第1章线性规划及单纯形法
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第一章线性规划问题及单纯形解法演示文稿
线性规划问题的可行解集S是凸集 设X属于S,若x=0,则一定为极点；若x 0，则为极点的充要条件是：x的正分量所 对应的系数列向量线性无关。
只要存在可行解，就一定存在极点
极点的个数是有限的
最优解只可能在凸集的极点上，而不可能发生 在凸集的内部
38
第38页，共65页。
关于标准型解的若干基本概念：
Z=15x11+21x12+18x13+
20x21+25x22+16x23, x11+x12+x13≤200, x21+x22+x23≤150, x11+ x21 ＝100, x12+x22＝80, x13+x23≥90, x13+x23≤120, xij≥0 ﹙i=1,2 j=1,2,3﹚.
10
第10页，共65页。
maxz( x) c x c x c x
11
22
nn
s.t.
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
ax 21 1
a x 22 2
a x 2n n
b 2
am1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
x , x ,, x 0
1
2
n
12
第12页，共65页。
1、标准型的几种不同的表示方式
对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
z=10000=50x1+100x
2
z=0=50x1+100x2
x2
x1+x2=300
AB C
E
z=27500=50x1+100x
只要存在可行解，就一定存在极点
极点的个数是有限的
最优解只可能在凸集的极点上，而不可能发生 在凸集的内部
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关于标准型解的若干基本概念：
Z=15x11+21x12+18x13+
20x21+25x22+16x23, x11+x12+x13≤200, x21+x22+x23≤150, x11+ x21 ＝100, x12+x22＝80, x13+x23≥90, x13+x23≤120, xij≥0 ﹙i=1,2 j=1,2,3﹚.
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maxz( x) c x c x c x
11
22
nn
s.t.
a x a x a x b
11 1
12 2
1n n
1
ax 21 1
a x 22 2
a x 2n n
b 2
am1
x 1
a x m2 2
a x mn n
b m
x , x ,, x 0
1
2
n
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1、标准型的几种不同的表示方式
对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。
z=10000=50x1+100x
2
z=0=50x1+100x2
x2
x1+x2=300
AB C
E
z=27500=50x1+100x
第一章 线性规划及单纯形法
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线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
运筹学
11
目录
（三）LP问题的标准型
1.为了讨论LP问题解的概念和解的性质以及对LP问题求 解方便，必须把LP问题的一般形式化为统一的标准型：
minz=c1x1+c2x2+…+cnxn
j =1 a11 x2 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a x + a x + + a x = b n 2n n 2 21 2 22 2 简 aij x j = bi (i = 1,2, L , m) s.t 化 j =1 x j ≥ 0( j = 1,2,L , n) am1 x2 + am 2 x2 + + amn xn = bm x1 , x2 , , xn ≥ 0
A ( 0 ,3 ) 10 15 , ) B( 7 7 5 C ( ,0 ) 2
max
Z = 5 x1 + 4 x 2
3 x 1 + 5 x 2 ≤ 15 2 x1 + x 2 ≤ 5 2 x 1 + 2 x 2 ≤ 11 x1 , x 2 ≥ 0
Z=
110 7
2x1+2x2=11
C 2.5
5x1+4x2=0 红线为目标函数的等值线 等值线. 红线为目标函数的等值线
j i= 1
j
(1.4) (1.5) (1.6)
ì n a ij x j = s .t . j = 1 í 1.从代数的角度看： x j 0 1.
b
i
可行解（Feasible Solution)： 满足约束条件(1.5)和(1.6)的 解X=(x1,x2,…,xn)T称为可行解。所有可行解构成可行解集， 即可行域。 最优解(Optimal Solution): 而使目标函数达到最大值的可 行解称为最优解，对应的目标函数值称为最优值。 求解LP问题就是求其最优解和最优值，但从代数的角 17 度去求是困难的。 目录
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
运筹学第1章：线性规划问题及单纯型解法
原料甲 原料乙 最低含量 VA 0.5 0.5 2 VB1 1.0 0.3 3 VB2 0.2 0.6 1.2 VD 0.5 0.2 2 0.3 0.5 单价
分别代表每粒胶丸中甲, 设 x1, x2分别代表每粒胶丸中甲, 乙两种原料的用量
5
例3,合理下料问题 , 分别代表采用切割方案1~8的套数, 的套数, 设 xj 分别代表采用切割方案 的套数
19
( f(x
)= 3
6
1.2.2 单纯型法的基本思路
确定初试基础可行解
检查是否为 最优解? 最优解?
