概率论与数理统计第10讲事件的独立性
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在概率与统计的广袤世界中，“事件的独立性”是一个至关重要的概念。
它不仅在理论研究中具有深刻的意义，而且在实际生活中的诸多领域都有着广泛的应用。
要理解事件的独立性，首先得清楚什么是事件。
简单来说，事件就是在一定条件下可能出现也可能不出现的情况。
比如说掷骰子掷出一个“6”，明天会下雨，这些都是事件。
那么，什么又是事件的独立性呢？我们说两个事件 A 和 B 是相互独立的，如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，同时事件B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率。
举个例子，假设有一个盒子，里面装有 5 个红球和 5 个白球。
从盒子中先后取出两个球，第一次取出红球记为事件 A，第二次取出红球记为事件 B。
如果我们在取出第一个球后，将其放回盒子中再取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就是相互独立的。
因为第一次取出红球后放回，盒子里球的情况没有改变，第二次取出红球的概率依然是5/10。
但如果我们在取出第一个球后，不再放回盒子中就取第二个球，那么事件 A 和事件 B 就不是相互独立的。
因为第一次取出红球后，盒子里球的组成发生了变化，第二次取出红球的概率会受到影响。
独立性的概念在很多实际问题中都有体现。
比如说，一个学生在数学考试中取得好成绩和在语文考试中取得好成绩，在一定程度上可以看作是两个独立事件。
因为学生在数学上的表现不一定能决定其在语文上的表现。
再比如，一个人早上选择吃面包还是吃油条和晚上选择看电影还是看书，这也可以近似地认为是两个独立事件。
因为早上的饮食选择通常不会影响晚上的娱乐活动选择。
那么，如何判断两个事件是否独立呢？这就需要用到数学公式了。
如果事件 A 和事件 B 相互独立，那么它们的概率满足 P(AB) ＝P(A)P(B) 。
其中，P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
我们通过一个具体的例子来看看如何运用这个公式判断事件的独立性。
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性概率与统计是数学领域中重要的分支之一，它研究的是事物发生的可能性以及事物之间的关联程度。
在概率与统计中，事件独立性是一个重要的概念。
本文将介绍事件独立性的定义、性质以及相关的应用。
一、定义事件独立性是指在一系列随机试验中，某一事件的发生与其他事件的发生无关。
具体地说，对于两个事件A和B，如果事件A发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，或者说事件B的发生与否不会对事件A的发生产生任何影响，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。
二、性质1. 互逆性：如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的补事件和事件B也相互独立。
2. 自反性：任意事件与自身都是相互独立的。
3. 偶然性：事件A和事件B相互独立，并不意味着它们是不可能发生的，它们仍然可以同时发生或者同时不发生。
4. 独立性传递性：如果事件A和事件B相互独立，事件B和事件C 相互独立，那么事件A和事件C也相互独立。
三、应用事件独立性在概率与统计中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 抛硬币：在抛硬币的过程中，每一次的抛硬币都是一个独立事件。
无论前一次抛硬币结果是正面还是反面，对于下一次抛硬币的结果都没有影响，每次抛硬币的概率仍然是50%。
2. 掷骰子：与抛硬币类似，每一次掷骰子的结果都是独立事件。
无论前一次掷骰子的点数是多少，对于下一次掷骰子的结果都没有影响。
3. 抽样调查：在进行抽样调查的时候，每一次的抽样都是独立事件。
例如，在进行市场调研时，每一次的问卷发放都是独立的，一个人接收到问卷并填写与其他人接收到问卷并填写之间没有关联性。
4. 生活中的决策：在日常生活中，我们经常需要根据过去的经验和信息做出决策。
如果我们认为某个事件的发生与其他事件是独立的，我们可以根据概率和统计的知识来进行决策。
总结起来，概率与统计中的事件独立性是一个重要的概念。
它可以帮助我们理解和分析随机事件之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的用途。
知识点概率与统计中的事件独立性
知识点概率与统计中的事件独立性知识点：概率与统计中的事件独立性事件独立性是概率与统计中的一个重要概念，指的是两个或多个事件之间的发生与否互不影响、相互独立的性质。
在实际问题中，对事件独立性的判断和运用是非常常见的。
一、事件独立性的定义和性质在概率与统计中，如果两个事件A和B满足以下条件，即当事件A 发生与否并不影响事件B的概率时，称事件A与B是独立事件。
具体而言，事件A与B的独立性可表述为：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
