函数易错点分析
二次函数常见易错题解析_二次函数易错题
二次函数常见易错题解析_二次函数易错题常见易错题解析二次函数是数学中的重要知识点，也是高中数学课程中常见的考点。
在解题过程中，往往容易出现一些易错的情况。
下面是二次函数常见易错题解析，希望帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
易错点一：求解二次函数的零点时，难以正确计算平方根。
解析：在求解二次函数的零点时，往往需要计算平方根。
但是，由于平方根涉及到较为复杂的计算过程，容易出现计算错误的情况。
为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，注意根号内部的计算是否正确，特别是针对负数进行开平方根计算时，要注意虚数的概念；其次，在计算过程中可以采用分步骤进行计算，减少出错的可能性；最后，可以借助计算器等工具来进行计算，以提高准确性。
易错点二：对二次函数的图像特征理解不准确。
解析：二次函数的图像特征是学习和掌握二次函数的关键。
在解决二次函数相关问题时，往往需要根据图像特征进行分析和判断，但是很多同学对于图像的凹凸性、顶点位置等特征理解不准确，从而导致答案出错。
因此，在学习和掌握二次函数图像特征时，要注意以下几个方面：首先，要理解凹凸性的概念，搞清楚何时是凹、何时是凸；其次，要能够正确理解和计算顶点的坐标，特别是对于带有负号的情况，要仔细计算；最后，可以利用绘图工具进行练习，加深对图像特征的理解。
易错点三：对二次函数的平移、缩放等变换理解不准确。
解析：二次函数的平移、缩放等变换是解决二次函数相关题目的常见方法。
但是，很多同学对于变换的理解不准确，从而导致计算错误。
为了避免此类错误，我们可以注意以下几个方面：首先，要熟悉常见的变换规律，如平移、缩放等；其次，在计算过程中要仔细区分横坐标和纵坐标的变化情况；最后，可以通过绘图工具进行辅助，帮助理解变换的效果。
易错点四：对应用题中二次函数的建立和求解不准确。
解析：二次函数的应用是数学中的重要内容，也是考试中常见的题型。
但是，在应用题中，往往需要建立二次函数模型，并进行求解。
初中一次函数涉及的12个易错点剖析
初中一次函数涉及的12个易错点剖析【知识点1】一、函数的概念在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y总有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
二、函数的三种表示法:（1）图像法(“形”）；（2）列表法（“数”）；（3）公式法（“式”）.【易错点1】对函数概念理解不清例题1 下列等式：y=|x|，|y|=x,5x2-y=0,x2-y2=0,其中表示y是x的函数的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.4个【错解】D【错因】一个等式是不是函数，必须同时满足两个要求。
一是有两个变量；二是在两个变量x与y的对应关系中，x每确定一个值，y必须只有唯一的值与之对应.本题错解中没有正确地理解函数的概念，错误地认为|y|=x和x2-y2=0也是函数。
事实上，这两个等式中，对于x每取一个值，y并不与之唯一对应，所以在|y|=x和x2-y2=0中，y不是x的函数。
【正解】C巩固1 下列各选项中，不是函数的是（）【错解】A或B或D【正解】C.巩固2 有下列关系：①长方形的长一定时，其面积y 与宽x ；②高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程y 与行驶的时间x ；③y 2=x ；④y =x 2.其中，y 是x 的函数关系的有 （填序号）.【错解】①②③④ 【正解】①②④【小结】由函数的概念可知，判断y 是x 的函数的关键是对于自变量x 取的每一个值，都有唯一的y 值与之对应。
【易错点2】考虑问题不全面，求自变量的取值范围时出错例题2 求函数y =【错解】依题意，得10210x x -≥⎧⎨->⎩ ，解之得x ≥1,所以自变量的取值范围是x ≥1【错因】错解中思考问题不全面，被开方数1021x x -≥-时有两种情况，即10210x x -≥⎧⎨->⎩或10210x x -≤⎧⎨-<⎩，错解漏掉了第二种情况。
【正解】依题意，得1021x x -≥-，∴（I ）10210x x -≥⎧⎨->⎩或（II ）10210x x -≤⎧⎨-<⎩解不等式组（I ），得x ≥1 等式组（I ），得12x <∴解不自变量的取值范围是x ≥1或12x <巩固3 函数y =x 的取值范围为 . 【错解】x ≥-1。
三角函数易错点总结
三角函数易错点总结三角函数是高中数学中的重要内容，也是高考中的必考知识点。
然而，由于三角函数涉及的概念、公式较多，且运算较为复杂，同学们在学习和解题过程中常常会出现各种错误。
下面就为大家总结一下三角函数中的易错点。
一、概念理解不清1、象限角与终边相同角的概念混淆象限角是指角的终边落在哪个象限，而终边相同角是指具有相同终边的角。
例如，角α与角β的终边相同，则β ＝α ＋k×360°（k∈Z）。
很多同学在判断角所在象限时，容易忽略终边相同角的情况，导致出错。
2、弧度制与角度制的换算错误弧度制与角度制的换算公式为：180°＝π 弧度。
在进行换算时，要注意系数的转换。
有些同学容易将换算公式记错，或者在计算过程中出现粗心大意的情况。
3、三角函数的定义理解不准确三角函数的定义是在单位圆中给出的，例如正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x。
在运用定义解题时，要注意坐标的正负以及 r 的取值为 1。
有些同学在计算时容易忽略这些细节，导致结果错误。
二、公式运用错误1、同角三角函数基本关系式的运用错误同角三角函数的基本关系式有：s in²α ＋cos²α ＝ 1，tanα ＝sinα/cosα。
在运用这些关系式进行化简、求值时，要注意三角函数值的正负以及分母不为零的情况。
很多同学在解题时，没有考虑到这些条件，从而得出错误的结果。
2、诱导公式的运用错误诱导公式有很多组，记忆时容易混淆。
例如，sin(π α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
在运用诱导公式时，要注意符号的变化以及角的变化规律。
有些同学在使用诱导公式时，没有正确判断符号，或者记错了角的变化关系，导致计算错误。
3、两角和与差的三角函数公式的运用错误两角和与差的三角函数公式有：sin(α ± β) ＝sinαcosβ ± cosαsinβ，cos(α ± β) ＝cosαcosβ ∓ sinαsinβ，tan(α ± β) ＝（tanα ± tanβ)／（1 ∓tanαtanβ)。
三角函数易错点
三角函数易错点三角函数和平面向量是高考考查的重点内容之一,由于这部分内容涉及概念和知识点多,公式变换灵活多样,二者关系又比较密切,所以造成很多同学往往会因解法运用不当,或对隐含的条件考虑不周而丢分.下面就同学们在三角函数解题中常见的一些错误做一分类剖析,供大家参考.易错点一:忽视定义域或隐含条件致错例1. 求函数y=的值域.错解:y==y=,令sinx+cosx=sin(x+)=t,t∈[-,],则sinx•cosx=,即y==2(t-1),所以原函数的值域为[-2-2,2-2].剖析:上述错解忽视了函数的定义域sinx+cosx≠-1,即t≠-1,可得t∈[-,-1)∪(-1,],故y∈[-2-2,-4)∪(-4,2-2]为所求.评析:研究函数问题必须要遵循“定义域优先”的原则,这样在解决函数问题时才会减少失误.例2 . 已知3sin2+2sin2=2sin,求sin2+sin2的最大值和最小值.错解:由3sin2+2sin2=2sin得sin2=(2sin-3sin2),则sin2+sin2=-sin2+sin=-(sin-1)2+,由|sin|≤1得:当sin=1时,sin2+sin2取最大值;当sin=-1时,sin2+sin2取最小值-.剖析:由sin2=(2sin-3sin2)∈[0,1]得,0≤sin≤,则sin=时,sin2+sin2取最大值;当sin=0时,sin2+sin2取最小值0.评析:本题错解忽略了sin2=(2sin-3sin2)∈[0,1]这个隐含条件,使得sin的取值范围扩大而致错.很多数学题目都有隐含条件,需要做题时非常细心.追踪练习:判断函数f(x)=的奇偶性.点拨:本题易出现下列错误:因为f(x)==sinx,所以f(x)为奇函数.错误原因是忽略了函数定义域,答案应该是非奇非偶函数.易错点二:忽视角的范围而致错例3. 已知A、B均为钝角且sinA=,sinB=,求A+B.错解:因为A、B均为钝角且sinA=,sinB=,所以cosA=-,cosB=-,由sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-得A+B=或A+B=.剖析:本题错误解法是扩大了角度范围,由sinA=0,∈[0,2))的图像如下图所示,试求函数y=3sin(x+)的表达式.错解:由题意知,周期T=2(-)=,所以==2,即y=3sin(2x+).因为当x=时,y=0,即有:0=3sin(2×+),所以+=k. 取k=0时,=-(舍);取k=1时,=;取k=2时,=.故所求函数的表达式为:y=3sin(2x+)或y=3sin(2x+).剖析:在利用“五点法”画函数图像时,图像中五个关键点的横坐标自左到右分别是由x+取0,,,,2解得的. 三个函数值为0的“零点”自左到右对应的x+的值为0,,2,不能随便乱取,这一点很容易出错.在本例中,从函数图像知,点(,0)是图像中的第二个“零点”,从而2×+只能对应五个点中的,而不能是2,因而取k=2时,得+=2是不正确的. 应由2×+=,解得=,故所求函数的解析式为:y=3sin(2x+).评析:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变换,设z=x+,由z=0,,,,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图像.这些点不能乱取,否则就会出错.追踪练习:如图为函数y=Asin(x+)的图像的一段,求其解析式.点拨:本题易把M点当作第一个零点,而忽视A的符号,只有当A>0时,才可以把M作为第一个零点,其解析式为y=sin(2x-).易错点六:含参时以特殊代一般或不分类而致错例7. 设k为整数,化简.错解:当k=0时,原式=-1;当k=1时,原式=-1;当k=2时,原式=-1;…,综上所述,对所有的k为整数,原式=-1.剖析:上述由特殊到一般的推理,其理由是不充分的.正确应分类讨论如下:当k为偶数时,设k=2m(m∈Z),则原式====-1;当k为奇数时,设k=2m+1(m∈Z),则仿上可得,原式=-1.评析:在三角函数中,经常会出现一些参数,这时要对参数进行分类讨论,而不能对参数赋几个值就得出一般结论,这样往往会出错.追踪练习:已知角的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin,cos,tan的值.点拨:本题直接考查三角函数的定义,当a>0时,易得sin=,cos=-,tan=-;当a0去解,而忽略了a。
