7.6 等价关系与划分
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定理的含义： （1）：任何等价类都是集合A的非空子集 A （2）和（3）：在A中任何两个元素，它们的等价类相等或 A 不相交，不能部分相交。 （4）：所有等价类的并集就是A A （3）和（4）：等价关系将A划分成若干个互不相交的子集 A
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例 集 合 A={1,2,…,8} 上 的 等 价 关 系 R={<x, y>|x, y∈A∧x≡y（mod 3）} ∈ ∧ （ ） 等价类是{1, 4, 7}、{2, 5, 8}、{3, 6} 、 、
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划分的图形表示 一般用“圆”来表示一个划分，将圆划分成若干份 来表示划分块。 例如: π1={ { a，b，c }，{ d } } ， ， ， π2={ { a，b }，{ c }，{ d } } ， ， ，
ab c
d
ab c
d
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A={1， 3}上所有的等价关系 例7.18 给出A={1，2，3} A={1 解： 利用图形对A进行划分。 A 这些划分与A上的等价关系之间是一一对应的： A π1：R1对应于全域关系EA E ={<2 >,<3 π2：R2={<2,3>,<3,2>}∪IA ={<1 >,<3 π3；R3={<1,3>,<3,1>}∪IA ={<1 >,<2 π4：R4={<1,2>,<2,1>}∪IA π5：R5对应于恒等关系IA I
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思考题 求出四元集上可定义多少个不同的等价关系?
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
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集合A={1,2,…,8}上的等价关系 R={<x, y>|x, y∈A∧x≡y（mod 3）} ∈ ∧ （ ）
等价类是： ]=[4]=[7]={1 [1]=[4]=[7]={1，4，7} ]=[5]=[8]={2 [2]=[5]=[8]={2，5，8} ]=[6]={3 [3]=[6]={3，6}
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定义7 16（等价类） 定义7.16（等价类） 设 R 为 非 空 集 合 上 的 等 价 关 系 ， ∀ x ∈A ， 令 ={y|y∈A∧xRy}，称[x]R为x关于R的等价类，简 [x]R={y|y∈A∧xRy} [ x R [x] 称为x的等价类，简记为[x]。 x 说明： x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合。 x
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例：已知A=P(X), C⊆X, ∀x, y∈A, <x,y>∈R ⇔ x⊕y⊆C。 ⊆ ∈ ∈ ⊕ ⊆ 证明R为A上的等价关系. 证明： （1）∀x∈A，由于x⊕x=∅⊆C ⇔ <x,x>∈R, 所以R是自反的。 （2）∀x,y∈A，<x,y>∈R⇔x⊕y⊆C⇔y⊕x⊆C⇔<y,x>∈R, ⇔ ⊆ ⇔ ⊆ ⇔ 所以R是对称的。 （3）∀x,y,z∈A，若<x, y>∈R，<y, z>∈R， 则有x⊕y⊆C， y⊕z⊆C。 x⊕z=(x⊕y)⊕(y⊕z)⊆C ⇔<x,z>∈R. 所以R是传递的。 综上所证，R是A上的等价关系。
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将模3的等价关系加以推广，可以得到整数集合 Z上的模n等价关系。 对于任意的整数x和y，定义模n相等关系∼： x y n ∼ x≡y（ x∼y⇔x≡y（mod n） 易证∼是整数集合Z上的等价关系。 ∼ Z
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将Z中所有的整数根据它们除以n的余数分类如下： Z n 余数为0的数，其形式为nz，z∈Z nz， nz 余数为1的数，其形式为nz+1，z∈Z nz+1 nz+ … 余数为n-1的数，其形式为nz+n-1，z∈Z nz+nnz+n 以上构成了n个等价类： n i]=[n+i]=[2n+i]=…={nz+i|z Z}，i=0 ={nz+i|z∈ [i]=[n+i]=[2n+i]= ={nz+i|z∈Z}，i=0,1,…n-1 n