根据事件独立性的定义，可以得出以下性质：1. 事件A与自身是独立的，即P(A∩A) = P(A) × P(A)，即事件A发生与否不影响事件A本身的概率。
2. 如果事件A与事件B独立，那么事件A的补事件与事件B也是独立的，即P(A'∩B) = P(A') × P(B)。
3. 如果事件A与事件B独立，那么事件A与事件B的补事件也独立，即P(A∩B') = P(A) × P(B')。
二、事件独立性的判断在实际问题中，如何判断两个事件是否独立是一个重要的问题。
通常可以通过以下两种方式进行判断。
1. 通过已知概率判断：如果已知事件A和事件B的概率，可以通过计算P(A∩B)和P(A) × P(B)来判断两者是否相等。
如果相等，则事件A与事件B是独立的；如果不相等，则事件A与事件B不是独立的。
2. 通过条件概率判断：根据条件概率的定义，如果已知事件A和事件B的条件概率P(A|B)和P(B|A)，可以通过比较P(A|B)和P(A)以及P(B|A)和P(B)的大小关系来判断事件A与事件B的独立性。
如果条件概率与边际概率相等，则事件A与事件B是独立的；如果条件概率与边际概率不相等，则事件A与事件B不是独立的。
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性事件独立性是概率论和统计学中一个基本概念，用于描述两个或多个事件之间是否相互独立发生的性质。
在概率论和统计学中，研究事件独立性对于理解随机性事件的关系和推断未知信息具有重要意义。
本文将介绍概率与统计中的事件独立性的定义、性质和应用。
一、定义在概率论中，两个事件A和B是相互独立的，当且仅当事件A的发生与B的发生是相互无关的，即事件A的发生不会影响事件B的发生概率，记作P(A∩B) = P(A)P(B)。
其中，P(A)和P(B)分别表示事件A 和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率。
如果P(A∩B) ≠ P(A)P(B)，则事件A和B是不独立的。
二、性质事件独立性具有以下性质：1. 互逆性：若事件A和B独立，则事件B和A也独立。
2. 自反性：事件A与自身独立，即P(A∩A) = P(A)P(A) = P(A)。
3. 不交性：对于任意事件A和B，若A与B互不相容（即A∩B=∅），则A和B不独立。
4. 幂等性：若事件A和事件B独立，那么事件A和事件B的补集(A'和B')也独立。
三、应用事件独立性在概率论和统计学中有广泛的应用，例如：1. 加法法则与乘法定理：事件独立性是加法法则和乘法定理的重要前提。
根据加法法则，对于互不相容的事件A和B，其联合概率可以表示为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
而乘法定理则利用了独立事件的特性，通过P(A∩B) = P(A)P(B)计算联合概率。
2. 条件独立性：条件独立性指的是在给定某一事件的条件下，其他事件之间是否独立。
例如，对于事件A、B和C，若事件A和B独立，且事件C与A的发生与否无关，那么事件C与B也独立。
3. 贝叶斯定理：贝叶斯定理利用了事件独立性的概念，通过P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)计算后验概率。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
4. 统计推断：在统计学中，独立性的概念也广泛应用于构建统计模型和进行推断。
《事件的独立性》 讲义
《事件的独立性》讲义在我们的日常生活和各种学科领域中，经常会遇到与事件的独立性相关的问题。
那么，什么是事件的独立性呢？简单来说，就是指一个事件的发生与否，对另一个事件的发生概率没有影响。
为了更好地理解事件的独立性，让我们先从一些简单的例子入手。
比如说，抛一枚硬币，得到正面和反面的概率各是 1/2。
我们抛第一次得到正面的结果，并不会影响第二次抛硬币得到正面或反面的概率。
也就是说，每次抛硬币都是一个独立的事件。
再比如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌。
第一次抽取到红桃的概率是 1/4，而第一次抽取的结果并不会改变第二次抽取到红桃的概率，仍然是 1/4。
接下来，我们深入探讨一下事件独立性的数学定义。
设有两个事件A 和 B，如果事件 A 发生的概率 P(A)不受事件 B 发生与否的影响，即P(A|B) ＝ P(A)；同时，事件 B 发生的概率 P(B)也不受事件 A 发生与否的影响，即 P(B|A) ＝ P(B)，那么我们就称事件 A 和事件 B 是相互独立的。
这里需要解释一下条件概率的概念。
条件概率 P(A|B)表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
如果事件 A 和 B 相互独立，那么条件概率 P(A|B)就等于事件 A 本身发生的概率 P(A)。
在实际应用中，判断两个事件是否独立是非常重要的。
比如在进行多次实验或者抽样调查时，如果各个事件是相互独立的，那么我们就可以利用一些简单的概率计算方法来得出最终的结果。
我们来看一个具体的例子。
假设一个盒子里有 5 个红球和 5 个蓝球，每次从盒子里随机取出一个球，记录颜色后放回。
那么第一次取出红球的事件 A 和第二次取出红球的事件 B 就是相互独立的事件。