专题 08 一次函数(5大易错点分析)(解析版)-备战2024年中考数学考试易错题(广东专用)
２、一般地，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ图象上任意一点的坐标都是二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０
的一个解；
３、以二元一次方程ｋｘ－ｙ＋ｂ＝０的解为坐标的点都在一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象上，
４、一般地，如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元 次方程组的解
学以 致 用
１．（２０２３·海珠区校级二模）已知一次函数ｙ＝ａｘ＋２的图象与ｘ轴的交点坐
Ｏ Ｄ．
【分析】先根据正比例函数的增减性判断出ｋ的符号，再由一次函数的图
象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数ｙ＝ｋｘ，且ｙ随ｘ的增大而减少，
∴ｋ＜０．
在直线ｙ＝２ｘ＋ｋ中， ∵２＞０，ｋ＜０，
∴函数图象经过一三四象限，
故选：Ｄ．
ｘ＜壹 ５．（２０２１·广州模拟）已知：函数ｙｉ＝２ｘ－１，ｙｚ＝－ｘ＋３，若
小，则直线 ｙ＝ －２ｘ＋ｋ的图象是（）
ｙ
ｙＡ
ｙ＇
ｙｌ
０Ｘ
０ｘ
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｏｘ ０ ｘ
Ｄ．
【分析】先根据正比例函数的增减性判断出ｋ的符号，再由一次函数的图
象与系数的关系即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数ｙ＝ｋｘ，且ｙ随ｘ的增大而减小，
∴ｋ＜０，
在直线 ｙ＝－２ｘ＋ｋ中，
－２＜０，ｋ＜０，
∴函数图象经过二、三、四象限．
２．函数性质的理解：一次函数具有一些特殊的性质，如增减性、连续性等。学生容易
忽视这些性质，或者在应用这些性质时出错。 ３．函数斜率和截距的理解：在一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ中，ａ 是函数的斜率，ｂ 是函数的 截距。学生容易混淆斜率和截距的概念，或者不理解它们对函数图像的影响。 易错提醒：１、一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠Ｏ）的增减性：
一次函数易错点分析
一次函数易错点分析一次函数是数学中非常重要的概念，它涉及到线性规划、几何图形和微积分等诸多学科，也是大多数学生高中期间最容易遇到的函数形式。
然而，由于一次函数复杂的计算过程，尤其是评估和求解其曲线上某一点的坐标位置时，容易引发不少学生疑惑，而常见的错误也是很多。
本文将介绍一次函数在应用过程中容易出现的常见错误以及解决方案，以供学生们避免和解决这类问题。
首先需要指出的是，一次函数常见错误主要涉及到绘图、解答题以及评估数据等多个方面。
在绘图部分，常见的错误是图形折线的位置不正确，而这又往往源于函数表达式读取错误，如将式子中的“+”写成“-”，或者换符号了。
遇到这种问题，我们可以重新读取一次，确保每一个符号都是正确的，以及数字和符号之间没有误差。
此外，还要注意函数中的变量是否正确，以及解答区域是否正确，避免画出不正确的图形。
在解答题类的题目中，也可能存在常见的错误，如函数表达式的概念模糊，表达式中变量的定义不清楚等。
在这种情况下，首先要重新确认函数表达式的内容，以及其中的变量的定义，如函数表达式所涉及的变量是什么，以及变量的实际含义是什么，另外，还要注意清楚是否在解答题时将某些变量漏掉。
另外，在处理数据的情况下，也可能出现不少错误，如将拟合因子等变量写错，数据输入不当等等，这些常见的错误都会对最终的拟合结果产生一定的影响。
因此，在处理这类问题时，既要确保数据输入的准确性，也要注意变量的正确性，而且，在输入之前，还要确保有足够的数据，以及数据之间是否存在线性关系等。
有了以上介绍，就可以看出，一次函数易错点集中出现在函数表达式、解答题目和处理数据等方面，而一旦出现这些错误，既可能影响最终的结果，也会造成更多的疑惑。
因此，在应用过程中，我们需要加以重视，仔细检测和校正，以保证计算的准确性。
此外，除了以上介绍的一次函数错误外，我们还可以采取一些更具体的措施来减少可能的出错，比如，可以根据实际情况，利用计算机辅助绘图，绘制出精准的曲线图，这样可以大大简化绘图过程，甚至可以将图表中出现的噪点等因素一并删除，从而避免无用的错误影响。
反比例函数易错点
反比例函数易错点一、反比例函数的定义反比例函数是指形如y=k/x（k≠0）的函数，其中x≠0。
二、易错点1：定义域和值域1. 定义域：反比例函数的定义域是所有不为0的实数，即D={x|x≠0}。
2. 值域：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0。
因此，值域为所有不等于0的实数集合R*。
三、易错点2：图像特征1. 对称轴：反比例函数的对称轴为y=x。
2. 渐近线：当x趋近于正无穷大或负无穷大时，y趋近于0。
因此，反比例函数有两条渐近线，分别为x轴和y轴。
四、易错点3：变形公式1. y=k/x+b（k≠0）：在原来的反比例函数上平移b个单位。
2. y=k/(x-h)（k≠0）：在原来的反比例函数上左右平移h个单位。
3. y=-k/x（k≠0）：将原来的反比例函数关于y轴翻转。
五、易错点4：应用题1. 求解问题时需要注意题目中给出的条件，并根据条件列出方程式。
2. 在解方程式时需要注意分母不能为0，若分母为0则无解。
3. 在求解过程中需要注意单位的转换，例如长度、面积、体积等。
六、完整函数：/*** 反比例函数易错点* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportion(k, x) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数'');}const y = k / x;return y;}/*** 变形公式：y=k/x+b（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @param {number} b - 平移量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionWithB(k, x, b) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数''); }const y = k / x + b;return y;}/*** 变形公式：y=k/(x-h)（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @param {number} h - 平移量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionWithH(k, x, h) {if (x === h || x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数，且x≠h''); }const y = k / (x - h);return y;}/*** 变形公式：y=-k/x（k≠0）* @param {number} k - 比例系数* @param {number} x - 自变量* @returns {number} y - 函数值*/function inverseProportionNegative(k, x) {if (x === 0) {throw new Error(''定义域为所有不为0的实数'');}const y = -k / x;return y;}/*** 应用题：已知反比例函数y=k/x，当x=2时，y=3，求k。
三角函数的易错知识点总结
三角函数的易错知识点总结引言三角函数是数学中非常重要的一个概念，它在几何、物理、工程等众多领域都有广泛的应用。
然而，由于其涉及的概念较多且相互之间关联复杂，初学者常常容易在某些知识点上出现错误。
本文将总结三角函数中一些常见的易错知识点，并提供解决方法，帮助读者更好地理解和应用三角函数。
1. 角度与弧度的转换在三角函数中，我们通常用角度来表示一个角的大小。
然而，有时候我们需要将角度转换为弧度进行计算。
这是一个容易出错的地方。
要注意以下转换关系： -弧度 = 角度× π / 180 - 角度 = 弧度× 180 / π在进行角度与弧度的转换时，务必注意单位的正确性，避免计算出错。
2. 三角函数的定义域与值域在学习各种三角函数时，我们需要了解它们的定义域和值域，以便正确地应用它们。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
它们的定义域和值域如下：•正弦函数（sin）：定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
•余弦函数（cos）：定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
•正切函数（tan）：定义域为实数集，值域为全体实数。
在计算中，要注意将角度转换为弧度，并根据定义域和值域的限制来确定计算结果的合理性。
3. 三角函数的基本性质在使用三角函数进行计算时，我们需要了解它们的基本性质，以便正确地进行推导和运算。
以下是三角函数的一些基本性质：•正弦函数和余弦函数的关系：sin(x) = cos(x - π/2)•正切函数和余切函数的关系：tan(x) = 1 / cot(x)•三角函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，cos(x + 2π) = cos(x)，tan(x + π) = tan(x)在推导过程中，可以根据这些基本性质进行等式的变形和化简，简化计算过程。
4. 三角函数的常用公式三角函数有许多常用的公式和恒等式，它们在计算中经常被使用。
