高中数学选修几何证明选讲
高中数学选修 几何证明选讲相关知识点
高中数学选修4-4，几何证明选讲相关知识点相似三角形的判定及有关性质知识点1：比例线段的有关定理平行线等分线段定理：推论1：推论2：平行线等分线段成比例定理：推论：(1)(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．知识点2：相似图形1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.叫做相似比（或相似系数）2、相似三角形的判定方法预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理的基本图形语言：数学符号语言表述是：BC DE // ∴ADE ∽ABC ．判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ； （2）相似三角形的周长比等于 ；（3）相似三角形的面积比等于 ；（4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、直角三角形的射影定理从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：圆的章节知识点总结 一、轨迹1、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；2、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；3、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；4、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线； 二、垂径定理弦：连接圆上任意两点之间的线段叫做弦.垂径定理：推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论4：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC 弧BD 六、 圆心角定理圆心角的定义：顶点在圆心且两边与圆相交的角叫做圆心角. 圆心角定理：推论1：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 推论2：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等； 推论3：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等； 七、圆周角定理圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角定理： .推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；（90的圆周角所对的弧是半圆，所对的弦是直径）PBO N M O 注：此推论实际上是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.八、圆内接四边形圆内接四边形：如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.圆的内接四边形的性质定理：圆的内接四边形的判定定理1： 圆的内接四边形的判定定理2： 九、 切线的性质与判定定理1、切线的定义：当直线和圆有且只有一个公共点时，我们把这条直线叫做圆的切线. （1）判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 图形语言：（2）性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经经过圆心.2、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，该点和切点之间的线段的长叫做该点到圆的切线长.切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等且该点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 图形语言：3、弦切角：顶点在圆上，且一边和圆相交而另一边和圆相切的角叫做弦切角.(弦与切线的夹角叫做弦切角)弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.4、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等. 符号语言： ∵在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，∴PA PB PC PD 图形语言：PO DCBA O E DCBAEDC B A推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项. 符号语言：∵在⊙O 中，直径AB CD ， ∴2CE AE BE5、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.符号语言：∵在⊙O 中，PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE6、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.符号语言：∵在⊙O 中，PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB 图形语言：。
选考部分(理)_选修4-1_几何证明选讲
因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.
于是∠B＝∠C.
因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异
侧的两点，所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角，故∠E＝ ∠B.所以∠E＝∠C.
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2．证明：(1)依题意，得∠AEB＝∠ACP＝90° ， 所以在 Rt△ACP 中，∠P＝90° －∠PAB； 在 Rt△ABE 中，∠ABE＝90° －∠PAB； 所以∠P＝∠ABE. (2)连接 AD、BD，在 Rt△ABD 中，CD2＝AC· BC. 由(1)得△BCF∽△PCA， BC CF 所以 PC ＝AC， 即 AC· BC＝CF· PC， 故 CD2＝CF· CP.
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7．证明：(1)因为 MA 是圆 O 的切线，所以 OA⊥AM， 又因为 AP⊥OM，所以在 Rt△OAM 中，由射影定理知， OA2＝OM· OP. (2)因为 BK 是圆 O 的切线， BN⊥OK， 同(1)， OB2＝ON· 有 OK， ON OM 又 OB＝OA，所以 OP· OM＝ON· OK，即 OP ＝ OK ，又∠NOP＝ ∠MOK， 所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90° .
选 考 部 分
选 修 41
考点例题
冲关集训 课时作业
选考部分
选修4－1 几何证明选讲
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考点例题
例 1：思路点拨：(1)首先判定四边形 CBED 为平行四边形，从而 可得 CB∥DE；(2)由三角形相似转化为边的比例关系，从而可求 BM 的长度．
解：(1)证明：∵E 是 AB 的中点，∴AB＝2EB. ∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又∵AB∥CD， ∴四边形 CBED 是平行四边形．
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∴△PAB∽△CAE，∴∠ECA＝∠APB＝90° ， 即 AC⊥EC. 由切割线定理，得 AB2＝AP· AD， ∴AB＝5，PB＝3，PB∶PA＝3∶4＝EC∶AC， EC 3 ∴AC＝4.
选修41几何证明选讲
山 东
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解 题策略
三、相似三角形的判定及性质 1．判定定理
提素能 高效题 组训练
山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
菜 单 隐藏
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题 透析解
与△ABC相似，则x的值为(
)
题策略
提素能 高效题 组训练
A．1 C．3
B．2 D．4
解析：由题意知，△ACD和△CBD与△ABC相似，故x＝2.