因为每次取球后都将球放回，所以盒子里球的组成不变，每次取到红球的概率都是 5/10 ＝ 1/2。
即 P(A) ＝ P(B) ＝ 1/2。
而且，在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率 P(B|A)仍然是 1/2，等于 P(B)。
概率与统计中的事件独立性与条件概率
概率与统计中的事件独立性与条件概率概率与统计是数学中的一个重要分支，用于研究随机现象和不确定性问题。
在概率与统计的基础概念中，事件的独立性与条件概率是两个核心概念。
本文将对这两个概念进行详细解释，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、事件的独立性在概率与统计中，事件的独立性是指两个或多个事件之间的关联程度。
如果两个事件A和B相互独立，意味着事件A的发生与否不会对事件B的发生概率产生影响，反之亦然。
换句话说，事件A和B的发生概率是相互独立的，它们之间不存在任何关联。
为了判断两个事件A和B是否相互独立，可以通过下列公式进行计算：P(A∩B) = P(A) × P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和B发生的概率。
如果上式成立，则事件A和B相互独立；如果不成立，则事件A和B不相互独立。
事件的独立性在实际问题中具有广泛的应用。
例如，假设有一批产品，每个产品的质量合格的概率为0.9。
如果从该批产品中随机选取两个产品，事件A表示第一个产品质量合格，事件B表示第二个产品质量合格。
根据事件的独立性，我们可以通过计算概率来判断同时选中两个质量合格产品的概率。
二、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率通常用P(B|A)表示，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
条件概率的计算公式为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
通过计算条件概率，我们可以得出在某种条件下发生某个事件的概率。
条件概率在实际问题中非常有用。
例如，假设有一个班级，其中40%的学生会参加音乐比赛，30%的学生参加体育比赛。
如果我们知道某个学生参加了音乐比赛，那么他参加体育比赛的概率是多少？根据条件概率的计算公式，我们可以得出这个概率。
三、事件独立性与条件概率的关系事件的独立性与条件概率密切相关。
概率论与数理统计课件 1.4事件的独立性
1 P(A) P(B) P(A)P(B)
1 P(A)1 P(B) P(A)P(B)
所以，A与B 独立。
概念辨析
事件Ａ与事件Ｂ独立
P(AB) P(A) P(B)
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB P(AB) 0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AB A B
P(A1A2…An)=P(A1) P(A2) …P(An) 则称随机试验 E1, E2,.., En相互独立. 例如
试验E1：掷一枚硬币，观察出现正反面的情况
试验E2：掷一颗骰子，观察出现的点数 显然，试验 E1,E2 的先后次序不影响每次试验的 结果，所以 E1,E2 是相互独立的。
n重伯努利试验
又设Ａ表示加工出来的零件是次品, 则 A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3
P(A) 1 P(A) 1 P(A1 A2 A3 )
1 P(A1)P(A2 )P(A3 )
＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05) ＝ 0.0783
独立试验概型
相互独立的试验 设有随机试验 E1, E2,.., En, 如果对 Ei 的任意结 果（事件）Ai，i=1,2,…,n，都有
解 情形（2）的样本空间为
Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
P(A) 6 , P(B) 1 , P(AB) 3
8
2
8
此种情形下，事件A、B是独立的。
下列四组事件，有相同的独立性：
（1）A与B；（2）A与B； （3）A与B；（4）A与B 证明 若A、B独立，则 P(AB) P(A) P(B) P( AB) P( A B) 1 P( A B)
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性概率与统计中的事件独立性是一个重要的概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将介绍什么是事件独立性，以及它在概率和统计中的重要性。
首先，让我们明确事件独立性的定义。
在概率论中，如果两个事件A和B的发生与对方无关，即事件A的发生不会对事件B的发生产生任何影响，那么我们称这两个事件是独立事件。
简单来说，独立事件发生的概率与其他事件无关。
那么，为什么事件独立性在概率和统计中如此重要？首先，独立事件的概率计算相对简单。
两个独立事件的概率可以通过将它们的概率相乘获得。
例如，如果投掷一颗均匀的6面骰子两次，每一次的结果都是独立的，那么得到两次都是1的概率就是投掷一次得到1的概率乘以投掷第二次得到1的概率，即1/6 * 1/6 = 1/36。