以下是一些常见的公式：•和差公式：–sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)–cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)–tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))•二倍角公式：–sin(2x) = 2sin(x)cos(x)–cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)–tan(2x) = 2tan(x) / (1 - tan^2(x))•半角公式：–sin(x/2) = ± √[(1 - cos(x)) / 2]–cos(x/2) = ± √[(1 + cos(x)) / 2]–tan(x/2) = ± √[(1 - cos(x)) / (1 + cos(x))]在计算中，熟练掌握这些公式可以大大简化运算过程，减少出错的可能性。
指数函数与对数函数易错点剖析
ʏ郑欣易错点1:利用分段函数的单调性时,忽略分段点例1已知函数f(x)= (a-2)x+1,xɤ1,l o g a x,x>1,若f(x)在(-ɕ,+ɕ)上单调递增,则实数a的取值范围为()㊂A.(0,1)B.(2,3]C.(1,2)D.(2,+ɕ)错解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1在(-ɕ,1]上为增函数,则a-2>0,解得a>2;函数y=l o g a x在(1,+ɕ)上为增函数,则a>1㊂综上所述,a>2㊂应选D㊂剖析:分段函数在R上单调递增,在每一段都是递增的,在分段点处也是递增的㊂正解:由题意可知,函数y=(a-2)x+1在(-ɕ,1]上为增函数,则a-2>0,解得a>2;函数y=l o g a x在(1,+ɕ)上为增函数,则a>1㊂在分段点x=1处,由a-3ɤl o g a1=0,解得aɤ3㊂综上所述,实数a的取值范围是(2,3]㊂应选B㊂易错点2:求单调区间时,忽略函数的定义域例2函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间是()㊂A.(-ɕ,-2)B.(-ɕ,1)C.(1,+ɕ)D.(4,+ɕ)错解:因为内层函数u=x2-2x-8在区间(-ɕ,1)上单调递减,在区间(1,+ɕ)上单调递增,外层函数y=l g u为增函数,所以复合函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间为(1,+ɕ)㊂应选C㊂剖析:求函数的单调性往往容易忽略定义域㊂要使函数f(x)=l g(x2-2x-8)有意义,需要x2-2x-8>0,在优先考虑定义域的前提下,才能讨论函数f(x)=l g(x2-2x-8)单调性㊂正解:对于函数f(x)=l g(x2-2x-8),由x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4,所以函数f(x)=l g(x2-2x-8)的定义域为(-ɕ,-2)ɣ(4,+ɕ)㊂内层函数u=x2-2x-8在区间(-ɕ, -2)上单调递减,在区间(4,+ɕ)上单调递增,外层函数y=l g u为增函数,结合复合函数的单调性,可得函数f(x)=l g(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+ɕ)㊂应选D ㊂1.函数y=-x2+4x+12的单调递减区间为()㊂A.(-ɕ,2]B.[2,+ɕ)C.[2,6]D.[-2,2]提示:对于函数y=-x2+4x+12,由-x2+4x+12ȡ0,可得x2-4x-12ɤ0,解得-2ɤxɤ6,所以此函数的定义域为[-2, 6]㊂内层函数u=-x2+4x+12在区间[-2,2]上单调递增,在区间[2,6]上单调递减,外层函数y=u为定义域上的增函数,故此函数的单调递减区间为[2,6]㊂应选C㊂2.已知函数f(x)= (1-3a)x+10a(xɤ7),a x-7(x>7),且对定义域内的x1,x2(x1ʂx2)都满足f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则实数a的取值范围是㊂提示:由题意可得函数f(x)在定义域内是减函数,结合分段点处函数值的大小关系可得1-3a<0,0<a<1,(1-3a)ˑ7+10aȡa7-7=1,解得13< aɤ611,所以实数a的取值范围是13,611㊂作者单位:陕西省洋县中学(责任编辑郭正华)73易错题归类剖析高一数学2023年11月。
函数三要素易错点分析
函数三要素易错点分析函数是高中重要概念，几乎所有领域都涉及到函数概念，小到原子运动、人口增长，大到天体的运动，都需要函数知识，由此可见函数的重要性，但是初学函数容易产生下面几类错误。
为帮助大家很好的掌握它，列举如下：一、忽视对应法则产生错误例1、下列图象中可作为函数y ＝f （x ）的图象的是（ ）错解：A剖析：错解之所以选A ，是没有抓住函数概念的本质，在A 中对于一个x 的值，有时有两个y 值和它对应，不符合函数的定义，所以A 中的图象不可作为函数的图象。
正解：D.点评：对于函数而言，必须满足“对于每一个x 按照对应关系在定义域内有唯一的y 与之对应”，可以说，函数的图象与垂直于x 轴的直线最多只能有一个交点。
二、对复合函数的定义理解产生偏差例2、已知函数f （3x ＋1）的定义域为[1，7]，求函数f （x ）的定义域。
错解：欲求f （x ）的定义域，就是求x 的取值范围，因为f （3x ＋1）的定义域为[1，7]，即7131≤+≤x ，解得20≤≤x ，所以f （x ）的定义域为[0，2].剖析：定义域是自变量的取值范围，而f （3x ＋1）的自变量是x ，即71≤≤x ，而求f （x ）的定义域，是求f （x ）中的x 的取值范围。
正解：令3x ＋1＝t ，则224≤≤t ，即f （t ）中，]22,4[∈t ，故f （x ）的定义域为[4，22].点评：函数y ＝f （3x ＋1）可以看作是由函数y ＝f （u ）和u ＝3x ＋1复合而成的函数，其自变量不是3x ＋1而是x ，一般地，若f （x ）的定义域为D ，则)]([x g f 的定义域是D x g ∈)(及g （x ）本身有意义的自变量的取值范围。
三、对定义域与值域对应关系认识不全面例3、一次函数y ＝kx ＋b 的自变量的取值范围是63≤≤-x ，相应的函数值的取值范围是25-≤≤-y ，则这个函数的解析式为__________.错解：因为当x ＝－3时，y ＝－5，当x ＝6时，y ＝－2，所以⎩⎨⎧-=+-=+-2653b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==431b k ，所以所求的函数解析式为.431-=x y 剖析：错解对定义域和值域的对应关系认识不全面，误认为只有当x ＝－3时，y ＝－5，当x ＝6时y ＝－2.正解：（1）当x ＝－3时，y ＝－5，当x ＝6时，y ＝－2，解法同上；（2）当x ＝－3时，y ＝－2，当x ＝6时，y ＝－5，⎩⎨⎧-=+-=+-5623b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=331b k ，所以所求的函数解析式为.331-=x y 故应填.431-=x y 或.331-=x y 点评：一次函数y ＝kx ＋b 中0≠k ，所以函数可增可减，当k 的值不确定时应分两种情况考虑。
易错点5误认为函数的极值点就是导数的零点
易错点5 误认为函数的极值点就是导数的零点1.“极值”:若在点x a =附近的左侧()0f x ¢<，右侧()0 f x ¢>，则a 称为函数()y f x =的极小值点，()f a 称为函数()y f x =的极小值；若在点x b =附近的左侧()0f x ¢>，右侧()0f x ¢<，则b 称为函数()y f x =的极大值点，()f b 称为函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2.“导数为0”：若()f x 可导，且()00x y f x x =是的极值，则是()0f x ¢=的解；若0x 是()0f x ¢=的解，()0x y f x =不一定是的极值点； 两侧一定要异号.3.易错点：解题时求得导数为0，就认为是极值点，从而造成错误.典例1 已知函数()3223f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值0，则()1f ¢=（ ）A ．6B ．12C ．24D ．12或24审题：根据函数()3223f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值0，结合极值的定义可得两个关系，解出方程组即可求出a 、b ，但一定要检验，这是易错点.解析：由()3223f x x ax bx a =+++，得()236f x x ax b ¢=++．因为()f x 在=1x -处有极值0，所以()()10,10,f f ì-=-=¢ïíïî即2130,360,a b a a b ì-+-+=í-+=î解得1,3a b =ìí=î或2,9.a b =ìí=î【避陷阱】导数值为零的点不一定是极值点，例如，函数()()3,00f x x f ¢==，但是0不是函数()f x 的极值点，对于可导函数来说，()00f x ¢=是0x 为函数极值点的必要不充分条件，因此要进行检验当1,3a b =ìí=î时，()223633(1)0f x x x x ¢=++=+³，则()f x 在R 上单调递增，函数无极值，舍去．当2,9a b =ìí=î时，()23129f x x x ¢=++，令()0f x ¢=，得=1x -或3x =-，经检验=1x -和3x =-都为函数的极值点．综上，2,9,a b =ìí=î所以()13624f a b =++=¢．故选C ．典例2 （2024江苏镇江9月诊断性考试）若函数()221()ln 02x f x a x a x x-=+-¹既有极大值也有极小值，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,3C ．()()0,19,È+¥D ．()()0,39,+¥U 审题：函数问题首先要考虑定义域，这是前提，题中要求函数()221()ln 02x f x a x a x x-=+-¹既有极大值也有极小值，说明其导数要经历由正到负、由负到正的过程，讲问题转化为二次函数根的分布形式.解析 由题意知函数()f x 的定义域为()0,¥+，()22332121-+¢=-+=a ax x f x x x x x 【补漏洞】解函数问题要有定义域优先意识，尤其是解析式含分式、根号、对数等形式时由题意知函数()f x ¢有2个大于0的变号零点，即关于x 的二次方程2210ax x -+=有两个不相等的正根，设为12,x x ，【补盲点】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题则1212Δ440,20,10,a x x a x x a ìï=->ïï+=>íïï×=>ïî解得01a <<，即a 的取值范围为()0,1．