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）（2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．
（3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．
（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）•减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。
注意：2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律．
二、几何中的对称美：
“对称”在数学上的表现则是普遍的，几何上平面的情形有直线对称（轴对称）和点对称（中心对称），空间的情形除了直线和点对称外，还有平面对称。
正偶边形既是中心对称图形又是轴对称，正奇边形不是中心对称图形但是轴对称。
比如正方形既是轴对称图形（以过对边中点的直线为轴），以是中心对称图形（对角线的交点为对称中心），圆也是。
例如1：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．
分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，•根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA•和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．
作法：如图．①作点P关于直线OA的对称点E；
②作点P关于直线OB的对称点F；
③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则C、D就是所要求作的点．
证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．
在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HP．
∵△PHD的周长
=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF
而△PCD的周长
=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF
∴△PCD的周长最短．
例如2：作图设计，村庄A、B位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥，并要使A到B的路程最近，问桥应架在何处？
解：此题看来很复杂，但利用对称的原理来稍做改变，问题就可以迎刃而解了．
设河岸为L1、L2、L3、L4，L1。