其次，独立事件有助于简化概率模型。
在复杂的概率模型中，存在很多事件之间的依赖关系，这会增加计算的复杂性。
但是，如果我们能够将这些依赖性化简为独立事件，那么计算问题就会变得简单。
这种化简的方法在统计学中有广泛的应用，例如在贝叶斯网络中，将依赖关系简化为独立事件，可以更轻松地进行概率推断。
另外，独立性还可以帮助我们进行统计推断。
在统计学中，我们经常需要根据样本来推断总体的参数。
如果样本中的观测是独立的，我们可以利用中心极限定理和大数定律等统计学原理来进行推断。
例如，在进行调查时，如果我们能够确保每个样本的观测是独立的，那么我们就可以使用抽样方法来估计总体的参数，并对结果进行统计推断。
此外，事件独立性还有一些注意事项。
首先，独立性是一种理想情况，现实中并不总是成立。
在现实生活中，事件之间往往存在各种复杂的依赖关系。
因此，在应用概率和统计模型时，我们需要谨慎地评估事件之间的独立性。
其次，独立事件并不意味着它们的结果是相互独立的。
例如，在一次抛硬币实验中，连续两次结果是独立的，但是两次结果的差异可能并不独立。
综上所述，事件独立性在概率和统计中具有重要的作用。
概率与统计中的事件独立性与互斥性
概率与统计中的事件独立性与互斥性概率与统计是数学中的一个重要分支，研究从大量实验或观察中将某一事件的结果进行分析、总结和推断的方法。
而在概率与统计的理论中，事件的独立性与互斥性是两个基本概念，对于解决实际问题具有重要意义。
一、事件的独立性事件的独立性是指事件B的发生与事件A的发生无关，即事件A 的发生与否不影响事件B的发生概率。
事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
在概率论中，事件的独立性可以用以下方式表示：P(A∩B) = P(A) × P(B)举个例子来说明事件的独立性。
假设某商店销售两种商品A和B，我们希望了解一个顾客购买商品A和商品B的概率。
如果商品A和商品B的销售是独立的，也就是说购买商品A的顾客与购买商品B的顾客之间没有相关性，那么他们同时购买商品A和商品B的概率可以表示为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
这种情况下，我们可以通过已知的商品A 和商品B的销售概率来计算他们同时被购买的概率。
二、事件的互斥性事件的互斥性是指在一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，即事件A的发生与否决定了事件B的发生与否。
换句话说，事件A和事件B是互相排斥的。
在概率论中，事件的互斥性可以用以下方式表示：P(A∩B) = 0继续以商店销售的例子来说明事件的互斥性。
假设某商店销售两种商品A和商品B，我们希望了解一个顾客购买商品A或商品B的概率。
如果商品A和商品B是互斥的，也就是说购买商品A的顾客不会购买商品B，那么他们购买商品A或商品B的概率可以表示为P(A∪B) =P(A) + P(B)。
这种情况下，我们可以通过已知的商品A和商品B的销售概率来计算顾客购买商品A或商品B的概率。
三、事件独立性与互斥性的关系事件的独立性和互斥性是两个不同的概念，但在某些情况下它们是可以同时存在的。
当事件A和事件B是互斥的时候，它们的发生概率P(A∩B) = 0，也就是说事件A与事件B是不相关的。
高数数学必修一《10.2事件的独立性》教学课件
题型 3 相互独立事件概率的综合应用
例3 某校组织了防溺水知识测试．测试共分为两轮，每位参与测试
的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则
视本次测试成绩为合格．甲、乙两名同学均参加了本次测试，已知在
第一轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为3 ， 3；在第二轮测
54
试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为
2 3
，
25.甲、乙两人在每轮测
试中的成绩是否合格互不影响．
(1)甲、乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？
(2)求甲、乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率．
一题多变 本例条件不变，求甲、乙两人中至多有一人的成绩在本 次测试中合格的概率．
解析：设C＝“甲在本次测试中成绩合格”，D＝“乙在本次测试中成绩合格”， 则P(CD)＝P(C)P(D)＝25 × 130＝235. E＝“甲、乙两人中至多有一人的成绩在本次测试中合格” 所以P(E)＝1－P(CD)＝1－235＝2225.
2．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现的点数大于2”，B
＝“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为( )
A．互斥
B．互为对立
C．相互独立
D．相等
答案：C
解析：对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生，所以A、 B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等．故选C.