故选A ．典例3 （2024安徽滁州10月检测）已知()e ln xa f x x x x=+-有2个极小值点，则（ ）A ．1e a ³ B ．10e a << C ．e a £ D ．ea ³审题：别忘了函数首先要考虑定义域，根据题中()e ln xa f x x x x =+-有2个极小值点，转化为导数有三个零点，对a 的讨论是本题的重点和难点.解析：由题意知函数()f x 的定义域为()0,¥+，()()()()2222e 1e 1e e 1e 11e e x x x x x x x a x x x x x f x a x a x x x x x ---æö=×+-=-=--çè¢÷ø．由连续函数()f x 有2个极小值点知()f x ¢有3个大于0的变号零点，从而e xxy a =-有2个大于0的变号零点，且零点不为1，从而0a >且1ea ¹．【避陷阱】切勿将函数存在2个极小值点简单转化为导函数有2个零点，结合函数图象的变化趋势，将函数的极值点转化为导函数的变号零点，进而转化为函数e xxy a =-在()0,¥+上的变号零点，注意其零点不能为1x =当0a >且1e a ¹时，令()(),0,e x x g x x =Î+¥，则()()2e e 1e e x x x x x x g x --==¢，令()0g x ¢=，得1x =，所以当()0,1x Î时，()()0,g x g x ¢>单调递增，当()1,x Î+¥时，()()0,g x g x ¢<单调递减，则()max 1()1eg x g ==，易知()0g x >，且当x ®+¥时，()0g x ®．作出函数()g x 的大致图象，如图所示，结合图象可知，当10e a <<时，函数()g x 的图象与直线y a =有2个交点，满足函数ex x y a =-有2个大于0的零点，且零点不为1．若10ea <<，则存在()()0,1,1,m n ÎÎ+¥，使得()()g m g n a ==，即()()0f m f n ¢¢==，所以当()0,x m Î时，()()10,0,0,e xxx a f x f x -<-><¢单调递减，当(),1x m Î时，10x -<，()()0,0,e xxa f x f x ¢-<>单调递增，当()1,x n Î时，()()10,0,0,e xxx a f x f x ->-<<¢单调递减，当(),x n Î+¥时，()()10,0,0,ex xx a f x f x ->->>¢单调递增，所以当10ea <<时，()f x 有2个极小值点，符合题意．【补盲点】由函数e xxy a =-有2个大于0的零点，且零点不为1只能得到函数()f x 存在3个极值点，但并不能保证其存在2个极小值点，故需检验综上所述，当10ea <<时，()f x 有2个极小值点．故选B ．（23-24高三上·天津滨海新·期中）1．函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极小值3-，则b a -的值等于（ ）A ．0B ．2-C ．4-D ．6（2024·辽宁葫芦岛·一模）2．已知函数2()e x f x ax =-在R 上无极值，则a 的取值范围是（ ）A ．e ,2æù-¥çúèûB ．e ,2æö-¥ç÷èøC ．[0,e)D ．e 0,2éùêúëû（2024·河北承德·二模）3．设a 为实数，若函数()32133f x x ax =-+在1x =处取得极小值，则=a （ ）A ．1B ．12C ．0D ．1-（23-24高三下·江苏连云港·期中）4．若函数()e x f x ax =-有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．ea <B ．1ea <<C ．1a >D ．01a <<（23-24高三下·广东潮州·期中）5．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x ¢，如图是函数()y xf x =¢的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的增区间是()()2,0,2,¥-+B ．函数()f x 的减区间是()(),2,2,¥¥--+C ．2x =-是函数的极小值点D ．2x =是函数的极小值点（23-24高三下·安徽芜湖·期中）6．如图所示为函数()f x 的图象，()f x ¢是()f x 的导函数，12x =和2x =分别为极大值点和极小值点，则不等式()023f x x <-¢的解集为 ．（2024·陕西铜川·三模）7．若函数()2ln xf x ax x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围为 .（2024高三·全国·专题练习）8．已知函数2()e x f x ax x =--，()f x ¢为()f x 的导数.(1)讨论()f x ¢的单调性；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．参考答案：1．A【分析】对函数求导，利用()13f =-以及()10f ¢=解出,a b ，进而得出答案．【详解】由题意得()21222f x x ax b ¢=--，因为在1x =处有极小值3-，所以()()11222014223f a b f a b ì=--=ïí=--+=-¢ïî，解得3,3a b ==，所以()()()212666211f x x x x x ¢=--=+-，令()()()02110f x x x ¢>Þ+->，解得1x >或12x <-，故函数()f x 在()1,+¥和1,2æö-¥-ç÷èø上为增函数，令()()()02110f x x x ¢<Þ+-<，解得112x -<<，故函数()f x 在1,12æö-ç÷èø上为减函数，所以()f x 在1x =处有极小值，符合题意，所以0b a -=，故选：A.2．D【分析】求导数确定单调性，讨论x 的取值范围可得结果.【详解】由题意得，()e 2x f x ax ¢=-，故()010f ¢=＞，因为函数2()e x f x ax =-在R 上无极值，所以()0f x ¢³在R 上恒成立，当x ＞0时，e 2xa x£，设()e 2x g x x =，则()()221e2e 2e 42xx x x x g x x x --=¢=，当01x ＜＜时，得()0g x ¢＜，当1x ＞时，得()0g x ¢＞，则()g x 在()0,1上单调递减，在()1,¥+上单调递增，从而()()e12g x g ¢=¢³，故2e a £，当0x ＜时，e 02xx＜，则0a ³.综上，e 02a ££.故选：D.3．B【分析】求出函数的导数，根据极值点求出a 的值，然后根据极值的概念检验即得．【详解】由题可得2()2(2)f x x ax x x a ¢=-=-，令()0f x ¢=，解得；0x =或2x a =，因为函数()32133f x x ax =-+在1x =处取得极小值，所以21a =，即12a =，当12a =时，()()1f x x x ¢=-，()00¢>Þ<f x x 或1x >，()001f x x <Þ<<¢所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在(,0),(1,)-¥+¥上单调递增，满足题意.故选：B.4．C【分析】求导0a £和0a >讨论，当0a >时求出极值点，根据极值点大于零求解可得.【详解】()e ¢=-x f x a（1）0a £时，()e 0x f x a ¢=->，()f x 在定义域上单调递增，不满足题意；（2）0a >时，令()e 0x f x a ¢=-=得ln x a =，当ln x a <时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当ln x a >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.所以，当ln x a =时，()f x 取得极小值，由题知ln 0a >，解得1a >.综上，实数a 的取值范围为1a >.故选：C 5．D【分析】由已知易得()f x 的单调区间，进而可判断()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值，可得结论.【详解】由图及题设，当02x <<时，()0f x ¢<；当()2,0x f x ¢>>；当20x -<<时，()0f x ¢<；当<2x -时，()0f x ¢>；即函数()f x 在(),2¥--和()2,¥+上单调递增，在()2,2-上单调递减，因此函数()f x 在2x =时取得极小值，在2x =-时取得极大值；故A ，B ，C 错，D 正确.故选：D.6．13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU 【分析】根据函数的图象和题设条件，得到()0f x ¢<和()0f x ¢>的解，结合所求不等式，分类求解即得.【详解】由题意，结合函数()f x 的图象，可知由()0f x ¢>可得12x <或2x >，由()0f x ¢<可得122x <<.而()023f x x ¢<-(23)()0x f x ¢Û-<，由230()0x f x -><¢ìíî可得230122x x ->ìïí<<ïî，解得322x <<；由230()0x f x -<>¢ìíî可得230122x x x -<ìïíïî或，解得12x <.综上可得，不等式()023f x x ¢<-的解集为13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU .故答案为：13,,222æöæö-¥ç÷ç÷èøèøU .7．410,6e æöç÷èø【分析】将导数方程参变分离，转化为()3ln 12x g x x -=与y a=由两个交点的问题，利用导数讨论()g x 的单调性，观察变化趋势，作出草图，由图象即可得解.【详解】()f x 的定义域为()0,¥+，()21ln 2xf x ax x -=+¢，令()0f x ¢=，得3ln 12x a x -=.令()3ln 12x g x x -=，则()443ln 2x g x x -¢=.令()00g x ¢=，则03ln 4x =，即04ln 3x =，即340e x =.当00x x <<时，()()0,g x g x ¢>单调递增；当0x x >时，()()0,g x g x ¢<单调递减.