5.3 分式的加减法 第2课时 教案

一、情境导入 小学我们学习过异分母分数的加减法，如13＋12＝1×23×2＋1×32×2＝56，那么如何计算1x ＋1－2x －1呢？ 二、合作探究 探究点一：分式的通分 【类型一】 最简公分母

分式1x 2－3x 与2x 2－9

的最简公分母是________． 解析：∵x 2－3x ＝x (x －3)，x 2－9＝(x ＋3)(x －3)，∴最简公分母为x (x ＋3)(x －3)．

方法总结：最简公分母的确定：最简公分母的系数，取各个分母的系数的最小公倍数；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次幂．“所有字母和式子的最高次幂”是指“凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂的因式选取指数最大的”；当分母是多项式时，一般应先因式分解．

【类型二】 分母是单项式分式的通分

通分．

(1)c bd ，ac 2b

2； (2)b 2a 2c ，2a 3bc

2； (3)45y 2z ，310xy 2，5－2xz 2

. 解析：先确定最简公分母，找到各个分母应当乘的单项式，分子也相应地乘以这个单项式． 解：(1)最简公分母是2b 2d ，

c b

d ＝2bc 2b 2d ，ac 2b 2＝acd 2b 2d ； (2)最简公分母是

6a 2bc 2，b 2a 2c ＝3b 2c 6a 2bc 2，2a 3bc 2＝4a 36a 2bc 2； (3)最简公分母是10xy 2z 2，

45y 2z ＝8xz 10xy 2z 2，310xy 2＝3z 210xy 2z 2，5－2xz 2＝－－25y 210xy 2z 2. 方法总结：通分时，先确定最简公分母，然后根据分式的基本性质把各分式的分子、分母同时乘以一个适当的整式，使分母化为最简公分母．

【类型三】 分母是多项式分式的通分

通分．

(1)a 2（a ＋1），1a 2－a

； (2)2mn 4m 2－9，3m 4m 2－6m ＋9

. 解析：先把分母因式分解，再确定最简公分母，然后再通分．

解：(1)最简公分母是2a (a ＋1)(a －1)，

a 2（a ＋1）＝a 2（a －1）2a （a ＋1）（a －1）

， 1a 2－a ＝2（a ＋1）2a （a ＋1）（a －1）

； (2)最简公分母是(2m ＋3)(2m －3)2，

2mn 4m 2－9＝2mn （2m －3）（2m ＋3）（2m －3）2，3m 4m 2－6m ＋9＝3m （2m ＋3）（2m ＋3）（2m －3）2

. 方法总结：①确定最简公分母是通分的关键，通分时，如果分母是多项式，一般应先因式分解，再确定最简公分母；②在确定最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商．

探究点二：异分母分式的加减法

【类型一】 异分母分式的加减法运算

计算： (1)x x 2－4－2x 2＋4x ＋4

； (2)a 2－4a ＋2

＋a ＋2； (3)m m －n －n m ＋n ＋2mn m 2－n

2. 解析：依据分式的加减法法则，(1)、(3)中先找出最简公分母分别为(x －2)(x ＋2)2、(m ＋n )(m －n )，再通分，然后运用同分母分式加减法法则运算；(2)中把后面的加数a ＋2看成分母为1的式子进行通分．

解：(1)原式＝x （x ＋2）（x －2）－2（x ＋2）2

＝x （x ＋2）（x ＋2）2（x －2）－2（x －2）（x ＋2）2（x －2）

＝x （x ＋2）－2（x －2）（x ＋2）2（x －2）＝x 2＋4（x ＋2）2（x －2）

； (2)原式＝a 2－4＋（a ＋2）2a ＋2＝2a （a ＋2）a ＋2

＝2a ； (3)原式＝m （m ＋n ）（m ＋n ）（m －n ）－n （m －n ）（m ＋n ）（m －n ）＋2mn （m ＋n ）（m －n ）＝m 2＋2mn ＋n 2（m ＋n ）（m －n ）