共学案
【学习目标】 (1)理解两个事件相互独立的概念．(2)能进行一些与 相互独立事件有关的概率的计算．(3)理解相互独立事件与互斥事件的 区别．
【问题探究】 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一 枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”．
概率与统计中的事件的独立性与互斥性
概率与统计中的事件的独立性与互斥性在概率与统计领域中，事件的独立性与互斥性是两个重要的概念。
独立性指的是两个或多个事件之间的发生没有相互影响；而互斥性则表示两个或多个事件之间的发生是互相排斥的，即不能同时发生。
本文将详细介绍事件的独立性与互斥性的概念、特点以及在概率计算中的应用。
1. 独立性的概念事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生与不发生之间没有相互影响。
具体来说，对于两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会对事件B的发生概率产生影响，并且事件B的发生与否也不会对事件A的发生概率产生影响，那么我们说事件A和事件B是独立的。
2. 独立性的特点事件的独立性具有以下几个特点：1) 两个事件同时发生的概率等于它们分别发生的概率的乘积。
即P(A∩B) = P(A) * P(B)。
2) 两个事件同时不发生的概率等于它们分别不发生的概率的乘积。
即P(A'∩B') = P(A') * P(B')。
3) 事件的独立性与事件的互补性无关。
即事件A的独立性与事件A 的补事件（A'）的独立性无关。
3. 独立性的应用独立性在概率计算中有着广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用场景：1) 独立试验：当进行多次独立试验时，我们可以利用独立性的性质来计算事件的概率。
例如，抛掷一枚硬币，每次独立抛掷的结果都是相互独立的，这样我们可以计算出出现正面的概率为1/2。
2) 条件概率的计算：在已知某些事件已经发生的条件下，我们可以利用独立性来计算其他事件发生的概率。
例如，已知某个人患有某种疾病的概率为0.1，而在此疾病患者中，接受某种血液检测的概率为0.8，那么在已知某人接受该血液检测的情况下，他患病的概率为多少？3) 独立事件组合的概率计算：当多个事件之间相互独立时，我们可以利用独立性来计算多个事件同时发生或者同时不发生的概率。
例如，抛掷两枚硬币，求两个硬币都是正面的概率。
4. 互斥性的概念事件的互斥性是指两个或多个事件之间的发生是互相排斥的，即不能同时发生。
2019天津大学《概率论与数理统计》独立.ppt
设A---L至R为通路,Ai---第i个继电器通,i=1,2,…5
考虑：现从一副52张的扑克牌中任意抽取一张，设 A 抽出一张K ，B 抽出一张黑桃 问事件A与B是否独立？
定理1 : 下列四个命题等价
1 事件A、B相互独立； 2 事件 A、B相互独立； B 3 事件A、相互独立； B . 4 事件 A、相互独立
两事件相互独立的性质
100
100
i 1
若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝 炎病毒，则
P( Bn ) 1 (1 ) ,
n
0 1
n 1,2,
lim P ( Bn ) 1
n
—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生
• 例8：设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落 下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打 破, 第二次落下时打破的概率为7/10, 若前 两次时未打破, 第三次落下时打破的概率为 9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率. • 解:以Ai 表示事件“透镜第 i次落下时打 破”,i=1,2,3.以 B表示事件“透镜三次落下 而未打破”.
(1)
P( ABC ) P( A) P( B) P(C ) (2)
注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出
2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立
A, B, C 相互独立
A, B, C 两两独立
例3 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子 事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数 B 表示2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数
例7 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率 解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100 则 A Ai
概率与统计中的事件独立性与条件概率
概率与统计中的事件独立性与条件概率概率与统计是数学中的重要分支，研究了随机事件的发生规律和现象的统计规律。
其中，事件独立性和条件概率是概率与统计中的两个重要概念。
本文将详细介绍这两个概念及其在实际问题中的应用。
一、事件独立性在概率论中，事件的独立性指的是两个或多个事件之间的发生与否互不影响。
具体来说，如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，反之亦然。
数学上，事件A和事件B的独立性可以表示为P(A∩B) =P(A) · P(B)，其中P(A)表示事件A的概率，P(B)表示事件B的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
独立性的概念在实际问题中有广泛的应用。
例如，在投掷硬币的问题中，每次投掷的结果都是独立的，前一次投掷得到正面的概率与后一次投掷得到正面的概率是相等的。
二、条件概率在实际问题中，有些事件的发生概率可能受到其他条件的限制或影响。
此时，我们需要引入条件概率的概念。
条件概率指的是在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
用数学符号表示为P(A|B)，读作“A在B发生的条件下发生的概率”。
条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
条件概率在实际问题中有很多应用。
例如，在一次抽奖活动中，已知有100个人参与，其中10个人中奖。
如果我们想要计算某一个人中奖的概率，就需要考虑其他条件，如该人是否购买了彩票等。
三、事件独立性与条件概率的关系在概率与统计中，事件独立性和条件概率之间存在一定的关系。
如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的条件概率与事件B无关，即P(A|B) = P(A)；同样地，事件B的条件概率与事件A无关，即P(B|A) = P(B)。
反之，如果事件A和事件B满足P(A|B) = P(A)或P(B|A) = P(B)，那么事件A和事件B是相互独立的。
有了事件独立性和条件概率的概念，我们可以解决很多实际问题。
《概率论与数理统计》-课件 独立性
3.三事件两两相互独立的概念
定义 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
P( AB) P( A)P(B),
P(
BC
)
P(
B)P(C
),
P( AC ) P( A)P(C ),
则称事件 A, B, C 两两相互独立.