是
求最优解的目标函数值
否 确定改善方向
求新的基础可行解
20
1.2.3 单纯型表及其格式
IV CB III XB II x1 b c1 a11 a21 c1′′= cn+1 xn+1 b1 c2′′= cn+2 xn+2 b2 x2 … xn c2 … cn a12 … a1n a22 … a2n I xn+1 cn+1 1 0 0 zn+1 xn+2 cn+2 0 1 0 zn+2 … … … … … … xn+m cn+m 0 0 1 zn+m
OBJ : max f ( x) = 6x1 + 4x2 2x1 + x2 ≤ 10 铜资源约束 x1 + x2 ≤ 8 铅资源约束 s.t. x2 ≤ 7 产量约束 x1, x2 ≥ 0 产量不允许为负值 最优解: x1 = 2, x2 = 6, max f ( x) = 36.
4
例2,配料问题(min, ≥) ,配料问题(
2 max 1 O 1 2 3 4 D 5 6 7 H 8
运筹学第一章
OR1
30
1.1.3解的概念
概念： 1、可行解：满足所有约束条件的解。 2、可行域：即可行解的集合。所有约束条件的交 集，也就是各半平面的公共部分。满足所有约 束条件的解的集合，称为可行域。 3、凸集：集合内任意两点的连线上的点均属于这 个集合。如：实心球、三角形。线性规划的可 行域是凸集。
OR1
OR1
27
线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
请问该 医院至 少需要 多少名 护士？
5
例题2建模
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
OR1
6
例题3：运输问题
三个加工棉花的加工厂，并且有三个仓库供应棉花，各 供应点到各工厂的单位运费以及各点的供应量与需求量 分别如下表所示：问如何运输才能使总的运费最小？
OR1
14
总
结
从以上 5 个例子可以看出，它们都属于优化问题，它们 的共同特征： 1 、每个问题都用一组决策变量表示某一方案；这组决 策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值是 非负的。 2 、存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线 性等式或线性不等式来表示。 3 、都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性 函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
30
1.1.3解的概念
概念： 1、可行解：满足所有约束条件的解。 2、可行域：即可行解的集合。所有约束条件的交 集，也就是各半平面的公共部分。满足所有约 束条件的解的集合，称为可行域。 3、凸集：集合内任意两点的连线上的点均属于这 个集合。如：实心球、三角形。线性规划的可 行域是凸集。
OR1
OR1
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线性规划图解法例题
（无界解）
max z x 2 y x y 1 2 x 4 y 3 x 0, y 0
OR1
28
线性规划图解法例题
（无解）
min z x 2 y x y 2 2 x 4 y 3 x 0, y 0
请问该 医院至 少需要 多少名 护士？
5
例题2建模
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
OR1
6
例题3：运输问题
三个加工棉花的加工厂，并且有三个仓库供应棉花，各 供应点到各工厂的单位运费以及各点的供应量与需求量 分别如下表所示：问如何运输才能使总的运费最小？
OR1
14
总
结
从以上 5 个例子可以看出，它们都属于优化问题，它们 的共同特征： 1 、每个问题都用一组决策变量表示某一方案；这组决 策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值是 非负的。 2 、存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线 性等式或线性不等式来表示。 3 、都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性 函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
第01次课--第一章 线性规划
（1-2） am1 x1 am 2 x2 amn xn (, )bm
(如果取≥0)
x1 , x2 , , xn (, )0
约束条件 （1-3）
决策变量
30
非负约束条件
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型
标准形式
max Z c1 x1 c2 x2
cn xn
顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最
优解，即有无穷最优解。
28
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型
图解法的优缺点分析
• 直观、简便 • 变量数多于三个以上时，无能为力
通用普遍的 求解方法 （代数方法）
？
单纯形法
模型的标准形式
？
29
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型 线性规划的数学模型的一般形式：
2
国防科技大学
第一章 线性规划与单纯形法
在军事活动，以及生产、管理、经营等社 会活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用 有限的人力、物力、财力等资源，以得到最好的 效果。
3
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型
例 兵力运送问题 设有A、B两种型号的直升机，每次A能运 载35人，需驾驶员2人，B能运载20人，需驾
目标函数取 最大值