7.6 等价关系与划分
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等价关系是一类重要的关系。 定义7.15 等价关系) R 7.15( 定义7.15(等价关系) 设R非空集合上的关系， 如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的 R R A 等价关系。 设R是一个等价关系，若<x，y>∈R，称x等价于 y>∈ R < x y，记作x∼y。 A={1,2,3}， 例 设A={1,2,3}，R1，R2，R3 A上的关系 A={1,2,3} R1，R2，R3是A ={<1 >,<2 >,<3 R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} ={<1 >,<2 >,<3 >,<1 R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>，<2,3>} ={<1 >,<2 >,<3 >,<1 >,<3 R3={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,3>,<3,1>}
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例 设A为某班学生的集合，讨论下列关系是否为等 价关系。 R1={<x, y>|x, y∈A ∧ x与y同年生} R2={<x, y>|x, y∈A ∧ x与y同姓} R3={<x, y>|x, y∈A ∧ x的年龄比y小} 解：R1是等价关系； R2是等价关系； R3不是等价关系；
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通过闭包运算将任意的关系R构造成为一个等价关系 如tsr(R)必为一个等价关系 例 A={1,2,3}，A上的关系R={<1,1>,<2,2>,<1,2>} A={1,2,3}， R={<1,1>,<2,2>,<1,2>} tsr(R)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1> <1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>} <1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>
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集合A的等价关系与集合A 集合A的等价关系与集合A的划分一一对应 （1）每个A上的等价关系所产生的商集是一个划分 （2）每个A的划分π决定一个A上等价关系R A π R 通过A的一个划分来确定等价关系R 的方法是： R 对任意的x,y∈A，<x,y>∈R 当且仅当x和y在π的同一 x,y∈ <x,y>∈ x y π x,y <x,y> 划分块中。 例 A={a,b,c,d} A={a,b,c,d}的一个划分为π={{a,b},{c},{d}} π={{a,b},{c},{d}} 则π对应的等价关系为： π R={<a,b>, <b,a>}∪IA
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定义7.17（商集 ） 设R为非空集合A上的等价关系， （ 商集） 定义 以R的所有等价类为元素的集合叫做A在R下的商集， 记作A/R，即A/R={[x]R|x∈A } ∈ 例 集 合 A={1,2,…,8} 上 的 等 价 关 系 R={<x, y>|x, y∈A∧x≡y（mod 3）}等价类是{1, 4, 7}、{2, 5, 8}、{3, ∈ ∧ （ ） 、 、 6}。 。 所以A在R下的商集为{{1, 4, 7}, {2, 5, 8}, {3, 6}}。 A R {{1, 6}}。 A在R下的商集也可写成{[1], [2], [3]}。 。 整数集Z在模n等价关系下的商集是 {{nz+i|z∈Z} | i=0,1,…n-1} ∈ 或{[0], [1], ..., [n-1]}
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例 设A={a,b,c,d}，给定π1,π2,π3,π4,π5,π6 如下，判 别它们是否为A的划分。 π1={ { a，b，c }，{ d } } ， ， ， π2={ { a，b }，{ c }，{ d } } ， ， ， π3={ { a }，{ a，b，c，d } } ， ， ， ， π4={ { a，b }，{ c } } ， ， π5={ ∅，{ a，b }，{ c，d } } ， ， ， π6={ { a，{ a }}，{ b，c，d } } ， ， ， ， 其中π1,π2是A的划分，π3,π4,π5,π6不是A的划分 π A ， A