4.三事件相互独立的概念
定义 设 A, B,C 是三个事件,如果满足等式
3 p3(1 2
p) 4 p3(1 2
p)2 .
由于 p2 p1 p2(6 p3 15 p2 12 p 3)
3 p2( p 1)2(2 p 1).
当
p
1 时, 2
p2
p1;
当
p
1 时, 2
p2
p1
1. 2
故当 p 1 时, 对甲来说采用五局三胜制有利 . 2
当 p 1 时, 两种赛制甲最终获胜的概率是 2
例7 甲、乙两人进行乒乓球比赛, 每局甲胜的 概率为 p( p 1 2),问对甲而言, 采用三局二胜制 有利, 还是采用五局三胜制有利. 设各局胜负相 互独立. 解 采用三局二胜制,甲最终获胜,
胜局情况可能是:
“甲甲”, “乙甲甲”, “甲乙甲”;
由于这三种情况互不相 容, 于是，由独立性得甲最终获胜的概率为:
又因为 A、B 相互独立, 所以有 P( AB) P( A)P(B),
因而 P( AB) P( A) P( A)P(B) P( A)(1 P(B))
P( A)P(B). 从而 A 与 B 相互独立.
两个结论
1 . 若事件 A1 , A2 , , An (n 2) 相互独立 , 则 其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立.
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性概率与统计是数学中的重要分支，研究了事物发生的规律和可能性。
在概率与统计中，事件独立性是一个重要的概念。
本文将详细讨论概率与统计中的事件独立性，包括事件的定义、独立事件的特征以及独立性在实际问题中的应用。
事件是指一个事物或现象发生的结果或状况。
在概率与统计中，事件可以用字母表示，比如事件A、B等。
在讨论事件独立性之前，我们首先要了解事件的概念。
事件可以是简单事件，也可以是复合事件。
简单事件是指一个随机试验中只有一个结果的事件，如“抛一次硬币，出现正面”的事件。
复合事件是指一个随机试验中包含多个结果的事件，如“抛两次硬币，出现两个正面”的事件。
那么，什么是事件的独立性呢？事件的独立性是指两个或多个事件之间相互不影响，一个事件的发生不会对另一个事件的发生产生影响。
具体来说，设A、B是两个事件，如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，即P(B|A) =P(B)，那么称事件A和事件B是相互独立的。
独立事件有以下几个特征：1. 互不影响：独立事件之间相互独立，一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
2. 相互独立：如果事件A和事件B是独立事件，那么事件A的发生与否与事件C的发生也没有影响，即P(C|A) = P(C)，且事件B的发生与否与事件C的发生也没有影响，即P(C|B) = P(C)。
3. 独立性传递：如果事件A和事件B是独立事件，且事件B和事件C是独立事件，那么事件A和事件C也是独立事件。
独立性在概率与统计中有广泛的应用。
例如，在抛掷硬币的问题中，每次抛掷硬币的结果是相互独立的，每一次抛掷的概率都是相同的。
这是因为每次抛掷硬币的结果不受前一次的结果影响，每次抛掷都是一个独立事件。
另一个应用是在生活中的统计调查。
例如，某市进行一次关于人口年龄分布的调查，通过随机抽样得出了一些数据。
如果每次抽样的结果都是相互独立的，那么通过对样本的统计分析，可以推断出总体的一些性质。
概率论与数理统计：事件的独立性与相关性
0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7
0.36.
因为 A2 ABC ABC ABC , 得 P ( A2 ) P ( ABC ABC ABC )
P( A) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C ) P( A) P( B) P(C )
所以事件 A 与 B 不独立，即该校学生视力与听力
缺陷有关联.
（2）如果已知一学生视力有缺陷，那么他听力也有缺 陷的概率是多少？
) 这要求计算条件概率 P ( B A,由定义知
P ( AB) 0.03 1 P ( B A) P ( A) 0.30 10
（3）如果已知一学生听力有缺陷，那么他视力也有缺 陷的概率是多少？ 类似地可算条件概率
则 P ( A) 0.4, P ( B) 0.5, P (C ) 0.7,
由于 A1 ABC ABC ABC ,
故得 P ( A1 ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( A) P ( B ) P (C ) P ( A) P ( B ) P (C )
故有
1 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 4 , 1 P ( BC ) P ( B ) P (C ) , 4 P ( AC ) P ( A) P (C ) 1 , 4
则三事件 A, B, C 两两独立.