j 1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 n a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 简记做 aij x j bi (i 1, 2, , m) j 1 x 0 ( j 1, 2, , m) a x a x a x b j mn n m m1 1 m 2 2 约束条件为等式， x , x , , x 0 且右端项为非负 1 2 n 值
(如果取≥0)
x1 , x2 , , xn (, )0
约束条件 （1-3）
决策变量
30
非负约束条件
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型
标准形式
max Z c1 x1 c2 x2
cn xn
顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最
优解，即有无穷最优解。
28
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型
图解法的优缺点分析
• 直观、简便 • 变量数多于三个以上时，无能为力
通用普遍的 求解方法 （代数方法）
？
单纯形法
模型的标准形式
？
29
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型 线性规划的数学模型的一般形式：
2
国防科技大学
第一章 线性规划与单纯形法
在军事活动，以及生产、管理、经营等社 会活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用 有限的人力、物力、财力等资源，以得到最好的 效果。
3
国防科技大学
第一节 线性规划的问题及其数学模型
例 兵力运送问题 设有A、B两种型号的直升机，每次A能运 载35人，需驾驶员2人，B能运载20人，需驾
目标函数取 最大值
j 1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 n a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 简记做 aij x j bi (i 1, 2, , m) j 1 x 0 ( j 1, 2, , m) a x a x a x b j mn n m m1 1 m 2 2 约束条件为等式， x , x , , x 0 且右端项为非负 1 2 n 值
第一章线性规划及单纯形法
第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
第一章 线性规划及单纯形法1图解2006
简写为：
n
ma或 x(minz) cjxj
j1
jn1aijxj (,)bi (i 1,,m)
xj 0 (j 1,,n)
向量表达形式：
ma或 xm ( izn)CX
n
j 1
Pj
x
j
(, )b
X 0
C(c1,c2,,cn)
x 1
X
x2 xn
a 1 j
Pj
a2j
目标函数 mzi n 28(x1 0 1x 0 2 1x3 1x4)145(x1 02 0 x22 x3)260(x1 0 3x 0 2)373x10 4 0
约束条件
x11 x12 x13 x14 15
xx1132
x13 x14
x14 x22
x21 x23
x22 x31
x23 x32
第一章 线性规划及单纯形法
第一节 线性规划问题及其数学模型
例：某公司计划生产甲、乙两种产品，已知各生产一件时分别 占用的设备A、B的台时、调试时间和调试工序每天可用于这两 种产品的能力、各销售一件时的获利情况，如下表所示。问该 公司应生产两种产品各多少件，使获取的利润为最大。
甲
乙 每天可用能力
设备A(h)
可行域中使目标函数值达到最优的可行解称为最优解。
图解法的步骤：
（1）在平面上建立直角坐标系 （2）图示约束条件，找出可行域 （3）图示目标函数，寻求最优解
线性规划的图解
max z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6
-x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
x2 6
4
最优解 可行域
-8
0
目标函数等ห้องสมุดไป่ตู้线
运筹学基础及应用第五版胡运权第一章
问题的提出 某企业计划生产Ⅰ、Ⅱ两种产品。这两种产品都要分别在A、B、C、D四种不同设备上加工。生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为2、1、4、0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为2、2、0、4h。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获得2元利润，每生产一件产品Ⅱ企业能获得3元利润，问企业应安排生产两种产品各多少件，使总的利润收入为最大。
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
xi 0
aij
aLj
xL 0
i
∴ P1 , P2,······,PL-1, PL+1,······ Pm, Pj 线性无关。
∴ X1 也为基本可行解。
四、最优性检验和解的判别
令
，其中 随基的改变而改变
X1 = (x1 0- a1j ,x2 0- a2j ,···,xm 0- amj ,0,···,,···,0)T
必要性：X非基本可行解 X非凸集顶点 不失一般性，设X=(x1,x2,······,xm,0,0,······,0)T，为非基本可行解， ∵ X为可行解，
证：等价于 X非基本可行解X非凸集顶点
又 X是非基本可行解， ∴ P1,P2,······,Pm线性相关，即有 1P1+2P2+······+mPm=0， 其中1，2，······，m不全为0，两端同乘≠0，得 1P1+2P2+······+mPm=0，······（2）
∵ >0, 1->0 ，当xj=0， 必有yj=zj=0
∴
pjyj =
j=1
n
pjyj=b ······(1)
j=1
r
pjzj =
j=1
n
pjzj=b ······(2)
运筹学第一章
第一章、 线性规划和单纯形法1.1 线性规划的概念一、线性规划问题的导出1．(引例) 配比问题——用浓度为45%和92%的硫酸配置100t 浓度为80%的硫酸。