山 东
答案：B
金 太
阳
书
业
有
限
公
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2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知
2．(课本习题改编)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，
研考向 要点知 识探究
悟真题
透析解 题策略
一、平行线等分线段定理
提素能 高效题
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线
组训练
上截得的线段也 相等 ．
山
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 东
必 平分第三边 ．
金 太
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直
阳 书
线平分另一腰 ．
选修4－1 几何证明选讲
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（文）
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究
悟真题
高中数学 几何证明选讲基础知识复习教案 新人教A版选修4
几何证明选讲基础知识复习一、选考内容《几何证明选讲》考试大纲要求：（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.（2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.（4）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）.（5）了解下面定理：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于点O，其α',围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取夹角为l平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记β＝0），则：(i) β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；(ii) β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(iii)β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.二、基础知识填空：1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。
推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。
2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段____________。
3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项。
高考数学 几何证明选讲 湘教选修4-1
于 E.
试证明：(1)AB·AC＝BC·AD；
(2)AD3＝BC·CF·BE.
【证明】(1)Rt△ABC 中，AD⊥BC，
∴S△ABC＝ 1 AB·AC＝ 1 BC·AD.∴AB·AC＝BC·AD.
2
2
(2)Rt△ADB 中，DE⊥AB，
由射影定理可得 BD2＝BE·AB，同理 CD2＝CF·AC.
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M，
∴DM=1/2DC=5/2，
则BM=BD+DM=5+5/2=15/2.
∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，
∴S△ABC/S△FCD＝(BC/CD)2＝4.
又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.
又S△ABC＝1/2×BC×AM＝1/2×10×AM＝20，解得AM＝4.
∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.
又 Rt△BAC 中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，
∴AD4＝BE·AB·CF·AC.又 AB·AC＝BC·AD.
即 AD3＝BC·CF·BE.
运用相似三角形的性质解题关键在于求出相似比， 在具体论证过程中，往往是判定定理和性质定理结合 运用，由判定三角形相似得到角相等或对应线段成比 例.
4-1.1相似三角形的判定及有关性质
1.平行线等分线段定理 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段__相__等__， 那么在其他直线上截得的线段也__相__等__． 推论1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 _平__分__第__三__边___． 推论2 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 __平__分__另__一__腰___．
(2)两个直角三角形相似的判定 定理 ①如果两个直角三角形的一个锐角对应_相__等__，那 么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应_成__比__例___，那 么它们相似． ③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直 角三角形的斜边和一条直角边对应_成__比__例___，那么这两 个直角三角形相似．
几何证明选讲专题 人教课标版精品公开PPT课件
B
解：因为，AOC 100o,
O A
所以BOC180o-100o 80o.
C
所以D 1BOC=180o 40o.
2
2
14
例8(2008广州模拟)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BC是直径，MN切⊙O 于A,MAB25o，则ADC 1 1 5 o ．
思路分析解：连接DB. M A
因为BC为直径,
C F
A
D
O
E B
Ж 解 析连 接 OB， OC， 则 ABAC
102-62 8． 由 切 线 长 定 理 ， 得 EDEB， FDFC， AEF的 周 长 是 ２ ８16．
例 16等 腰 梯 形 ABCD 的 腰 AD 的 长 为 3， e O 为 其 内
切 圆 ， 则 梯 形 ABCD 的 的 中 位 线 的 长 是 （ B ）
6
教学目标（1）
通过选择题和填空题的练习，提高单 位时间内信息的输入和输出量,使主导作用 和主体作用得到充分的发挥,使学生进一 步感受、体会选择题的应试策略和填空题 的解题技巧，逐步培养学生灵活应变的能 力,落实双基.
例 1 (2008广 东 ） 已 知 P A 是 圆 O 的 切 线 ， 切 点 为 A ， P A2, A C 是 圆 O 的 直 径 ， P C 与 圆 O 相 交 于 点 B ， P B1 ,则 圆 O 的 半 径 R （ 3 ）
4—1
几何证明选讲
———专题讲座
1
考试内容与要求
•理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定 理． 掌握以下定理的证明： （1）直角三角形射影定理； （2）圆周角定理； （3）圆的切线判定定理与性质定理； （4）相交弦定理； （5）圆内接四边形的性质定理与判定定理； （6）切割线定理.