由于
1 1 P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 4 8
不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生
——
例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率. 解 设 Ai 表示有 i 个人击中飞机, A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,
概率与统计中的事件独立性与互斥性的证明
概率与统计中的事件独立性与互斥性的证明概率与统计是数学中重要的分支领域，其中涉及了事件的独立性与互斥性的概念与性质。
本文将简要讨论概率与统计中的事件独立性与互斥性，并给出相应的证明。
1. 事件的独立性概率与统计中，事件的独立性是指两个或多个事件之间的出现是否互相影响。
具体来说，若事件A的发生与否并不影响事件B的发生概率，反之亦然，则称事件A与事件B是相互独立的。
事件的独立性在实际生活中有着广泛的应用，例如掷骰子、抛硬币等场景。
下面我们来证明事件的独立性。
证明：令事件A和B为两个相互独立的事件。
根据事件的定义，我们可以得出以下两个概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)P(B|A) = P(A∩B) / P(A)如果事件A与事件B相互独立，那么P(A|B) = P(A)。
即事件B已经发生的前提下，事件A的概率与事件B发生前的概率是相等的。
同理，P(B|A) = P(B)。
这说明事件的独立性是互相的，即事件A与事件B 相互独立。
2. 事件的互斥性与独立性相对的是事件的互斥性，也称为互不相容性。
当两个事件A和B不能同时发生时，称其为互斥事件。
在概率与统计中，事件互斥性的性质常常用于描述事件之间相互排斥的关系。
下面我们给出事件互斥性的证明。
证明：令事件A和B为互斥事件。
根据事件的定义，我们可以得出以下概率公式：P(A) + P(B) = P(A∪B)如果事件A和B是互斥事件，那么A与B不能同时发生，因此其并集的概率P(A∪B)为每个事件发生的概率之和。
换言之，P(A) + P(B) = P(A∪B)。
这证明了事件A和B的互斥性。
综上所述，我们证明了概率与统计中的事件独立性与互斥性。
事件的独立性与互斥性是概率论和统计学中的重要概念，对于分析和解决实际问题具有重要意义。
在实际应用中，我们可以通过判断事件之间的独立性和互斥性来进行合理的概率计算和统计推断，从而更好地了解和解释事件的发生概率与关联性。
概率论与数理统计(事件的独立性)
即A与 B 相互独立． 与 相互独立． 相互独立， 由此可推出 A 与 B 相互独立， 再由 B = B又推出B与 A 相互独立． 又推出 与 一般地，有下面定义： 一般地，有下面定义： 定义1.7 设 A， B是两个事件 ， 如果 是两个事件， 定义 ， 是两个事件 如果P(AB)= P(A)P(B)，则称 与B相互独立． 相互独立． ，则称A与 相互独立 显然， 显然 ， 当 P(A)>0时 ， A与 B相互独立当且仅当 时 与 相互独立当且仅当 P(B|A) = P(B)． P(B)． 显然， 显然 ， 当 P(B)>0时 ， A与 B相互独立当且仅当 时 与 相互独立当且仅当 P(A|B) = P(A)． ．
地取两次 .记 A = 第一次抽取 , 取到绿球” 取到绿球” , “
则有 P ( B A) = P ( B ), 它表示 A 的发生并不影响 B 发生的可能性大小 .
由P ( B A ) = P ( B )
B = 第二次抽取 , 取到绿球” 取到绿球” , “
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
1.6.1 事件的独立性
定义推广：如果事件 定义推广：如果事件A1,A2,…,An（n ≥ 2）中任 ） 意k（2 ≤k ≤ n）个事件积事件的概率都等于各个 （ ） 事件的概率之积，则称 相互独立； 事件的概率之积，则称A1,A2,…,An相互独立； 如果A 中任意两个 事件相互独立， 两个事件相互独立 如果 1,A2,…,An 中任意 两个 事件相互独立 ， 则称A1,A2,…,An两两独立． 两两独立． 则称 n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立 个事件两两相互独立
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P(Ai1 Ai2 Aik ) P(Ai1 )P(Ai2 ) P(Aik ) (1)
称A1,A2, …,An相互独立.
(1)式代表的等式个数为
n
(a b)n Cni a bi ni
i0
Cn2 Cn3 Cnn (11)n Cn1 Cn0 2n n 1.
A1
A3
0.9
0.80
A4
0.80
A5
0.85
A6
0.85
A7
0.95
解：由独立性
P( A5 A6)=1-P( A5 A6 )=1-P( A5 )P( A6) 0.9775,
P( A) P( A1)P( A2 A3 A4 )P( A5 A6 )P( A7 ) 0.9 0.992 0.9775 0.95 0.829.