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对R求三种闭包共有6种顺序，问每种顺序的运算结 果是否一定为等价关系？ 不一定。 由于对称闭包不一定保持关系的传递性，因此先求 传递闭包后求对称闭包得到的关系不一定是等价关系 例 A={1,2,3}，A上的关系R={<1,2>,<3,2>} ， str(R)=IA∪{<1,2>,<2,1>,<3,2>,<2,3>} 显然str(R)不是等价关系 用闭包运算去构造等价关系时，传递闭包运算应该 放在对称闭包运算的后面
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画出等价关系R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 3)}的 ∈ ∧ 关系图 ，其中A={1,2,…,8}。 。
不难看出，上述关系图被分为三个分离（互不连 通）的部分。每部分中的数两两都有关系(模3相等)， 位于不同部分中的数之间则没有关系。 称每一部分中的顶点构成了一个等价类 等价类。 等价类
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例 设A⊆N，R={<x, y>|x, y∈A∧x≡y (mod 3)} 为A上的 关系，其中x≡y (mod 3)叫做x与y模3相等，其含义为x 除以3的余数与y除以3的余数相等。证明R为A上的等 价关系。 证明: 证明 ∀x∈A，有x≡x (mod 3)，即<x, x>∈R，所以R是自 反的。 ∀x,y∈A，若x≡y (mod 3)，则有y≡x (mod 3)。所以 R是对称的。 ∀x,y,z∈A，若x≡y (mod 3)，y≡z (mod 3)，则有x≡z (mod 3)。所以R是传递的。 综上R为A上的等价关系。
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定义7 18（划分） A 定义7.18（划分）设A为非空集合，若A的子集族π A π P(A)，是A 的子集构成的集合） 满足以下的条 （π⊆P(A) A ） 件： ∅∉π （1）∅∉π （2）∀x∀y（x，y∈π∧x≠y → x∩y=∅） π∧x≠ y=∅ 即π中任意两个集合不相交 π π=A，即π中所有集合的并集等于A （3）∪π=A π A 则称π是A的一个划分 划分，称π中的元素为A的划分块 π A 划分 π A
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定理7 14（等价类的性质） 定理7.14（ 等价类的性质 ） 设R为非空集合A上 R A 的等价关系，则 （1）[x] [x]是A的非空子集 （2）∀x，y∈A，如果xRy xRy，则[x]=[y] ∀ xRy [ （3）∀x，y∈A，如果xRy xRy，则[x] [y] ∀ xRy [x]与[y]不交 （4）∪{[x]|x∈A }=A ∪{[x]|x ∪{[x]|x∈
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例 集 合 A={1,2,…,8} 上 的 等 价 关 系 R={<x, y>|x, y∈A∧x≡y（mod 3）} ∈ ∧ （ ） 等价类是{1, 4, 7}、{2, 5, 8}、{3, 6} 、 、
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划分的图形表示 一般用“圆”来表示一个划分，将圆划分成若干份 来表示划分块。 例如: π1={ { a，b，c }，{ d } } ， ， ， π2={ { a，b }，{ c }，{ d } } ， ， ，
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A={1， 3}上所有的等价关系 例7.18 给出A={1，2，3} A={1 解： 利用图形对A进行划分。 A 这些划分与A上的等价关系之间是一一对应的： A π1：R1对应于全域关系EA E ={<2 >,<3 π2：R2={<2,3>,<3,2>}∪IA ={<1 >,<3 π3；R3={<1,3>,<3,1>}∪IA ={<1 >,<2 π4：R4={<1,2>,<2,1>}∪IA π5：R5对应于恒等关系IA I
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思考题 求出四元集上可定义多少个不同的等价关系?