高考数学总复习：选修4 1《几何证明选讲》1
逻辑不严密：在证明过 程中逻辑链条可能不严 密导致结论不成立或出 现漏洞。
忽视隐含条件：在几何 问题中有时会存在一些 隐含条件如果忽视这些 条件可能会导致证明过 程出错。
图形绘制错误：在解题 过程中如果图形绘制不 准确可能会导致证明过 程出现偏差或错误。
几何证明的拓展和提高
第五章
几何证明的进阶内容
掌握多种几何证明方法如反证法、归纳法等。 理解并运用各种几何定理和性质如相似三角形、余弦定理等。 提高逻辑推理能力能够根据已知条件进行合理的推断和证明。 培养空间想象能力能够理解并解决立体几何问题。
几何证明的数学思想
演绎推理：从 已知条件出发 按照严格的逻 辑规则推出结 论的思维方式。
归纳推理：从 大量具体事例 中概括出一般 原理的思维方
综合法：从已知条件出发经过推理逐步推导出结论的方法。 归纳法：从一些个别情况出发经过归纳总结出一般结论的方法。 反证法：通过否定结论来证明结论的方法。 演绎法：从一般到特殊的推理方法即从一般原理推导出特殊情况的结论。
几何证明的实践应用
第三章
几何证明在日常生活中的应用
建筑学：证明几何原理在建筑设计中的应用 物理学：解释物理现象和原理如力的合成与分解 计算机科学：算法设计和数据结构的基础 经济学：在决策分析和资源优化中的应用
常见题型：求 证题、证明题、
作图题等
几何证明的基本步骤
理解题意：明确题目给出的条件和 需要证明的结论
推导过程：按照证明方法逐步推导 得出结论
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确定思路：根据题意和已知条件选 择合适的证明方法
检查结果：检查推导过程方案。
添加标题
几何证明在经济学中 的应用：在金融、统 计学、市场分析等领 域中几何证明可以用 来证明经济理论和模 型的正确性以及解释
高考数学一轮复习 几何证明选讲课件 文(选修4-1)
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4.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项 ；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边 的 比例中项 .
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问题探究2：射影定理的应用条件是什么？ 提示：必须在直角三角形内.
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5.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的 一半 . (2)圆心角定理：圆心角的度数等于 它所对弧的度数 . 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 ；同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等 . 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ；90°的圆周角 所对的弦是 直径 .
答案：A
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21
2．如图所示，已知圆 O 的直径 AB＝ 6，C 为圆 O 上一点， 且 BC＝ 2，过点 B 的圆 O 的切线交 AC 延长线于点 D，则 DA 等于( )
A．1 B．2 C. 6 D．3
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22
解析：∵AB 为直径，∴∠ACB＝90°，又 AB＝ 6，BC＝ 2， 得 AC＝2.BD 是圆 O 的切线，则 AB⊥BD，由射影定理得 BC2＝ AC·CD.故 CD＝1，所以 AD＝2＋1＝3.故选 D.
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9
(2)相似三角形的性质 性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于 相似比 ； ②相似三角形周长的比等于 相似比 ； ③相似三角形面积的比等于 相似比的平方 ； ④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似 比，外接圆(或内切圆)的面积比等于 相似比的平方 .
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7.圆的切线的性质及判定定理
(1)性质 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 半径 . 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点 . 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过 圆心 .
人教版高中数学选修总复习：4-1《几何证明选讲》ppt课件
(2)如图，连接 CE，因为∠CBE＝90°，所以过 B，E，F，C 四点 的圆的直径为 CE，由 DB＝BE，有 CE＝DC，又 BC2＝DB·BA＝ 2DB2， 所以 CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2. 而 DC2＝DB·DA＝3DB2，故过 B，E，F，C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比值为12.
[互动探究] 本例条件“EF＝3”若变为“DEAE＝34”试求 EF 的长． 解析
如图，延长 AD、BC 交于点 P， ∵CD∥AB， ∴PPAD＝CADB ＝21，
又∵DEAE＝34，∴DADE＝37. ∴PPDE＝170.又∵PPDE＝CEDF ， ∴EF＝170×CD＝270.