()0max0344041ln 113()22e 6e x g x g x x --\====，又当x 趋近于0时，()g x 趋近于-¥；当x 趋近于+¥时，()g x 趋近于0，作出()g x 的草图如图，由图可知，当4106e a <<时，方程3ln 12x a x -=有两个正根，从而函数()f x 有两个极值点.【点睛】思路点睛：关于函数零点个数求参数问题，通常参变分离，转化为两个函数图象相交问题，借助导数研究函数单调性，作出草图即可得解，其中需要注意观察函数的变化趋势.8．(1)答案见解析(2)12a >【分析】（1）令()()g x f x ¢=，求出导函数，再分0a £和0a >两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）结合（1）分0a £、102a <<、12a =、12a >四种情况讨论，判断()f x 的单调性，即可确定极值点，从而得解；【详解】（1）由题知()e 21x f x ax =--¢，令()()21x g x f x ax =-¢=-e ，则()e 2xg x a ¢=-，答案第5页，共5页当0a £时，()0,()g x f x ¢¢>在区间(),-¥+¥单调递增，当0a >时，令()0g x ¢=，解得ln2=x a ，当(),ln2x a ¥Î-时，()0g x ¢<，当()ln2,x a Î+¥时，()0g x ¢>，∴()f x ¢在区间(),ln2a -¥上单调递减，在区间()ln2,a +¥上单调递增，综上所述，当0a £时，()f x ¢在区间(),-¥+¥上单调递增；当0a >时，()f x ¢在区间(),ln2a -¥上单调递减，在区间()ln2,a +¥上单调递增．（2）当0a £时，()00f ¢=，由（1）知，当(),0x Î-¥时，()()0,f x f x ¢<在(),0¥-上单调递减；当()0,x Î+¥时，()()0,f x f x ¢>在()0,¥+上单调递增；∴0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当102a <<时，ln20a <，且()00f ¢=，由（1）知，当()ln2,0x a Î时，()()0,f x f x ¢<在()ln2,0a 上单调递减；当()0,x Î+¥时，()()0,f x f x ¢>在()0,¥+上单调递增；∴0x =是函数()f x 的极小值点，不符合题意；当12a =时，ln20a =，则当(),x Î-¥+¥时，()()0,f x f x ¢³在(),-¥+¥上单调递增，∴()f x 无极值点，不合题意；当12a >时，ln20a >，且()00f ¢=；当(),0x Î-¥时，()()0,f x f x ¢>在(),0¥-上单调递增；当()0,ln2Îx a 时，()()0,f x f x ¢<在()0,ln2a 上单调递减；∴0x =是函数()f x 的极大值点，符合题意；综上所述，a 的取值范围是12a >．。
函数及其应用、指对幂函数(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)(新高考专用)(原卷版)
专题02函数及其应用、指对幂函数易错点一：对函数定义域、值域及解析式理解存在偏差（定义域、值域及解析式的求算）已知函数的具体解析式求定义域的方法法1：若()f x 是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集.法2：复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可.函数解析式的常见求法法1：配凑法：已知(())()f h x g x =，求()f x 的问题，往往把右边的()g x 整理或配凑成只含()h x 的式子，然后用x 将()h x 代换.法2：待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，比如二次函数()f x 可设为2()(0)f x ax bx c a =++≠，其中,,a b c 是待定系数，根据题设条件，列出方程组，解出,,a b c 即可.法3：换元法：已知(())()f h x g x =，求()f x 时，往往可设()h x t =，从中解出x ，代入()g x 进行换元.应用换元法时要注意新元的取值范围.法4：解方程组法：已知()f x 满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还有其他未知量，如1f x ⎛⎫⎪⎝⎭(或()f x -)等，可根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出()f x ．分段函数第一步：求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值．第二步：当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值．第三步：当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点。
结论：复合函数：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =，其中()y f u =叫做复合函数(())y f g x =的外层函数，()u g x =叫做(())y f g x =的内层函数.抽象函数的定义域的求法：(1)若已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，则复合函数(())f g x 的家义域由()a g x b 求出.(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[,]a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[,]x a b ∈时的值域.易错提醒：函数的概念①一般地，给定非空数集A ，B ，按照某个对应法则f ，使得A 中任意元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数.记作：()x y f x →=，②函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.③函数表示法：函数书写方式为()y f x =，x D ∈④函数三要素：定义域、值域、对应法则.⑤同一函数：两个函数只有在定义域和对应法则都相等时，两个函数才相同.基本的函数定义域限制求解函数的定义域应注意：①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数大于或等于零：③对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；④零次幂或负指数次幂的底数不为零；①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；⑦对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.基本初等函数的值域①(0)y kx b k =+≠的值域是R .④(0x y a a =>且1)a ≠的值域是(0)+∞，.⑤log (0a y x a =>且1)a ≠的值域是R .分段函数的应用分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．1.函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。
三角函数易错知识点总结
三角函数易错知识点总结三角函数是数学中的重要概念，也是很多人在学习数学时容易出错的知识点之一。
本文将总结一些常见的易错知识点，帮助读者更好地理解和掌握三角函数。
一、角度与弧度的转换在三角函数中，角度和弧度是两种表示角度大小的方式。
角度是我们常用的度数表示方式，而弧度是数学上常用的表示方式。
在使用三角函数时，经常需要将角度和弧度进行转换。
角度转弧度的公式为：弧度 = 角度× π/180弧度转角度的公式为：角度 = 弧度× 180/π在进行转换时，很多人容易混淆转换公式，导致计算错误。
因此，在使用三角函数时，一定要注意角度和弧度的转换。
二、正弦函数和余弦函数的区别正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数之一，在数学中应用广泛。
但很多人容易混淆这两个函数的图像和性质。
正弦函数的图像是一条波浪线，它的取值范围在-1到1之间。
而余弦函数的图像是一条类似于正弦函数的波浪线，但相位不同，取值范围也在-1到1之间。
正弦函数和余弦函数在性质上也有一些区别。
例如，正弦函数在原点处取得最小值0，而余弦函数在原点处取得最大值1。
另外，正弦函数的图像是奇函数，对称于原点，而余弦函数的图像是偶函数，对称于y轴。
三、三角函数的周期性三角函数具有周期性，即函数图像在一定区间内重复出现。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即在0到2π之间图像会重复出现。
这一点很多人容易忽略，在计算三角函数值时没有考虑到周期性，导致结果错误。
因此，在使用三角函数时，一定要注意函数的周期性，根据需要进行相应的调整。
四、三角函数的性质除了周期性外，三角函数还具有一些其他的性质。
例如，正弦函数和余弦函数是周期函数，它们的定义域是实数集，值域是[-1, 1]。
而正切函数和余切函数的定义域是全体实数，值域是实数集。
三角函数还具有一些重要的性质，如奇偶性、单调性和最值等。
在使用三角函数时，了解这些性质可以帮助我们更好地理解和计算三角函数的值。
五、特殊角的三角函数值特殊角是指具有特殊取值的角度，如0度、30度、45度、60度、90度等。
导数求函数单调区间问题易错点分析
(2)因为f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n，此函数
m ＋1 是二次函数，它的对称轴为x＝ .又因为m <0，
m
所以函数f(x)在x∈－∞，m
＋m 1上是增函数，
在x∈m
＋m 1，＋∞上是减函数．
错解分析 此题要求的是函数f(x)的单调区间，而错 解求出的是导函数的单调区间；另外，错解利用函
错解 f′(x)＝3ax2＋1，若a>0时，则f′(x)>0，得3ax2
＋1>0.因为此式恒成立，所以函数f(x)在R上为增函数．
若a<0时，f′(x)<0，得3ax2＋1<0，解得x2>－ 1 ， 3a
所以x>
1 － 或x<－
3a
1 －.