A3
0.9
0.80
A4
0.80
解 由独立性
A5
0.85
A6
0.85
A7
0.95
P( A) P( A1)P( A2 A3 A4 )P( A5 A6 )P( A7 ) P( A2 A3 A4)=1-P( A2 A3 A4 ) =1-P( A2 )P( A3)P( A4 )P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2 An ).
P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 A2 A3 )
1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1)P( A2 )P( A3 ) 1[1 P(A1)][1 P(A2 )][1 P(A3)] 1 4 2 3 3 0.6.
第10讲 事件的独立性
两事件的独立性
例1 盒中有4红3黄共7个球，
有放回地取两次每次取一个， 记 A=“第一次取到红球”，
B=“第二次取到红球”, P(B)=4/7, P(B|A)= 4/7 这里 P(B)=P(B|A) 表明A的发生并不影响B发生可能性的大小，
这时称事件A、B独立. P(AB)=P(B)P(A|B)
例2 设P(A)>0，P(B)>0.证明：A, B相互独立 与A, B互不相容不能同时成立. S 证明 若A, B互不相容，则 AB , A B
P( AB) 0 P( A)P(B) 0, 所以A, B不相互独立. 若A, B相互独立，则
P( AB) P( A)P(B) 0, AB , 即， A, B不是互不相容.
P( Ai1) P( Aim )－P( A1)P( Ai1) P( Aim ) [1－P( A1)]P( Ai1) P( Aim )
P( A1)P( Ai1) P( Aim ).
例3 三人独立地去破译一份密码，他们能译 出的概率分别为1/5，1/3，1/4，求他们将 此密码译出的概率. 解 设Ai=“第i个人译出密码” (i=1,2,3) A=“将密码译出”所求概率为 P(A). 已知 P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4.
A A1 A2
An ,i 1, 2, n.
P(A) 1 P( A) 1 P( A1 A2
An )
1 P( A1 A2 An ) 1 (0.4)n 0.99
(0.4)n 0.01,
n lg 0.01 5.026. 至少6门炮.
lg 0.4
例5 下面是由独立元件A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 ,A7构成的系统.它们下方的数是它们各 自正常工作的概率.求系统正常工作的概率.
A2
0.80
A1
A3
0.9
0.80
A4
0.80
A5
0.85
A7
A6
0.95
0.85
A2
0.80
A1
A3
0.9
0.80
A4
0.80
A5
0.85
A6
0.85
A7
0.95
解 设A=“系统正常工作”，Ai=“第i个元 件正常工作”，则
A A1 （A2 A3 A4）（A5 A6） A7
A2
0.80
A1
n个事件独立
n 个事件 相互独立
n个事件 两两独立
实际应用中，常常不用定义去验证独 立，而是通过实际意义判断.
n个事件独立
定理 若事件A1, A2 , An相互独立，则事件Aˆ1, Aˆ2 , Aˆn也相互独立，其中Aˆi =Ai或Aˆi =Ai.
证明 只需证A1, A2 , An相互独立，反复用此结论， 即可得证. 对任意的1 i1 i2 im n有 P( A1Ai1 Aim )=P( Ai1 Aim )－P( A1Ai1 Aim )
由P(B)=P(B|A) P(AB)=P(A)P(B).
两事件的独立性
定义 设A，B是两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则称A与B相互独立．
这样定义比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 定义更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
两事件的独立性
• 当P(A)>0，当P(B)>0时， P(AB)= P(A)P(B) P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B)
定理 A与B相互独立 A与B相互独立 A与B相互独立 A与B相互独立.
证明 P( AB) P( A B)=P( A) P( AB) P( A) P( A)P(B) P( A)P(B) 从而A与B独立，其它同理可证.
谢 谢！
三个事件的独立性
定义 设三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B) P(AC)= P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C)
A, B,C 两两独立 A, B,C
相互独立
P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
相互独立
两两独立
n个事件独立
定义 设A1,A2, …,An是n个事件，如果对任 意k(1<k ≤ n),任意1≤ i1<i2< …<ik≤ n,具有等式
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例4 某种型号的高射炮发一发击中目标的概 率是0.6，现若干门高射炮同时发射，(每门 发一发)，问欲以99%以上把握击中飞机，至 少要配置几门高射炮？ 解 设至少要配n门炮，才能使飞机被击中的 概率≥0.99，
令A=“飞机被击中”,Ai=“第i门炮击中飞机”,
(i=1,2, „,n) 则 P( Ai ) 0.6,(i 1, , n)