• [规律方法]
解析 ∵E，F 分别是 BA 和 BC 的中点， ∴EF∥AC 且 EF＝12AC， ∴AC＝46. 答案 46
(2)(2013·陕西高考)如图，AB 与 CD 相交 于点 E，过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延 长线交于点 P，已知∠A＝∠C，PD＝ 2DA＝2，则 PE＝________. 解析 ∵PE∥BC，∴∠C＝∠PED. 又∠C＝∠A，故∠A＝∠PED. 又∠P＝∠P，故△PED∽△PAE， 则PPAE＝PPDE，∴PE2＝PA·PD.
在 Rt△OCD 中，
DE＝ODO·CCD＝1×32
2＝2
3
2 .
则 CE＝ DC2－DE2＝
8－98＝83，
EO＝OC－CE＝3－83＝13.
8 因此ECOE＝31＝8.
3
答案 8
• 【创新探究】 巧构相似三角形求面积之比
•
(2014·广东揭阳一模)如图所示，AB是⊙O
的直径，过圆上一点E作切线ED⊥AF，交AF的延长线于
高考数学总复习 第1讲 几何证明选讲课件 理 新人教A版选修41
已知如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC ＝6，DB＝5，则AD的长为________.
第十七页，共44页。
1. 相等 也相等 平分第三边 平分另一腰 成比例 成 比例
想一想：提示：正确．如果一条直线截三角形的两边或两 边的延长线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行 (píngxíng)于三角形的第三条边．该命题正确．
[ 证 明 ] (1) 因 为 D ， E 分 别 为 AB ， AC 的 中 点 ， 所 以 DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行(píngxíng)四边 形， 所以 CF＝ BD ＝AD.而CF∥AD， 连接 AF，所以四边形 ADCF是平行(píngxíng)四边形，故CD ＝AF.
第三十二页，共44页。
例3 [2013·东城区模拟] 如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证： ABCC33＝ABEF.
[审题视点] 由三角形ABC为直角三角形，因此可以利用 射影定理，寻找边AC与AD、AB之间的关系，同理可以得到边 BC 与 BD 、 AB 之 间 的 关 系 ， 再 根 据 △ ADE∽△DBF ， △ADE∽△ABC，得到有关比例式，最终得到所求证(qiúzhèng) 的结果．
选修4－1 几何(jǐ hé)证明选讲
第一页，共44页。
第1讲 相似三角形的判定及有关性质
第二页，共44页。
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解平行线分线段成比例定理． 2. 会证明、应用(yìngyòng)直角三角形射影定理.
第三页，共44页。
1个重要应用 射影定理的两个条件(tiáojiàn)：一是直角三角形；二是斜边 上的高，二者缺一不可；应用射影定理可求直角三角形的边 长、面积等有关量，同时还可用于研究相似问题，比例式等问 题．
高中数学第十一章 几何证明选讲(选修4-1)
第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节 相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点， 又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， 所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ， 所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5， 所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中 ，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ， 又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一 平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二 相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角， 故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°， 故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ， 故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ， 所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ， 垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ， 所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三 直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ， 所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ， 所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值． 解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ， 所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值． 解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中， 因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB ， 所以HF BF ＝AF GF ， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点， 所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8， 所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值． 解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ， 所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ， 所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2， 则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2， 其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高， 则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16， 则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ， 所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ， 所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ， 所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ， 因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节 直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2， 根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ， 故PD PA ＝PCPO， 即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二 圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三 与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径． 解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径， 所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°， 从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ， 所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ， 则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4， 所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ， 即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3， 即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ， 则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ， 即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值． 解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ， 又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ， 所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ， 即62＝3PD ， 解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9， 所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°， 由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ， 则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小． 解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°， 所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值． 解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ， 又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形． 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3， 所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。
高三数学二轮复习 428几何证明选讲(选修41) 课件 理 人教版
(1)求证：A，P，O，M 四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM 的大小． [分析] 要证 A、P、O、M 四点共圆，可考虑四边形 APOM 的对角互补；根据四点共圆，同弧所对的圆周角 相等，进行等量代换，进而求出∠OAM＋∠APM 的大小．
[解] (1)证明：连接 OP，OM， ∵AP 与⊙O 相切于点 P， ∴OP⊥AP， ∵M 是⊙O 的弦 BC 的中点， ∴OM⊥BC， 于是∠OPA＋∠OMA＝180°. 由圆心 O 在∠PAC 的内部，可知四边形 APOM 的对角 互补，所以 A，P，O，M 四点共圆．
∴AB＝ 8＝2 2(舍去负值)． 答案：2 2
4．(2011·广东模拟)如图所示，AB 是圆 O 的直径， CB 切圆 O 于 B 点，CD 切圆 O 于 D 点，交 BA 的延长线 于 E 点，若 AB＝3，ED＝2，则 BC 的长为________．
∵CD2＝AD·DB，∴CD＝ AD·DB＝ 2×6＝2 3.