3a
综上所述，a>0时，函数f(x)在R上为增函数；a<0时，函数
该区间内单调递增”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
()
错解 C 错解分析 一般地，由f′(x)>0能推出f(x)为增函 数，反之，则不一定．如函数f(x)＝x3在区间(－∞， ＋∞)上单调递增，但是f′(x)≥0.因此f′(x)>0是函 数f(x)为增函数的充分不必要条件． 正解 A
数f′(x)的单调区间取代f(x)的单调区间，它们的单 调性是不一定相同的．(1)的结果是正确的． 正解 (1)略．
(2)f′(x)＝3m x2－6(m ＋1)x＋n ＝3m (x－1)x－1＋m2 ，
2 当m <0时，1>1＋ .
m
x 1＋ 1 (1，＋∞)
f′( x)
－0
＋0
－
单
二次函数易错点剖析
二次函数常见错解示例一、忽略二次项系数不等于0例1已知二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围 是（ ）（A ）k ＜3 (B) k ＜3 且k ≠0 (C) k ≤3 (D) k ≤3 且k ≠0 错解:选C.由题意,得△=()26-－4 k ×3≥0,解得k ≤3,故选C.错解分析:当k =0时,二次项系数为0,此时原函数不是二次函数.欲求k 的取值范围,须同时满足:①函数是二次函数;②图象与x 轴有交点,上面的解法只注重了△≥0而忽略了二次项系数不等于0的条件.正解: 选D.由题意,得△=()26-－4 k ×3≥0且k ≠0,即k ≤3 且k ≠0,故应选D.二、忽略隐含条件例2如图,已知二次函数2y x bx c =++的图象与y 轴交于点A, 与x 轴正半轴交于B,C 两点,且BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,则b 的值为( )（A ）-5 (B)4或-4 (C) 4 (D)-4错解: 选B.依题意BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,得点A(0,3),即c ＝3.又BC ＝2,得方程20x bx c ++=的两根之差为2,故222b b -+---=,解得b =±4.故选B. 错解分析:上面的解法忽略了“抛物线的对称轴x ＝-2b 在y 轴的右侧”这一隐含条件,正确的解法应是同时考虑-2b ＞0,得b ＜0,∴b =4应舍去,故应选D.正解: 选D.例3 若y关于x的函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，则a可取的值是多少？错解：因为函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与坐标轴有两个交点，而其中与y轴有一个交点(0,a)，则与x轴就只有一个交点，所以关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式[-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-14.错解分析：本题关于函数的描述是“y关于x的函数”，并没有指明是二次函数，所以需要分“y关于x的一次函数”和“y关于x的二次函数”两种情况进行讨论.正解：当函数y是关于x的一次函数时，a=2,函数的解析式为y=-3x+2，函数图象与y轴的交点坐标为(0,2)，与x轴的交点坐标为(23,0).所以a=2符合题意.当函数y是关于x的二次函数时，函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与y轴有一个交点(0,a)，与坐标轴共有两个交点，所以与x轴只有一个交点，则关于x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-1)x+a有两个相等的实数根，所以判别式△=[-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-14.而当a=0时，与y轴的交点为原点，此时，y=-2x2+x与x轴还有一个交点(12,0).综上可得a=2或a=0或a=-14.三、忽略数形结合思想方法的应用例4 求二次函数y=2x+4x+5(-3≤x≤0)的最大值和最小值.错解:当x=-3时,y=2; 当x=0时,y=5;所以，-3≤x≤0时,y最小=2,y最大=5.错解分析:上面的解法错在忽略了数形结合思想方法的应用,误以为端点的值就是这段函数的最值.解决此类问题,画出函数图象,借助图象的直观性求解即可.正解:∵y =2x +4x +5=()2+2x +1,∴对称轴是直线x =-2,顶点坐标是(-2,1),画出大致的图象,如图是抛物线位于-3≤x ≤0的一段,显然图象上最高点是C,最低点是顶点B 而不是端点A,所以当-3≤x ≤0时, y 最大值为5, y 最小值为1.图2四、求顶点坐标时混淆符号例5 求二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标. 错解1 用配方法y =-x 2+2x -2=-(x 2-2x )-2=-(x 2-2x +1-1)-2=-(x 2-2x +1) -1=-(x -1) 2 -1所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(-1,-1).错解2 用公式法 在二次函数y =-x 2+2x -2中，a =-1，b =2，c =-2，则2122(1)b a ==-⨯-，22424(1)(2)142(1)b ac a --⨯-⨯-==⨯- 所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(-1,1).错解分析：二次函数y =a (x -h )2+k 的顶点坐标为(h ,k ),即横坐标与配方后完全平方式中的常数项互为相反数，而非相等，也就是说不是(-h ,k ).二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标为(-2b a,244b aca -)，横坐标前面带“-”，纵坐标的分子为4ac -b 2,不要与一元二次方程根的判别式b 2-4ac 混淆.另外，把一般式转化为顶点式，常用配方法，如果二次项系数是1，则常数项为一次项系数一半的平方；如果二次项系数不是1，则先提出二次项系数（注意：不能像解方程一样把二次项系数消去），使括号中的二次项系数变为1，再对括号中进行配方.正解：（1）用配方法y =-x 2+2x -2=-(x -1) 2 -1所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(1,-1).（2）用公式法 -2122(1)b a =-=⨯-，2244(1)(2)2142(1)ac b a -⨯-⨯--==-⨯- 所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(1,-1). 五、忽视根的判别式的作用例6 已知抛物线y =-12x 2)x +m -3与x 轴有两个交点A ，B ，且A ，B 关于y 轴对称，求此抛物线解析式.错解：因为A 与B 关于y 轴对称，所以抛物线对称轴为y 轴，即直线x=-022()2b a ==⨯-. 解得m =6或m =-6.当m =6时，方程抛物线解析式为y =-12x 2+3.错解分析：抛物线与x 轴有两个交点为A ，B ，等价于：相应的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以b 2-4ac >0.如果忽视根的判别式在解题中的作用，就不能排除不符合题意的解，扩大了解的范围，导致错误.正解：因为A 与B 关于y 轴对称，所以抛物线对称轴为y 轴，即直线x=-2ba02()2=⨯- ，解得m =6,或者m =-6. 当m =6时，抛物线解析式为y =-12x 2+3.此时，b 2-4ac =02-4×(-12)×3=6>0，方程-12x 2+3=0有两个不相等的实数根，抛物线y=-12x2+3与x轴有两个交点，符合题意.当m=-6时，方程抛物线解析式为y=-12x2-9.此时，b2-4ac=02-4×(-12)×(-9)=-18<0，方程-12x2-9=0没有实数根，抛物线y=-12x2-9与x轴有两个交点，不符合题意，舍去.因此所求抛物线解析式为y=-12x2+3.。
高中数学易错点对数函数的陷阱与解析
高中数学易错点对数函数的陷阱与解析在高中数学的学习中，对数函数是一个重要的知识点，但同时也是同学们容易出错的地方。
本文将深入探讨对数函数中常见的陷阱，并进行详细的解析，帮助大家更准确地理解和运用对数函数。
一、对数的定义理解不清对数的定义是：如果 a^x ＝ N（a＞0 且a≠1），那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。
在这个定义中，同学们容易忽略底数 a的取值范围，以及真数 N 的取值范围。
例如，logₐ0 是没有意义的，因为任何数的 0 次幂都不等于 0。
同样，logₐ(－1) 也是没有意义的，因为正数的任何次幂都是正数。
另外，对数中的底数 a 必须大于 0 且不等于 1。
如果忽略了这些限制条件，在解题时就容易陷入错误。
二、对数的运算性质使用不当对数的运算性质有：logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN；logₐ(M/N) ＝logₐM logₐN；logₐMⁿ ＝nlogₐM。
在使用这些运算性质时，同学们经常会出现以下错误：1、忽略底数相同的条件例如，log₂3 ＋log₃4 不能直接运用加法运算性质，因为底数不同。
2、忽略真数大于 0 的条件在计算 log₂(x 1) ＋ log₂(x ＋ 1) 时，如果不考虑 x 1＞0 且 x ＋ 1＞0 这个条件，就可能得出错误的结果。
3、对运算性质的逆用不熟练例如，已知logₐM ＋logₐN ＝logₐ(MN)，那么当遇到logₐM ＋logₐN 的形式时，要能够想到将其转化为logₐ(MN)。
三、对数函数的定义域和值域对数函数 y ＝logₐx（a＞0 且a≠1）的定义域是 x＞0，值域是 R。
在求对数函数的定义域时，同学们容易忽略真数大于 0 这个条件。
例如，函数 y ＝ log₂(x² 1) 的定义域，需要满足 x² 1＞0，解得 x＞1 或 x＜－1。
在求对数函数的值域时，要根据对数函数的单调性来确定。
高考数学函数易错点全面总结
高考数学函数易错点全面总结函数是高考数学中的重点和难点，也是许多同学容易出错的地方。
下面就为大家全面总结一下高考数学函数部分的易错点，希望能帮助大家在高考中避免犯错，取得更好的成绩。
一、函数的定义域和值域1、忽略定义域在求解函数问题时，很多同学容易忽略函数的定义域。
例如，对于函数$f(x)＝＼frac{1}｛x-1}＄，其定义域为$x\neq1$。
如果在解题过程中没有考虑到这一点，就可能会得出错误的结果。
2、求值域方法不当求函数值域时，方法选择不当也容易出错。
