最佳一致和平方逼近ppt课件

若 P x0 f x0 , 则称 x0 为“正”偏差点。 若 P x0 f x0 , 则称 x0 为“负”偏差点。
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三、 Ca,b 上的最佳一致逼近的特征
引理4.1
设 f x 是区间a,b 上的连续函数，Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式，则 f x Pn* x 必同时
min f
x Pn* x
Pn xHn
f x Pn x
其中，H n代表由全体代数多项式构成的集合。
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§2 最佳一致逼近多项式
一、最佳一致逼近多项式的存在性
定理4.9
对任意的 f xCa,b, 在 H n 中都存在对 f x 的最佳一致逼近多项式,记为 pn* x ,使得
f (x)
存在正负偏差点。
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y
Oa
y f x En
y f x
y f x En
bx
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定理 4.10（ Chebyshev定理）
设 f x 是区间 a,b 上的连续函数，则 Pn* x 是 f x 的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是: f x Pn* x 在区间a,b 上存在一个至少有 n 2 个交错偏差点组成，
注： 显然， f , Pn 0 ， f , Pn 的全体组成一个
集合，记作 f , Pn ，它有下界0。
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2、偏差点
定义
设 f xCa,b, PxHn, 若在 x x0 上有
P x0 f x0 max P x f x , a xb
则称 x0 是 P x f (x) 的偏差点。
由推论1，f x P1 x 在 a,b 上恰好有3个点构成的交错
组，且区间端点 a, b 属于这个交错点组，设另一个交错点为 x2 ,
则
f f
x2 a
P1 P1 a
x2
f
0
b
P1
b
f
a
P1
a
f
x2
P1
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x2
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即
a0 a1a f a a0 a1b f b
a0 a1a f a f x2 a0 a1x2
最佳一致逼近
王坤
1
n
x 1
xi
i 1
n
x 2
xi 2
i 1
x
max
1in
xi
b
f f (x) dx
1
a
f b f 2 (x)dx
2
a
f max f (x) axb
f g max f (x) g(x) axb 2
§1 最佳一致逼近
一、最佳一致逼近的概念
定义 设函数 f x 是区间 a,b 上的连续函数，对于任意
pn (x) xn pn1(x)
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五、 Chebyshev多项式
(1)定义
It is very important
称 Tn cosnarccos x, x 1为n次Chebyshev多项式.
[注] 令 arccos x, 则 cos x
而 cos n cosn Cn2 cosn2 sin 2 Cn4 cosn4 sin 4
即有 n 2 个点 a xo x1 x2 L xn xn1 b
使得：f (xi ) pn*(xi ) ()i f pn* （i=0,1,…,n+1） 其中σ=1或σ=-1
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推论4.1
设 f x是区间 a,b 上的连续函数，Pn* x 是 f x
的n次最佳一致逼近多项式，若 f n1 x 在 a,b
T0 x 1,T1 x x
Tn1
x
2x
Tn
x
Tn1
x
n 1, 2,...
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➢ 奇偶性：
切比雪夫多项式 Tn ，当 n为奇数时为奇函数；
n为偶数时为偶函数。
Tn x cos narccosx cosn narccos x
1n cosnarccos x 1n Tn x
➢ Tn 在区间[-1, 1]上有 n 个不同的零点
f
x2
a1
解得
a1
f
b f
ba
a
f x2 ,
a0
f
a f
2
x2
f
b f
ba
a
a x2 2
.
即
P1 x
f
x2
2
f
a
f
b f
ba
a
x
a
2
x2
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2、几何意义
y
D
M
N
y P1 x
Q
Oa
x2 b
x
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❖ 设在区间[-1,1]上，函数 f (x) xn 的（n-1）次最佳
一致逼近多项式 pn1( x) 误差函数f(x)- pn1( x)
给定的 ，如果存在多项式 P x ，使不等式
max f x Px a xb
成立， 则称多项式 P 上x一在致区逼间近a,b
(或均匀逼近)于函数 f x 。
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所谓最佳一致逼近问题就是对给定的区间 a,b
上的连续函数 f x ，要求一个代数多项式
Pn* x , 使得 称为最佳一致逼近多项式
pn* (x)
m in
pn ( x ) H n
f (x) pn(x)
成立. 称 pn* x 为 f x 的n次最佳一致逼近多项式。
简称最佳逼近多项式。
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二、相关概念
1、偏差
定义 若 Pn x Hn , f xCa,b, 则称
f , Pn f Pn m ax f x Pn x axb 为 f x 与Pn x 在 a,b 上的偏差。
故 Tn为关于 的x 次n代数多项式。
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(2)性质
➢ 正交性：
由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权
(x)
1 1 x2
的正交多项式序列。且
0,
1 1
1 1
x2
Tm (x)Tn
(x)dx
2
,
,
mn mn0 mn0
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➢ 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：
内存在且保号，则 f x Pn* x 在区间 a,b
上恰好存在一个有 n 2 个交错偏差点，且两 端点 a, b 都是偏差点。
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四、一次最佳逼近多项式 n 1
1、推导过程
设 f xCa,b ，且 f x 在 a,b 内不变号，要求
f x在 a,b 上的一次最佳一致逼近多项式 P1 x a0 a1x
xk
2k 1
cos 2n
,k
1, 2,..., n
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➢ Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点
xk
cos k
n
,k
0,1, 2,..., n
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。
➢ 切比雪夫多项式的极值性质 Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。