取45%和92%的硫酸分别为x1和x2t,则有： 求解二元一次方程组得解。
目的相同，但有5种不同浓度的硫酸可选（30%，45%，73%，85%，92%）会出现什么情况？设取这5种硫酸分别为 x1、x2、x3、x4、x5 t, 则有： ⎩⎨⎧⨯=++++=++++1008.092.085.073.045.03.01005432154321x x x x x x x x x x 请问有多少种配比方案？为什么？哪一种方案最好？假设5种硫酸价格分别为：400，700，1400，1900，2500元/t ，则有：2.生产计划问题如何制定生产计划，使三种产品总利润最大？考虑问题：⎩⎨⎧⨯=+=+1008.092.045.01002121x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≥⨯=++++=++++++++=5,,2,1,01008.092.085.073.045.03.0100..250019001400700400543215432154321 j x x x x x x x x x x x t s x x x x x MinZ j（1）何为生产计划？（2）总利润如何描述？（3）还要考虑什么因素？（4）有什么需要注意的地方（技巧）？（5）最终得到的数学模型是什么？二、线性规划的定义和数学描述（模型）1．定义：对于求取一组变量xj (j =1,2,......,n)，使之既满足线性约束条件，又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称线性规划。
2.配比问题和生产计划问题的线性规划模型的特点：用一组未知变量表示要求的方案，这组未知变量称为决策变量；存在一定的限制条件，且为线性表达式；有一个目标要求（最大化，当然也可以是最小化），目标表示为未知变量的线性表达式，称之为目标函数； 对决策变量有非负要求。
第1章线性规划与单纯形法
26
线性规划问题的数学模型
7. 线性规划问题的解
线性规划问题
n
max Z cj xj (1) j 1
s.t
n j 1
aij
xj
bi
(i 1, 2,
, m) (2)
x
j
0,
j
1, 2,
, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
解： Max z = 3x1–5x2’+5x2”–8x3 +7x4 s.t. 2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2’,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
20
线性规划问题的数学模型
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
11
线性规划问题的数学模型
3. 建模条件 (1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的线性等式或线性不等式表示；
(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
线性规划问题的数学模型
7. 线性规划问题的解
线性规划问题
n
max Z cj xj (1) j 1
s.t
n j 1
aij
xj
bi
(i 1, 2,
, m) (2)
x
j
0,
j
1, 2,
, n (3)
求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组 中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。
解： Max z = 3x1–5x2’+5x2”–8x3 +7x4 s.t. 2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2’,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
x1 , x2 0, x3无约束
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
用 x3 x3 替换 x3 ，且 x3 , x3 0
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线性规划问题的数学模型
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式；
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
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线性规划问题的数学模型
3. 建模条件 (1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的线性等式或线性不等式表示；
(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
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2020/7/15
(1)于2019年初购买A种债券,期限2年,到 期后本息合计为投资额的140%,但限购90万 元.
(2)于2019年初购买B种债券,期限2年,到 期后本息合计为投资额的125%,且限购90万 元.
(3)于2019年初购买C种债券,期限2年,到 期后本息合计为投资额的130%,但限购50万 元;
2020/7/15
2020/7/15
（二） 产品计划问题
某厂生产Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三种产品,都分别经A,B 两道工序加工.设A工序可分别在设备A1或A2 上完成,有B1,B2,B3三种设备可用于完成B工序 .已知产品Ⅰ可在A,B任何一种设备上加工;产 品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工,但完成B工 序时,只能在B1设备上加工;产品Ⅲ只能在A2与 B2设备上加工.加工单位产品所需工序时间及 其他各项数据见表1-18,试安排最优生产计划, 使该厂获利最大.
