受迫振动实验数据处理的研究

受迫振动实验数据处理的研究

牛星

（东南大学 计算机科学与工程学院,南京 210096）

摘 要： 通过计算机软件Mathematica 6对实验记录数据进行处理，得到拟合曲线和阻尼系数．指出不确定的固有角频率造成的系统误差很难避免．对实验处理方法的选取做出建议． 关键词： 波尔共振仪；受迫振动；数据处理；拟合曲线；系统误差

Researches in Experimental Data Processing

of Forced Vibration

NiuXing

(Department of Computer Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096)

Abstract: Through using computer software Mathematica6 to process experimental data, we can get fitting curve and damping

coefficient. Pointing out the system error caused by uncertain natural angular frequency is very difficult to avoid. Making a suggestion to the selection of experiment data processing method.

key words: Pohl resonator; Forced vibration; Data processing; Fitting curve; System error

大学物理实验“受迫振动的研究”在数据处理方面较为复杂，所得结果极大程度上取决于作图的精度．我考虑使用Mathematica 6软件进行数据辅助处理，以期得到较为理想的结果．

1 计算机拟合

1.1

幅频特性曲线拟合法

受迫振动的振幅和频率的关系如下：

2

2222

04)(ωδωωθ+-=

m

b

作者简介：牛星,1988年，男，本科生, oxstar.student@ .

2

02022

2

02

041⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

ωωωδωωωm

(1)

经过上述变换即可得b θ与0

ωω

的关系方程．为

做出拟合曲线，可以将20ωm

和20

2

4ωδ设为待定系

数．令20ωm

=a ， 20

2

4ωδ=b ，根据最小二乘法原

理，容易得到a 、b 的值．

1.2 幅频特性曲线拟合法

受迫振动的相位和频率的关系如下：

2

0002

2012

arctan 2arctan

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅

-=-=ωωωωωδωωδω

ϕ (2)

根据与幅频特性曲线相同的分析方法，得到系数c =0

2ωδ-． 1.3

拟合曲线

选取实验测得的阻尼1和阻尼2两组数据，使用Mathematica 6软件，按上述方法得到两种阻尼各两条拟合曲线（图1--图4）．

图1 阻尼1幅频特性拟合曲线

图2 阻尼1相频特性拟合曲线

图3 阻尼2幅频特性拟合曲线

图4 阻尼2相频特性拟合曲线

2 数据处理

“幅频特性曲线拟合法”和“相频特性曲线拟

合法”所能求得的分别是202

4ωδ和0

2ωδ，这里0ω应

该如何取值是个棘手的问题，现暂取共振峰值处的

值，并在下文详细讨论．

数据处理结果见表1：（这里的峰值法即为教材中利用峰值的作图计算方法）

表1 各种数据处理方法的比较

从表中误差栏可以看到，这3种处理方法所得到的结果误差都不大，而且在这两次不同的实验中不能判断那种方法更精确．

3 峰值法的详细分析

3.1

峰值法核心公式

为什么用拟合方法遇到了0ω取值问题，而峰值法却可以通过考虑0ω随b θ的变化关系修正系统误差？要弄清这个问题需要详细分析峰值法的原理． 首先考察计算公式：

2

2

02δ

ωδθ-=

m r (3)

2222202

204)(2ω

δωωδωδθθ+--=

r

b

(4) 2

2222

00

22024)(2ωδωωδωδωδ+-<<二阶小量

2

2

2

02

00

4)()(2ω

δωωωωδω++-=

2

2202

00

04)(42ωδωωωδωωω+-≈

2

2

0)(δ

ωωδ

+-=

(5)

可见，满足（5）的基础是ωω≈0，即需要在

共振峰附近．

实验数据处理后画出的幅频特性曲线以

ωω为唯一变量，那么20ωm

和20

2

4ωδ必须被当成定值系

数，也即这种处理方法默认0ω是一个定值．实际上，

这种处理方法只用到了⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈r r b θθθ,2很小的一段

（图5），0ω取值范围很小，确实可以做这样的近似．不过，在（1）式中同时将0ω看成定量和可变

修正量依然是一种矛盾的做法．

3.2 不确定度的分析

我们不妨再从这种修正对不确定度的影响来考察．设0ω的不确定度为0U ，根据间接测量量不确定度公式（这里只考虑0ω的影响）：

0U f

U ω

θ∂∂= (6) 2

2

2

22

04)(ω

δωωθ+-=

m

b (1)’

按（１）＇直接运算得

(

)

)

()

02

3222

2

20

2

2

00142U m U δ

ωωω

ωωωθ+--=

(7)

将

ωω

视为与（１）＇中ω地位相同的参数，并设10

ωωω

=，只对其它0ω运算得 (

)

(

)

(

)

(

)

02

322

12

02

21

4

02

202

213

02412814U m U δ

ωωωωδωωωωθ+-+-=

(8)

为方便比较（7）（8）两式大小，先求出各无关参数的取值范围（阻尼1实验）得：10≈m ，

=δ0.0560，当⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈r r b θθθ,2，∈ω［0.6321,0.6487］，∈=10

ωωω

［0.9867,1.013］．代入计算得：=1θU ［0,377］0U ，=2θU ［215,222］0U ．这说明修

图5 幅频特性曲线的取值

1

b

θ0

ωω2

r

θr

θ