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
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集合A={1,2,…,8}上的等价关系 R={<x, y>|x, y∈A∧x≡y（mod 3）} ∈ ∧ （ ）
等价类是： ]=[4]=[7]={1 [1]=[4]=[7]={1，4，7} ]=[5]=[8]={2 [2]=[5]=[8]={2，5，8} ]=[6]={3 [3]=[6]={3，6}
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定义7 16（等价类） 定义7.16（等价类） 设 R 为 非 空 集 合 上 的 等 价 关 系 ， ∀ x ∈A ， 令 ={y|y∈A∧xRy}，称[x]R为x关于R的等价类，简 [x]R={y|y∈A∧xRy} [ x R [x] 称为x的等价类，简记为[x]。 x 说明： x的等价类是A中所有与x等价的元素构成的集合。 x
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例：已知A=P(X), C⊆X, ∀x, y∈A, <x,y>∈R ⇔ x⊕y⊆C。 ⊆ ∈ ∈ ⊕ ⊆ 证明R为A上的等价关系. 证明： （1）∀x∈A，由于x⊕x=∅⊆C ⇔ <x,x>∈R, 所以R是自反的。 （2）∀x,y∈A，<x,y>∈R⇔x⊕y⊆C⇔y⊕x⊆C⇔<y,x>∈R, ⇔ ⊆ ⇔ ⊆ ⇔ 所以R是对称的。 （3）∀x,y,z∈A，若<x, y>∈R，<y, z>∈R， 则有x⊕y⊆C， y⊕z⊆C。 x⊕z=(x⊕y)⊕(y⊕z)⊆C ⇔<x,z>∈R. 所以R是传递的。 综上所证，R是A上的等价关系。
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将模3的等价关系加以推广，可以得到整数集合 Z上的模n等价关系。 对于任意的整数x和y，定义模n相等关系∼： x y n ∼ x≡y（ x∼y⇔x≡y（mod n） 易证∼是整数集合Z上的等价关系。 ∼ Z
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将Z中所有的整数根据它们除以n的余数分类如下： Z n 余数为0的数，其形式为nz，z∈Z nz， nz 余数为1的数，其形式为nz+1，z∈Z nz+1 nz+ … 余数为n-1的数，其形式为nz+n-1，z∈Z nz+nnz+n 以上构成了n个等价类： n i]=[n+i]=[2n+i]=…={nz+i|z Z}，i=0 ={nz+i|z∈ [i]=[n+i]=[2n+i]= ={nz+i|z∈Z}，i=0,1,…n-1 n
7.6 等价关系与划分
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等价关系是一类重要的关系。 定义7.15 等价关系) R 7.15( 定义7.15(等价关系) 设R非空集合上的关系， 如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的 R R A 等价关系。 设R是一个等价关系，若<x，y>∈R，称x等价于 y>∈ R < x y，记作x∼y。 A={1,2,3}， 例 设A={1,2,3}，R1，R2，R3 A上的关系 A={1,2,3} R1，R2，R3是A ={<1 >,<2 >,<3 R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} ={<1 >,<2 >,<3 >,<1 R2={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>，<2,3>} ={<1 >,<2 >,<3 >,<1 >,<3 R3={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,3>,<3,1>}
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例 设A为某班学生的集合，讨论下列关系是否为等 价关系。 R1={<x, y>|x, y∈A ∧ x与y同年生} R2={<x, y>|x, y∈A ∧ x与y同姓} R3={<x, y>|x, y∈A ∧ x的年龄比y小} 解：R1是等价关系； R2是等价关系； R3不是等价关系；
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通过闭包运算将任意的关系R构造成为一个等价关系 如tsr(R)必为一个等价关系 例 A={1,2,3}，A上的关系R={<1,1>,<2,2>,<1,2>} A={1,2,3}， R={<1,1>,<2,2>,<1,2>} tsr(R)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1> <1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>} <1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>