4.分析并汇总问题的限制条件，将其与有关自变量 和参 数联系起来，并逐一表达成等式或不等式；
5.写出完整的线性规划数学模型，并检查与实际问 题是否一致。
2020/7/15
2020/7/15
解：1. 问题是求什么？决策变量是什么？→ 问该厂
如何组织生产？→生产桌子和椅子两种家具各多少？
→ X1＝生产桌子数量；X2＝生产椅子数量。 2. 目的是什么？目标函数是什么？→ 使每月的销
售收入最大？ Z＝每月的销售收入，→则Max Z＝50X1 ＋30X2。
3. 满足什么？约束条件是什么？木工工时为120
小时： 4X1＋3X2≤120；油漆工工时为50小时：2X1＋ X2≤50；生产数量：X1≥0；X2≥0
模型为：求X1，X2 MaxZ＝50X1＋30X2
s.t. 4X1+3X2≤120
(4)于每年初将任意数额的资金存放于银 行2020/7,/1年5 息4%,于每年底取出.
2020/7/15
2X1+X2≤50 X1≥0；X2≥0
2020/7/15
设在甲机床上加工工件1、2和3的数量分别为x1、x2 和x3，在乙机床上加工工件1、2和3的数量分别是x4、x5 和x6。有：
Min z= 13x1 +9x2 +10x3 +11x4 +12x5 +8x6
s.t.
x1 +x4 =300
2020/7/15
（四） 动态投资问题 宏银公司为某建设项目从2019年起的4
年中每年初分别提供以下数额贷款:2019年— 100万元,2019年—150万元,2019年—120万 元,2019年—110万元.以上贷款资金均需于 2019年底前筹集齐.但为了充分发挥这笔资金 的作用,在满足每年贷款额情况下,可将多余资 金分别用于下列投资项目:
x2 +x5 =500
x3 +x6 =400
0.4x1 +1.1x2
+x3 ≤700
0.5x4 +1.2x5 +1.3x6 ≤800
xj ≥0 （j＝1， 2， …， 6）
2020/7/15
2020/7/15
设xi为第i个时段开始上班的人员数，由此可得数 学模型如下：
Min z= x1 +x2
+x3 +x4 +x5 +x6
一、线性规划建模步骤：
1.分析实际问题，确定自变量（决策变量），这些 自变量应彼此独立，意义明确，可借助它们将实际 问题正确方便表达出来； 2.确定有关参数的数据，包括价值系数Cj、约束条件 右侧常数bi和约束条件中的系数aij； 3.认清决策者想要达到的主要目标，据此列出目标 函数自变量的线性函数），并决定是要极大化或极 小化；
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（三） 生产存贮问题
某厂签订了5种产品(i=1,2,…,5)上半年的 交货合同.已知各产品在第j月(j=1,…,6)的合同 交 所货需量工D时ija,该ij.该月厂售第价jS月ij,的成正本常价生Ci产j及工生时产为1件tj,但时 必要时可加班生产,第j月允许的最多另班工时 不 件超成过本t增'j,并另且额加外班费时用间c'ij内元生.若产生出产来出的来产的品产每品 当 该月厂不设交计货一,个每保件证库完存成1个合月同交交存货贮,又费使p上j.试半为年 预期盈利总额为最大的生产计划安排.
s.t.
x6 +x1
≥60
x1 +x2
≥70
x2 +x3
≥60
x3 +x4
≥50
x4 +x5
≥20
x5 +x6
≥30
xj ≥0 （j＝1， 2， …， 6）
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二、其他应用例子
（一） 混合配料问题
某糖果厂用原料A，B，C加工成三种 不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌 号糖果中A，B，C含量，原产成本，各种 原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单 位加费及售价如表1-17所示。问该厂每月 生产这三种牌号糖果各多少kg ,Байду номын сангаас其获利最 大。试建立这个问题的线性规划的数学模 型。
(1)于2019年初购买A种债券,期限2年,到 期后本息合计为投资额的140%,但限购90万 元.
(2)于2019年初购买B种债券,期限2年,到 期后本息合计为投资额的125%,且限购90万 元.