方法二：(1)如图，在 Rt△CAD 和 Rt△BAC 中，∠A 为公共角，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴Rt△BAC∽Rt△CAD， ∴AACB＝AADC，∴AC2＝AD·AB， ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6. (2)由勾股定理得 AB＝ 42＋4 32＝8. 由三角形的面积相等得 CD·AB＝AC·BC，即 CD＝ACA·BBC＝4×84 3＝2 3. 答案：(1)6 (2)2 3
③定理 2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成 比例，那么它们相似．
④定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边 与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这 两个直角三角形相似．
(3)相似三角形的性质 ①相似三角形的性质(一) (ⅰ)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角 平分线的比都等于相似比． (ⅱ)相似三角形周长的比等于相似比． (ⅲ)相似三角形面积的比等于相似比的平方． ②相似三角形的性质(二)
高中数学选修4-1《几何证明选讲》全套教案(55页)(经典)
A1 A2
m=（m、n 为自源自数），那么怎样证明B1 B2
m
=
？并使学生试证，
A2 A3 n
B2 B3 n
并概括为：
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，那么
A1 A2 = B1B2 。 A2 A3 B2 B3
最后，使学生类比着平行线等分线段定理的叙述，试述此定理，在此过程中介绍“对应 线段”的使用，并以正反之例予以明确。
（三）应用举例
例 1（1）已知：如图 5， l1// l2 // l3 ，AB=3，DF=2，EF=4，求 BC。 （2）已知：如图 6， l1// l2 // l3 ，AB=3，BC=5，DB=4.5，求 BF。
三条平行线 l1// l2 // l3 在直线 k1 、 k2 上截出线段 A1 A2 、 A2 A3 、 B1B2 、 B2 B3 ，如果
A1 A2
2
= ，那么
B1 B2
2
= ，即
A1 A2
= B1B2
。
A2 A3 3
B2 B3 3
A2 A3 B2 B3
继而使学生仿照前面的证明，证明这个情况。
进一步提出：
（3）已知：如图 7， l1// l2 // l3 ，AB=3，BC=5，DF=10，求 DE。 （4）已知：如图 8， l1// l2 // l3 ，AB=a，BC=b，DF=c，求 EF。
其中（1）由学生口答、教师追问理由；（2）~（4）则在学生充分思考的基础上，使其 口答。
例 2．已知线段 PQ，PQ 上求一点 D，使 PD：DQ=4：1。 先使学生讨论，而后使他们答出求法，其中既肯定“量法”，又指明“量法”的不足， 最后使他们实践。 （四）小结 1．本节课在平行线等分线段定理的基础上，学习了平行线分线段成比例定理，平行线 等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情况，“证明”平行线分线段成比例定理是 通过转化为平行线等分线段定理来解决的。 2．使用平行线分线段成比例定理时，一要看清平行线组；二要找准平行线组截得的对 应线段，否则就会产生错误。 （五）布置作业 补充（1）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PD：PQ=4：1； （2）已知线段 PQ，在 PQ 上求一点 D，使 PQ：DQ=4：1
高考数学-选修部分(1)《几何证明选讲》知识点归纳与练习(内含答案)
《几何证明选讲》一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
高考数学一轮复习第二十三章选修系列23.1几何证明选讲
3.(2015江苏,21A,10分,0.582)[选修4—1:几何证明选讲] 如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆☉O的弦AE交BC于点D. 求证:△ABD∽△AEB.
证明 因为AB=AC,所以∠ABD=∠C. 又因为∠C=∠E,所以∠ABD=∠E, 又∠BAE为公共角,可知△ABD∽△AEB. 4.(2014江苏,21A,10分,0.60)如图,AB是圆O的直径,C、D是圆O上位于AB异侧的两点. 证明:∠OCB=∠D.
DF= DE DG = , CF CD CB
所以△DGF∽△CBF,由此可得∠DGF=∠CBF. 因此∠CGF+∠CBF=180°,所以B,C,G,F四点共圆. (5分) (2)由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB,连接GB.