比如，对于二次函数$y=x^2 2x ＋ 3$，可以通过配方法将其化为$y=（x 1)＾2 ＋ 2$，从而得出值域为$2, ＋＼infty)＄。
但如果直接用判别式法，可能会导致计算复杂甚至出错。
二、函数的单调性和奇偶性1、单调性判断错误判断函数单调性时，没有正确使用定义或者导数。
例如，对于函数$f(x)＝x^3$，其导数$f'（x)＝3x^2\geq 0$，但不能直接得出函数在整个定义域上单调递增，还需要考虑导数为零的点。
2、奇偶性判断失误在判断函数奇偶性时，没有正确计算$f(x)＄。
例如，函数$f(x)＝＼sin x ＋ x$，计算$f(x)＝＼sin(x) x ＝＼sin x x ＼neq f(x)＄，所以该函数不是奇函数。
三、函数的周期性1、周期概念不清对函数周期的概念理解不清晰，导致错误。
比如，函数$f(x)＝＼sin 2x$的周期是$＼pi$，而不是$2\pi$。
2、周期运用错误在解题中，没有正确运用函数的周期性。
例如，已知$f(x)＄是周期为$2$的函数，且$f(1)＝2$，求$f(5)＄。
如果不能正确利用周期性将$f(5)＄转化为$f(1)＄，就很难得出正确答案。
四、函数的图像1、图像平移变换错误函数图像的平移变换，如向左平移、向右平移、向上平移、向下平移，容易出现方向和单位的错误。
例如，将函数$y=f(x)＄的图像向左平移$2$个单位，应该得到$y=f(x ＋ 2)＄，而不是$y=f(x 2)＄。
高一函数及其概念易错点总结
高一函数及其概念易错点总结
1.
函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
易错点在于理解“唯一性”和“对应关系”。
2.
函数的表示方法：函数可以用表达式、表格、图像等多种方式表示。
易错点在于混淆不同的表示方法，如将函数的表达式与函数的值混淆。
3.
函数的性质：函数具有单值性、连续性、可导性等性质。
易错点在于理解这些性质的具体含义和应用。
4.
函数的运算：函数可以进行四则运算、复合运算、反函数运算等。
易错点在于理解运算规则和运算结果。
5.
函数的图像：函数的图像可以直观地展示函数的性质和特点。
易错点在于理解图像的意义和如何从图像中获取信息。
6.
函数的应用：函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
易错点在于理解函数的应用背景和方法。
7.
函数的分类：函数可以分为实数函数、复数函数、有理函数、无理函数、三角函数、指数函数、对数函数、幂函数等。
易错点在于理解各种函数的特点和应用。
8.
函数的极限：函数的极限是研究函数变化趋势的重要工具。
易错点在于理解极限的概念和计算方法。
9.
函数的连续性：函数的连续性是研究函数性质的重要工具。
易错点在于理解连续性的概念和判别方法。
10.
函数的导数和微分：函数的导数和微分是研究函数变化率的重要工具。
易错点在于理解导数和微分的概念和计算方法。
易错点03 函数概念与基本初等函数-备战2023年高考数学考试易错题(解析版)(全国通用)
易错点03 函数概念与基本初等函数易错点1：求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则；研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。
易错点2：判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论； 易错点3： 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负 )；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.易错点4：指对型函数比较大小要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）. 易错点5：用函数图象解题时作图不准“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。
但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。
易错点6：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件；要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）；易错点7：抽象函数的推理不严谨致误；所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。
解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转化法、递推法等；1．已知 1.5log 0.5a =，0.51.5b =， 1.50.15c =⨯，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<2．已知函数()2,232,2x f x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，则()()9f f =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．83．已知函数233?,?0()3?,?0x x f x x x -+<⎧=⎨-+≥⎩，则不等式()()34f a f a >-的解集为（ ）A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．(),2-∞D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数， 所以34a a <-，解得2a >． 故选：B 4．函数()221xf x x =-的图象大致为（ ）A．B．C．D．5．已知函数lg,010()16,102x xf xx x⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a，b，c均不相等，且()f a= ()f b=()f c，则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．(5，6)C．(10，12)D．(20，24)1．已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．c a b >>2．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．53-B ．13-C ．13D ．533．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ 1.259） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.64．设函数f (x )=()212log ,0log ,0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃5．已知函数3,0,(),0.x xf xx x⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k=--∈R恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B．1,(0,22)2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C．(,0)(0,22)-∞D．(,0)(22,)-∞+∞2y x相切时，联立方程得（负值舍去）,0)(22,)+∞.1．已知函数33,0()e 1,0x x x f x x --+<⎧=⎨+≥⎩，则不等式()(31)<-f a f a 的解集为（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．3log y x =B ．32y x x =+C ．x y e =D ．3y x -=3．设函数()33f x ax x a -=-+，若函数()1f x -的图象关于点()1,0对称，则=a （ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【详解】因为函数()1f x -的图象关于点()1,0对称，故函数()f x 的图象关于点()0,0对称， 即()f x 为奇函数，故()()()()333320f x f x a x x a ax x a a ---+=---++-+==， 所以0a =. 故选：B.4．设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,3 C ．[]0,2 D ．[]2,3要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.5．已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ） A ．(,4)-∞ B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞【答案】C【详解】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减， 由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >， 所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C6．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【详解】解：58log a b log =5458<，5548log <，45138<，13458log <综上，c a >． 故选：A 7．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（ ） A ．－1.519 B ．－1.726 C ．－1.609 D ．－1.3168．已知函数()f x 图象如图所示，那么该函数可能为（ ）A ．ln ()||xf x x =B ．()()22ln (0)ln (0)xx xf x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩C ．()()1(0)e 1e (0)xx x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．ln ||()x f x x=,0)(0,)+∞，()0x <，不符合图象，故排除9．函数定义在R 上的奇函数()f x 满足在(1)()0f x f x ，则()f x 在[3,3]x ∈-上的零点至少有（ ）个 A ．6B ．7C ．12D ．13 1)()0x f x 得周期为(3)(2)(1)(1)(2)(3)0f f f f f ，又11()()22f f =-，f 11)()022f ，再由周期为1，总之，有()0,0,1,2,3,4,5,62k f k ，共13故选:D ．10．已知函数()()2212,13,x a x x a f x ax x a ⎧-+-≤⎪=⎨-->⎪⎩，若()f x 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]()(),21,00,-∞-⋃-⋃+∞B ．()[)(),21,00,-∞-⋃-⋃+∞C ．()1,-+∞D ．[)()1,00,-+∞。
