线性规划模型的建立与求解.
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4x1 5x2 8
4 x x 1.6 或 0.8 0.8 两个化工厂各自处理多少污水， 2 104 x1 104 1.4 104 x2 10 1 2 2 才能使两厂总的处理费用最少？ 5 106 2 106 1000
最终模型：
图解法
max z 2x1 2x2
x1 x 2 3 - x1 x 2 1 x ，x 0 1 2
③有可行解，但没有使目标值为有限的最优解； 无有限最优解，也称为无界解，如下图：
max z x1 x 2 - 2 x1 x 2 4 x1 x 2 2 x ，x 0 1 2
④无可行解，约束集合是空集，即无 可行解。
max z x1 2 x2
x1 x 2 1 x1 2 x 2 2 x ，x 0 1 2
结论： 图解法只能用于只有两个变量的情况， 线性规划的约束集合是凸多面体， 线性规划若有最优解，则最优解一定在凸 多面体的角点（顶点）上达到。
目标函数在坐标平面上可表示为以 Z 为参数的一族平行线：
5 z x 2 x1 4 4
图解法解的情况： ①有惟一最优解，目标函数等值线“相切”于 约束集合的一个角点，则该角点是线性规划问 题的唯一最优解。如例1. ②有多个最优解，目标函数等值线“相切”于 一条约束边界，则此边上所有点都是最优解。
不等式约束
模型建立的基本步骤：
1、确定决策变量 －即所要解得未知量
2、确定目标函数 －即要达到的目标的数学表达式 3、确定约束条件 －即决策变量允许的取值范围
例1 靠近某河流有两个工厂，如下图，流经第一个化 工厂的河水流速是5×106m3/d；在两个化工厂之间有 一条流量为2×106m3/d的支流。第一个化工厂每天排 放工业污水20×103m3/d；第二个化工厂每天排放工业 污水14×103m3/d，从第一个化工厂排出的污水流到第 二个化工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求， 河流中工业污水的含量≤0.2%，若这两个化工厂都各 自处理一部分污水，第一个化工厂处理污水的成本是 0.1元/m3，第二个化工厂污水处理的成本是0.08元/m3 。 现在要问，在满足环保要求的条件下，两个化工厂各 自处理多少污水，才能使两厂总的处理费用最少？
2 10 x1 10 2 6 5首先，确定决策变量 10 1000 :
4 4
0.1元/m3
设工厂一： x1 1 设工厂二： 其次，确定目标函数：
污水含量≤0.2%
可自然净化20% 最后，确定约束条件:
0.08元/m3 污水含量≤0.2%
x1、x 2 0 x1 2；x2 1.4 2、x1 1
线性规划模型的建wenku.baidu.com与求 解
主讲人：张永举
2010年10月30日
回顾：模型一般数学表达形式：
opt
s.t.
z f ( x) ；min（求极小）或max（求极大） 等式约束 hi ( x) 0 (i 1,2,, me )
g i ( x) 0 ( j me 1, me 2,, me m)
对于只有两个变量的线性规划问题，可以直接 用图解法求解。 图解法可分为两步进行： 第一步，根据约束条件画出与约束条件相应方 程的直线，由这些直线共同确定的区域即为可 行解的区域（满足约束条件的决策变量集合）； 第二步，画出目标函数的等值线，然后平行移 动至与可行区域边界“相切”之点，此点即为 最优点，相应坐标即为最优解。
4 x x 1.6 或 0.8 0.8 两个化工厂各自处理多少污水， 2 104 x1 104 1.4 104 x2 10 1 2 2 才能使两厂总的处理费用最少？ 5 106 2 106 1000
最终模型：
图解法
max z 2x1 2x2
x1 x 2 3 - x1 x 2 1 x ，x 0 1 2
③有可行解，但没有使目标值为有限的最优解； 无有限最优解，也称为无界解，如下图：
max z x1 x 2 - 2 x1 x 2 4 x1 x 2 2 x ，x 0 1 2
④无可行解，约束集合是空集，即无 可行解。
max z x1 2 x2
x1 x 2 1 x1 2 x 2 2 x ，x 0 1 2
结论： 图解法只能用于只有两个变量的情况， 线性规划的约束集合是凸多面体， 线性规划若有最优解，则最优解一定在凸 多面体的角点（顶点）上达到。
目标函数在坐标平面上可表示为以 Z 为参数的一族平行线：
5 z x 2 x1 4 4
图解法解的情况： ①有惟一最优解，目标函数等值线“相切”于 约束集合的一个角点，则该角点是线性规划问 题的唯一最优解。如例1. ②有多个最优解，目标函数等值线“相切”于 一条约束边界，则此边上所有点都是最优解。
不等式约束
模型建立的基本步骤：
1、确定决策变量 －即所要解得未知量
2、确定目标函数 －即要达到的目标的数学表达式 3、确定约束条件 －即决策变量允许的取值范围
例1 靠近某河流有两个工厂，如下图，流经第一个化 工厂的河水流速是5×106m3/d；在两个化工厂之间有 一条流量为2×106m3/d的支流。第一个化工厂每天排 放工业污水20×103m3/d；第二个化工厂每天排放工业 污水14×103m3/d，从第一个化工厂排出的污水流到第 二个化工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求， 河流中工业污水的含量≤0.2%，若这两个化工厂都各 自处理一部分污水，第一个化工厂处理污水的成本是 0.1元/m3，第二个化工厂污水处理的成本是0.08元/m3 。 现在要问，在满足环保要求的条件下，两个化工厂各 自处理多少污水，才能使两厂总的处理费用最少？
2 10 x1 10 2 6 5首先，确定决策变量 10 1000 :
4 4
0.1元/m3
设工厂一： x1 1 设工厂二： 其次，确定目标函数：
污水含量≤0.2%
可自然净化20% 最后，确定约束条件:
0.08元/m3 污水含量≤0.2%
x1、x 2 0 x1 2；x2 1.4 2、x1 1
线性规划模型的建wenku.baidu.com与求 解
主讲人：张永举
2010年10月30日
回顾：模型一般数学表达形式：
opt
s.t.
z f ( x) ；min（求极小）或max（求极大） 等式约束 hi ( x) 0 (i 1,2,, me )
g i ( x) 0 ( j me 1, me 2,, me m)
对于只有两个变量的线性规划问题，可以直接 用图解法求解。 图解法可分为两步进行： 第一步，根据约束条件画出与约束条件相应方 程的直线，由这些直线共同确定的区域即为可 行解的区域（满足约束条件的决策变量集合）； 第二步，画出目标函数的等值线，然后平行移 动至与可行区域边界“相切”之点，此点即为 最优点，相应坐标即为最优解。