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集合A的等价关系与集合A 集合A的等价关系与集合A的划分一一对应 （1）每个A上的等价关系所产生的商集是一个划分 （2）每个A的划分π决定一个A上等价关系R A π R 通过A的一个划分来确定等价关系R 的方法是： R 对任意的x,y∈A，<x,y>∈R 当且仅当x和y在π的同一 x,y∈ <x,y>∈ x y π x,y <x,y> 划分块中。 例 A={a,b,c,d} A={a,b,c,d}的一个划分为π={{a,b},{c},{d}} π={{a,b},{c},{d}} 则π对应的等价关系为： π R={<a,b>, <b,a>}∪IA
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定义7.17（商集 ） 设R为非空集合A上的等价关系， （ 商集） 定义 以R的所有等价类为元素的集合叫做A在R下的商集， 记作A/R，即A/R={[x]R|x∈A } ∈ 例 集 合 A={1,2,…,8} 上 的 等 价 关 系 R={<x, y>|x, y∈A∧x≡y（mod 3）}等价类是{1, 4, 7}、{2, 5, 8}、{3, ∈ ∧ （ ） 、 、 6}。 。 所以A在R下的商集为{{1, 4, 7}, {2, 5, 8}, {3, 6}}。 A R {{1, 6}}。 A在R下的商集也可写成{[1], [2], [3]}。 。 整数集Z在模n等价关系下的商集是 {{nz+i|z∈Z} | i=0,1,…n-1} ∈ 或{[0], [1], ..., [n-1]}
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例 设A={a,b,c,d}，给定π1,π2,π3,π4,π5,π6 如下，判 别它们是否为A的划分。 π1={ { a，b，c }，{ d } } ， ， ， π2={ { a，b }，{ c }，{ d } } ， ， ， π3={ { a }，{ a，b，c，d } } ， ， ， ， π4={ { a，b }，{ c } } ， ， π5={ ∅，{ a，b }，{ c，d } } ， ， ， π6={ { a，{ a }}，{ b，c，d } } ， ， ， ， 其中π1,π2是A的划分，π3,π4,π5,π6不是A的划分 π A ， A
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对R求三种闭包共有6种顺序，问每种顺序的运算结 果是否一定为等价关系？ 不一定。 由于对称闭包不一定保持关系的传递性，因此先求 传递闭包后求对称闭包得到的关系不一定是等价关系 例 A={1,2,3}，A上的关系R={<1,2>,<3,2>} ， str(R)=IA∪{<1,2>,<2,1>,<3,2>,<2,3>} 显然str(R)不是等价关系 用闭包运算去构造等价关系时，传递闭包运算应该 放在对称闭包运算的后面
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画出等价关系R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 3)}的 ∈ ∧ 关系图 ，其中A={1,2,…,8}。 。
不难看出，上述关系图被分为三个分离（互不连 通）的部分。每部分中的数两两都有关系(模3相等)， 位于不同部分中的数之间则没有关系。 称每一部分中的顶点构成了一个等价类 等价类。 等价类
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例 设A⊆N，R={<x, y>|x, y∈A∧x≡y (mod 3)} 为A上的 关系，其中x≡y (mod 3)叫做x与y模3相等，其含义为x 除以3的余数与y除以3的余数相等。证明R为A上的等 价关系。 证明: 证明 ∀x∈A，有x≡x (mod 3)，即<x, x>∈R，所以R是自 反的。 ∀x,y∈A，若x≡y (mod 3)，则有y≡x (mod 3)。所以 R是对称的。 ∀x,y,z∈A，若x≡y (mod 3)，y≡z (mod 3)，则有x≡z (mod 3)。所以R是传递的。 综上R为A上的等价关系。
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定义7 18（划分） A 定义7.18（划分）设A为非空集合，若A的子集族π A π P(A)，是A 的子集构成的集合） 满足以下的条 （π⊆P(A) A ） 件： ∅∉π （1）∅∉π （2）∀x∀y（x，y∈π∧x≠y → x∩y=∅） π∧x≠ y=∅ 即π中任意两个集合不相交 π π=A，即π中所有集合的并集等于A （3）∪π=A π A 则称π是A的一个划分 划分，称π中的元素为A的划分块 π A 划分 π A
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定理7 14（等价类的性质） 定理7.14（ 等价类的性质 ） 设R为非空集合A上 R A 的等价关系，则 （1）[x] [x]是A的非空子集 （2）∀x，y∈A，如果xRy xRy，则[x]=[y] ∀ xRy [ （3）∀x，y∈A，如果xRy xRy，则[x] [y] ∀ xRy [x]与[y]不交 （4）∪{[x]|x∈A }=A ∪{[x]|x ∪{[x]|x∈