(3)于2019年初购买C种债券,期限2年,到 期后本息合计为投资额的130%,但限购50万 元;
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（二） 产品计划问题
某厂生产Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ三种产品,都分别经A,B 两道工序加工.设A工序可分别在设备A1或A2 上完成,有B1,B2,B3三种设备可用于完成B工序 .已知产品Ⅰ可在A,B任何一种设备上加工;产 品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工,但完成B工 序时,只能在B1设备上加工;产品Ⅲ只能在A2与 B2设备上加工.加工单位产品所需工序时间及 其他各项数据见表1-18,试安排最优生产计划, 使该厂获利最大.
4.分析并汇总问题的限制条件，将其与有关自变量 和参 数联系起来，并逐一表达成等式或不等式；
5.写出完整的线性规划数学模型，并检查与实际问 题是否一致。
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解：1. 问题是求什么？决策变量是什么？→ 问该厂
如何组织生产？→生产桌子和椅子两种家具各多少？
→ X1＝生产桌子数量；X2＝生产椅子数量。 2. 目的是什么？目标函数是什么？→ 使每月的销
售收入最大？ Z＝每月的销售收入，→则Max Z＝50X1 ＋30X2。
3. 满足什么？约束条件是什么？木工工时为120
小时： 4X1＋3X2≤120；油漆工工时为50小时：2X1＋ X2≤50；生产数量：X1≥0；X2≥0
模型为：求X1，X2 MaxZ＝50X1＋30X2
s.t. 4X1+3X2≤120
(4)于每年初将任意数额的资金存放于银 行2020/7,/1年5 息4%,于每年底取出.
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2X1+X2≤50 X1≥0；X2≥0
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设在甲机床上加工工件1、2和3的数量分别为x1、x2 和x3，在乙机床上加工工件1、2和3的数量分别是x4、x5 和x6。有：
Min z= 13x1 +9x2 +10x3 +11x4 +12x5 +8x6
s.t.
x1 +x4 =300
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（四） 动态投资问题 宏银公司为某建设项目从2019年起的4
年中每年初分别提供以下数额贷款:2019年— 100万元,2019年—150万元,2019年—120万 元,2019年—110万元.以上贷款资金均需于 2019年底前筹集齐.但为了充分发挥这笔资金 的作用,在满足每年贷款额情况下,可将多余资 金分别用于下列投资项目:
x2 +x5 =500
x3 +x6 =400
0.4x1 +1.1x2
+x3 ≤700
0.5x4 +1.2x5 +1.3x6 ≤800
xj ≥0 （j＝1， 2， …， 6）
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设xi为第i个时段开始上班的人员数，由此可得数 学模型如下：
Min z= x1 +x2
+x3 +x4 +x5 +x6
一、线性规划建模步骤：
1.分析实际问题，确定自变量（决策变量），这些 自变量应彼此独立，意义明确，可借助它们将实际 问题正确方便表达出来； 2.确定有关参数的数据，包括价值系数Cj、约束条件 右侧常数bi和约束条件中的系数aij； 3.认清决策者想要达到的主要目标，据此列出目标 函数自变量的线性函数），并决定是要极大化或极 小化；
2020/7/15
2020/7/15
（三） 生产存贮问题
某厂签订了5种产品(i=1,2,…,5)上半年的 交货合同.已知各产品在第j月(j=1,…,6)的合同 交 所货需量工D时ija,该ij.该月厂售第价jS月ij,的成正本常价生Ci产j及工生时产为1件tj,但时 必要时可加班生产,第j月允许的最多另班工时 不 件超成过本t增'j,并另且额加外班费时用间c'ij内元生.若产生出产来出的来产的品产每品 当 该月厂不设交计货一,个每保件证库完存成1个合月同交交存货贮,又费使p上j.试半为年 预期盈利总额为最大的生产计划安排.
s.t.
x6 +x1
≥60
x1 +x2
≥70
x2 +x3
≥60
x3 +x4
≥50
x4 +x5
≥20
x5 +x6
≥30
xj ≥0 （j＝1， 2， …， 6）
2020/7/15
二、其他应用例子
（一） 混合配料问题
某糖果厂用原料A，B，C加工成三种 不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌 号糖果中A，B，C含量，原产成本，各种 原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单 位加费及售价如表1-17所示。问该厂每月 生产这三种牌号糖果各多少kg ,Байду номын сангаас其获利最 大。试建立这个问题的线性规划的数学模 型。