由G为Rt△DFC斜边CD的中点,知GF=GC, 故Rt△BCG≌Rt△BFG, 因此,四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍,即
高考数学
(江苏省专用)
第二十三章 选修系列
§23.1 几何证明选讲
五年高考
A组 自主命题·江苏卷题组
1.(2017江苏,21A,10分)[选修4—1:几何证明选讲] 如图,AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C,AP⊥PC,P为垂足. 求证:(1)∠PAC=∠CAB; (2)AC2 =AP· AB.
解析 (1)证明:连接AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连接OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线. (5分) (2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2 3 ,BE= .12 x 2
高考数学复习几何证明选讲2圆理选修市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
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2．(2015·天津)如图，在圆O中，M，N是弦AB的三等分点，
弦CD，CE分别经过点M，N.若CM＝2，MD＝4，CN＝3，则线
段NE的长为( )
8 A.3
B．3
10
5
C. 3
D.2
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答案 A 解析 由题意可得CM×MD＝AM×MB，则2×4＝2AM2， AM＝2.又CN×NE＝AN×NB，即3NE＝4×2，解得NE＝83.
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探究1 (1)圆周角定理是一个十分重要的定理，涉及圆周角 相等的结论很难用其他结论代替．由圆周角定理易知，同一条 弧所对的圆心角是它所对的圆周角的2倍．
(2)三角形的内心是内切圆的圆心，是三角形三条内角平分 线的交点．
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思考题1 (1)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝ 4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．
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(1)证明：EF∥BC； (2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2 EBCF的面积．
3 ，求四边形
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【解析】 (1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥ BC，所以AD是∠CAB的平分线．
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF， 故AD⊥EF.从而EF∥BC.
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探究2 与圆的切线有关的问题及处理方法 (1)证明直线是圆的切线的常用方法： ①若已知直线与圆有公共点，则需证明圆心与公共点的连 线垂直于已知直线即可． ②若已知直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直 线的距离等于圆的半径．
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(2)求弦切角的问题往往转化为求同弧上的圆周角． (3)求切线长问题往往利用切线长定理和切割线定理． 提醒：利用弦切角定理时，一定要注意是弦切角与同弧上 的圆周角相等．
选修 几何证明选讲
第1讲相似三角形的判定及有关性质最新考纲 1.了解平行线等分线段定理和平行截割定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理．知识梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．(2)相似三角形的性质定理①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．3．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高， 则有CD 2＝AD ·BD ，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ．诊 断 自 测1.如图，已知a ∥b ∥c ，直线m ，n 分别与a ，b ，c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________．解析 由平行线等分线段定理可直接得到答案． 答案 322．(2014·广东卷)如图，在平行四边形ABCD 中，点E在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析 ∵△AEF ∽△CDF ，∴S △CDF S △AEF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝32＝9.答案 93.如图，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则EC ＝________． 解析 在Rt △ADB 中， DB ＝AB 2－AD 2＝7， 依题意得，△ADB ∽△ACE ， ∴DB EC ＝ADAC ，可得EC ＝DB ·AC AD ＝27. 答案 274.如图，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 是AB 中点，DE ⊥AB 于E ，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．解析 ∵E 为AB 中点，∴AE AB ＝12，即AE ＝12AB ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝32AB .又∵Rt △AED ∽Rt △ACB ，∴相似比为AE AC ＝13.故△ADE 与△ABC 的相似比为1∶ 3. 答案 1∶ 35.(2015·湛江模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交于BC 于F ，则BFFC ＝________．解析 如图，过点D 作DG ∥AF ，交BC 于点G ，易得FG ＝GC ，又在△BDG 中，BE ＝DE ，即EF 为△BDG 的中位线，故BF ＝FG ，因此BF FC ＝12. 答案 12考点一 平行截割定理的应用【例1】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1， 则AB 的长为________．解析由⎩⎨⎧DE ∥BC ，EF ∥CD ，BC ＝3，DE ＝2⇒AE AC ＝AF AD ＝DE BC ＝23，又DF ＝1， 故可解得AF ＝2，∴AD ＝3， 又AD AB ＝23，∴AB ＝92. 答案 92规律方法 利用平行截割定理解决问题，特别要注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果．【训练1】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2.E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析 如图，延长AD ，BC 交于一点O ，作OH ⊥AB 于点H .∴x x ＋h 1＝23，得x ＝2h 1，x ＋h 1x ＋h 1＋h 2＝34，得h 1＝h 2. ∴S 梯形ABFE ＝12×(3＋4)×h 2＝72h 2， S 梯形EFCD ＝12×(2＋3)×h 1＝52h 1， ∴S 梯形ABFE ∶S 梯形EFCD ＝7∶5. 