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函数的纠错笔记易错点一：求定义域忽视细节致误。
例题1：（1）求函数0()f x =的定义域。
（2）求函数y =错因分析：（1）忘了分析0的0次无意义，导致在定义域中多了解；（2）把看成是真数减2，即由得真数且，所以，另外出现忽略真数大于零的错误：如由，得。
正解分析：（1）由函数解析式有意义知256010||0x x x x x ⎧-+≥⎪-≠⎨⎪+>⎩得3210x x x x ≥≤⎧⎪≠⎨⎪>⎩或即0132x x x <<≥≤或或故函数的定义域是()(][)0,11,23,+∞（2）由12log 200x x -≥⎧⎪⎨⎪>⎩，解得104x <≤所以函数定义域是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦。
误区分析：求函数定义域，关键是依据含变量的代数式有意义来列出相应的不等式求解，如开偶次方根，被开方数一定非负；对数式中的真数是正数；涉及到对数或指数不等式的求解，应依据单调性来处理。
变式练习：已知函数()f x 的定义域为(),a b ，求函数(31)(31)f x f x -++的定义域。
错因分析：理解错()f x 的定义域与(31)(31)f x f x -++的定义域之间的关系，致使(31)f x -函数的定义域由31a x b <-<得，函数(31)f x +的定义域由31a x b <-<得，这样得到的定义域就是()31,31a b +-。
正解分析：由3131a x b a x b <-<⎧⎨<+<⎩，解得11331133a b x a b x ++⎧<<⎪⎪⎨--⎪<<⎪⎩，又函数的定义域不可能为空集，所以必有1133a b x +-<<，即2b a ->此时，函数的定义域为11,33a b +-⎛⎫ ⎪⎝⎭。
误区分析：复合函数中定义域的求法：在复合函数中，外层函数的定义域是由内层函数决定的，即已知[]()f g x 的定义域为(),a b ，求()f x 的定义域方法是利用a x b <<，求得()g x 的范围即为函数()f x 的定义域。
而已知()f x 的定义域(),a b ，求函数[]()f g x 的定义域，即由()a g x b <<求出x.易错点二：函数单调性判断错误求下列函数的单调区间：（1）22||1y x x =-++；（2）2|23|y x x =++错因分析：这两个函数可以通过去掉绝对值化为分段函数，但是易错点有：去绝对值出错；单调区间出错或求错易把第一个函数的单调递增区间写成。
正解分析：（1）2221(0)21(0)x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，即22(1)2(0)(1)2(0)x x y x x ⎧--+≥⎪=⎨-++<⎪⎩画出函数图像得单调增区间为(][],1,0,1-∞-，单调递减区间为[][)1,0,1,-+∞。
（2）若2230x x -++≥，得13x -≤≤，此时函数2223(1)4y x x x =-++=--+，若2230x x -++<，得13x x <->或，此时函数2223(1)4y x x x =--=--。
即22(1)4(13)(1)4(13)x x y x x x ⎧--+-≤≤⎪=⎨--<->⎪⎩或画函数图像得函数单调增区间为[]1,1-和[)3,+∞，单调减区间为(],1-∞-和[]1,3误区分析：带绝对值的函数实质就是分段函数，对于分段函数的的单调性，有两种判断方法之一：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画分段函数的图像，结合函数的图像和性质进行直观判断，在研究函数问题离不开函数图像，函数图像反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”。
学会从函数图像上去分析问题，寻找解决问题的方法，对于函数的几个不同的单调递增（减）区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增（减）区间即可。
易错点三：求函数奇偶性的几种常见错误判断函数的奇偶性：（1）()(f x x =-2）()f x = （3）22lg(1)()22x f x x -=--（4）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 错因分析：解本题出现的几种错误是：求错定义域或是忽视定义域，函数奇偶性概念的前提条件不清，对分段函数的奇偶性判断方法不对等。
正确解析：（1）由11x x+-0≥，的定义域为[)1,1-，关于原点不对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数。
得， ∴函数()f x 既是奇函数又是偶函数。
（2）2221011()010x x x f x x ⎧-≥⎪∴=∴=±∴=∴⎨-≥⎪⎩ ()f x 既是奇函数又是偶函数。
（3）由2210220x x ⎧->⎪⎨--≠⎪⎩，得到函数得定义域为()()1,00,1- ，∴2222lg(1)lg(1)()(2)2x x f x x x --=-=---2222lg 1()lg(1)()()x x f x f x x x⎡⎤---⎣⎦-=-==- 所以函数()f x 为偶函数。
（4）当0x <，则0x ->，()22()()()f x x x x x f x -=---=-+=- 当0x >，则0x -<，()22()()()f x x x x x f x -=--=--+=-。
综上所述对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()f x -()f x =-。
所以函数()f x 为奇函数。
误区分析：函数奇偶性的判断方法：首先看函数定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件定义域关于原点对称，如果不具备函数为非奇非偶函数，若关于原点对称的前提下，再由函数奇偶性定义进行判断，在用定义判断时注意自变量在定义域中的任意性，再由函数定义分四类：函数为非奇非偶函数，函数既是奇函数又是偶函数，函数为偶函数，函数为奇函数。
易错点四：抽象函数的推理不严谨致误设函数()f x 是定义R 在上的函数，对任意m,n (,)∈-∞+∞恒有()()()f m n f m f n += ，且当0x >时0()1f x <<。
（1）求证：(0)1f =（2）求证：x (,)∈-∞+∞时，()f x >0（3）求证：()f x 在R 上是减函数。
错因分析：忽视条件导致论证不严谨或推理论证错误，这样在（1）中就会出现1()02f =的可能，此时无法确定(0)f 的值，（2）(3)中就缺少了推理论证的依据，导致不严谨和错误。
正确解析：（1）取10,2m n ==，则11(0)()(0)22f f f += ，因为1()02f >，所以(0)1f =。
（2）设0x <，则0x ->，由条件可知()0f x ->，又因为1(0)()()()0f f x x f x f x ==-=-> ，所以()0f x >。
所以当(,)∈-∞+∞时，恒有()f x >0。
（3）设12x x <，则[]121211121121()()()()()()()(1)1()f x f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=--+=--=-- 因为12x x <，所以210x x ->，所以210()1f x x <-<即211()0f x x -->。
又因为1()0f x >，所以[]121()1()0f x f x x --> 。
所以12()()0f x f x ->，即该函数()f x 在R 上是减函数。
误区分析;解答抽象函数问题注意用赋值法找到函数的不变性质，而这个不变性质往往使问题解决的突破口，注意推理的严谨性，每一步的推理都要有充分的条件，不可漏条件，更不能臆造条件。
变式练习：若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对于0x >满足()()()x f f x f y y =-。
（1）求(1)f 的值，（2）(6)1f =试求不等式1(3)()2f x f x +-<的解集。
易错点五：基本初等函数性质不清致误 已知函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数()f x 的定义域。
（2）求函数()f x 的值域。
错因分析：（1）求函数定义域时先化简函数的解析式再求定义域。
（2）求值域时易用错对数函数、二次函数的性质，分类讨论不准确致误。
正确解析：（1）由题意得101100x x x p x +⎧>⎪-⎪->⎨⎪->⎪⎩，即111x x x x p ><-⎧⎪>⎨⎪<⎩或，即1x x p >⎧⎨<⎩。
函数定义域为()1,p (2) 22221()log (1)()log (1)()log (1)1x f x x p x x p x x p x p x +⎡⎤⎡⎤=--=--=-+-+⎣⎦⎢⎥-⎣⎦令2(1)t x p x p =-+-+221(1)()()24p p x g x -+=--+= 当1121p p -⎧<⎪⎨⎪>⎩即13p <<， t 在()1,p 上为单调减函数，()(1)g p t g <<即022t p <<- 所以2()1log (1)f x p <+-，函数的值域为2(,1log (1))p -∞+-。
当111221p p p -+⎧≤≤⎪⎨⎪>⎩，即3p ≥，1()()2p g p t g -<≤，即2(1)04p t +<≤ 2()2log (1)2f x p ∴≤+-，函数的值域为2(,2log (1)2)p -∞+-由上分析得:当13p <<时，函数的值域为2(,1log (1))p -∞+-，当3p ≥时，函数的值域为2(,2log (1)2)p -∞+-。
误区分析：函数定义域是只是函数有意义的自变量的取值范围，当函数解析式可以化为另一个解析式时，定义域也会随之发生变化，所以变形时注意等价性。
注意函数定义域不是空集求函数的值域时注意正确使用基本初等函数的性质是关键环节。
易错点六：函数的零点定理使用不当致误函数()f x =221mx x -+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是A (],1-∞B (]{},01-∞C (){},01-∞D (),1-∞错因分析：解本题易出现的错误是分类讨论应用不当，零点定理应用不当。