＝m ＋n m －n

. 方法总结：分母是多项式时，应先因式分解，目的是为了找最简公分母以便通分．对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整体看成1，再进行通分运算．

【类型二】 分式的混合运算

计算：

(1)(x 2－4x ＋4x 2－4－x x ＋2)÷x －1x ＋2

； (2)a －52a －6÷(16a －3

－a －3)． 解：(1)原式＝[（x －2）2（x －2）（x ＋2）－x x ＋2]÷x －1x ＋2

＝(x －2x ＋2－x x ＋2)÷x －1x ＋2＝－2x ＋2·x ＋2x －1＝－2x －1

； (2)原式＝a －52a －6÷(16a －3－a 2－9a －3

) ＝

a －52（a －3）÷（5＋a ）（5－a ）a －3 ＝a －52（a －3）·a －3（5＋a ）（5－a ）

＝－110＋2a

. 方法总结：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后加减，如果遇到括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．

探究点三：分式运算的化简求值

【类型一】 先化简，再根据所给字母的值求分式的值

先化简，再求值：(1x －y ＋1x ＋y )÷2x x 2＋2xy ＋y 2

，其中x ＝1，y ＝－2. 解析：化简时，先把括号内通分，把除法转化为乘法，把多项式因式分解，再约分，最后代值计算．

解：原式＝2x （x －y ）（x ＋y ）·（x ＋y ）22x ＝x ＋y x －y

， 当x ＝1，y ＝－2时，原式＝1＋（－2）1－（－2）

＝－13. 方法总结：分式的化简求值，其关键步骤是分式的化简．要熟悉混合运算的计算顺序，式子化到最简再代值计算．

【类型二】 先化简，再选择字母的值求分式的值

先化简，再选择使原式有意义的数代入求值：2x ＋6x 2－4x ＋4·x －2x 2＋3x －1x －2

. 解析：先把分式化简，再选数代入，x 可取除－3、0和2以外的任何数．

解：原式＝2（x ＋3）（x －2）2·x －2x （x ＋3）－1x －2

＝

2x （x －2）－1x －2 ＝2－x x （x －2）

＝－1x

. 当x ＝1时，原式＝－1.(x 取除－3、0和2以外的任何数)

方法总结：取数代入求值时，要注意所选择的值一定满足分式分母不为0，这包括原式及化简过程中的每一步的分式都有意义．

【类型三】 整体代入求值

已知实数a 满足a 2＋2a －8＝0，求1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1（a ＋1）（a ＋3）

的值． 解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解进行约分，然后进行减法运算，最后整体代值计算．

解：1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1（a ＋1）（a ＋3）＝1a ＋1－a ＋3（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋1）（a ＋3）＝1a ＋1

－a －1（a ＋1）2＝2（a ＋1）2＝2a 2＋2a ＋1

. ∵a 2＋2a －8＝0，∴a 2＋2a ＝8，∴原式＝28＋1＝29

. 方法总结：利用“整体代入”思想化简求值时，先把要求值的代数式化简，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，再整体代入即可．

探究点四：运用分式解决实际问题

有一客轮往返于重庆和武汉之间，第一次往返航行时，长江的水流速度为a 千米/小时；第二次往返航行时，正遇上长江汛期，水流速度为b 千米/小时(b ＞a )．已知该船在两次航行中，静水速度都为v 千米/小时，问该船两次往返航行所花时间是否相等，若你认为相等，请说明理由；若你认为不相等，请分别表示出两次航行所花的时间，并指出哪次时间更短些？

解析：重庆和武汉之间的路程一定，可设其为s ，所用时间＝顺流时间＋逆流时间，注意顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度，把相关数值代入，比较即可．

解：设两次航行的路程都为s .

第一次所用时间为s v ＋a ＋s v －a ＝2v s v 2－a

2， 第二次所用时间为s v ＋b ＋s v －b ＝2v s v 2－b

2， ∵b ＞a ，∴b 2＞a 2，

∴v 2－b 2＜v 2－a 2，

∴2v s v 2－b 2＞2v s v 2－a 2

. ∴第一次的时间要短些．