答案 7∶5考点二 相似三角形的判定及性质【例2】 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED ，CB 延长线交于一点F . 求证：FD 2＝FB ·FC .证明 ∵E 是Rt △ACD 斜边中点，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠1， ∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A ，∵∠FDC ＝∠CDB ＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD ＝∠ACB ＋∠A ＝90°＋∠A ，∴∠FBD ＝∠FDC ，∵∠F 是公共角，∴△FBD ∽△FDC ， ∴FB FD ＝FDFC ，∴FD 2＝FB ·FC .规律方法 (1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等． 【训练2】 (2013·陕西卷)如图，AB 与CD 相交于点E ，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A ＝∠C ，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________． 解析 ∵PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ，又∠C ＝∠A ，则有∠A ＝∠PED ，又∠P 为公共角， 所以△PDE ∽△PEA ，∴PD PE ＝PEP A ，即PE 2＝PD ·P A ＝2×3＝6，故PE ＝ 6. 答案6考点三 直角三角形射影定理及其应用【例3】 如图所示，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明 ∵∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°， ∴∠H ＝∠GBF .∵∠AFH ＝∠GFB ＝90°， ∴△AFH ∽△GFB .∴HF BF ＝AF GF ， ∴AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，∴DF 2＝AF ·BF ， 所以DF 2＝GF ·HF .规律方法 (1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解决直角三角形问题时常用的方法．【训练3】 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB于点D ，AD ＝4，sin ∠ACD ＝45，则CD ＝______，BC ＝______．解析 在Rt △ADC 中，AD ＝4，sin ∠ACD ＝AD AC ＝45，得AC ＝5，CD ＝AC 2－AD 2＝3，又由射影定理AC 2＝AD ·AB ，得AB ＝AC 2AD ＝254.∴BD ＝AB －AD ＝254－4＝94，由射影定理BC 2＝BD ·AB ＝94×254，∴BC ＝154. 答案 3 154(建议用时：50分钟)一、填空题1．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形为________． 解析 Rt △ACE 与Rt △FCD 和Rt △ABD 各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE ＝∠A ，故Rt △ACE ∽Rt △FBE .答案 △FCD 、△FBE 、△ABD2. 如图，在△ABC 中，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，AN ，CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．解析 ∵M ，N 分别是AB ，BC 中点，故MN 綉12AC ， ∴△MON ∽△COA ，∴S △MON S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫MN AC 2＝14.答案 1∶43. (2015·渭南模拟)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________． 解析 由于∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC .又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2. 答案 24. (2014·佛山质检)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a 2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________．解析 连接DE 和BD ，依题知，EB ∥DC ，EB ＝DC ＝a2，CB ⊥AB ，∴EBCD 为矩形，∴DE ⊥AB ，又E 是AB 的中点，所以△ABD 为等腰三角形．故AD＝DB ＝a ，∵E ，F 分别是AD ，AB 的中点，∴EF ＝12DB ＝12a . 答案 a 25. 如图，△ABC ∽△AFE ，EF ＝8，且△ABC 与△AFE 的相似比是3∶2，则BC 等于________． 解析 ∵△ABC ∽△AFE ， ∴BC EF ＝32.又EF ＝8，∴BC ＝12. 答案 126．已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD ＞BD )，若CD ＝6，则AD ＝________．解析 如图，连接AC ，CB ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.设AD ＝x ，∵CD ⊥AB 于D ， ∴由射影定理得CD 2＝AD ·DB ， 即62＝x (13－x )，∴x 2－13x ＋36＝0，解得x 1＝4，x 2＝9. ∵AD ＞BD ，∴AD ＝9. 答案 97．(2013·广东卷)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________．解析 在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝32，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝212.答案2128. (2014·茂名模拟)如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________． 解析 ∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF ， ∴4EF ＝BC BC －BF，BC BF ＝12EF ，∴4(BC －BF )＝12BF ，∴BC ＝4BF ， ∴BC BF ＝4＝12EF ，∴EF ＝3. 答案 39. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝________． 解析 ∵EF ∥AD ∥BC ，∴△OAD ∽△OCB ， OA ∶OC ＝AD ∶BC ＝12∶20，△OAE ∽△CAB ，OE ∶BC ＝OA ∶CA ＝12∶32， ∴EF ＝2×1232×20＝15. 答案 15 二、解答题10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，点F 在BC 上，且CF ＝13BC .求证： (1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明 设AB ＝AC ＝3a ， 则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a .(1)CE CB ＝2a 32a＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23，∴CE CB ＝CF CA .又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，由∠BAC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC.(2)由(1)得EF＝2a，故AEEF＝a2a＝22，ADBF＝2a22a＝22，∴AEEF＝ADFB.∵∠DAE＝∠BEF＝90°，∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC.11．如图，已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B，D，H，E四点共圆；(2)EC平分∠DEF.证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°，于是∠EHD＝∠AHC＝120°.因为∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的角平分线，∠HBD＝30°，由(1)知B，D，H，E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°，因为AE＝AF，AD为角平分线，所以EF⊥AD，又∠AHE＝∠EBD＝60°，所以∠CEF＝30°，所以EC平分∠DEF.12. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD. ∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶DC，∴DE·DC＝AE·BD.第2讲直线与圆最新考纲 1.理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论；2.掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．知识梳理1．圆周角定理与圆心角定理(1)圆周角定理及其推论①定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．②推论：(ⅰ)推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．(ⅱ)推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．2．弦切角的性质弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．3．圆的切线的性质及判定定理(1)定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)推论：①推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．②推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．4．与圆有关的比例线段(1)圆内接四边形的性质定理①定理1：圆内接四边形的对角互补．②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． (2)圆内接四边形的判定定理及推论①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． ②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．诊 断 自 测1. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________． 解析 连接CP .由推论2知∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4. 答案 6.42.如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ，D 是优弧BC ︵上的点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝______．解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°， ∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3．(2014·陕西卷)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．解析 利用相似三角形的性质求解． ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BCEF ，∴EF ＝3. 答案 34.(2015·广州调研)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________．解析 连接BD ，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°. 答案 125°5．如图所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径r ＝________． 解析 设⊙O 的半径为r (r ＞0)， ∵P A ＝1，AB ＝2，∴PB ＝P A ＋AB ＝3. 延长PO 交⊙O 于点C ，则PC ＝PO ＋r ＝3＋r .设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，P A ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r )，则r ＝ 6. 答案6考点一 圆周角、弦切角及圆的切线问题【例1】 如图所示，⊙O 的直径为6，AB 为⊙O 的直径，C为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于D 、E . (1)求∠DAC 的度数； (2)求线段AE 的长．解 (1)由已知△ADC 是直角三角形，易知∠CAB ＝30°，由于直线l 与⊙O 相切，由弦切角定理知∠BCF ＝30°， 由∠DCA ＋∠ACB ＋∠BCF ＝180°，又∠ACB ＝90°， 知∠DCA ＝60°，故在Rt △ADC 中，∠DAC ＝30°.(2)法一 连接BE ，如图1所示，∠EAB ＝60°＝∠CBA ，AB 为公共边，则Rt △ABE ≌Rt △BAC ，所以AE ＝BC ＝3.图1 图2法二 连接EC ，OC ，如图2所示，则由弦切角定理知，∠DCE ＝∠CAE ＝30°，又∠DCA ＝60°，故∠ECA ＝30°，又因为∠CAB ＝30°，故∠ECA ＝∠CAB ，从而EC ∥AO ，由OC ⊥l ，AD ⊥l ，可得OC ∥AE ，故四边形AOCE 是平行四边形，又因为OA ＝OC ，故四边形AOCE 是菱形，故AE ＝AO ＝3.规律方法 (1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练1】 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小． (1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角． 所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD ＝AEAC ， 即AB ·AC ＝AD ·AE又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ， 故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE ， 则sin ∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角， 所以∠BAC ＝90°.考点二 与圆有关的比例线段【例2】 如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B ，C ，∠APC 的角平分线分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，求证： (1)AD ＝AE ； (2)AD 2＝DB ·EC .证明 (1)∠AED ＝∠EPC ＋∠C ，∠ADE ＝∠APD ＋∠P AB .因PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD .又P A 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠P AB . 所以∠AED ＝∠ADE .故AD ＝AE .(2)⎭⎬⎫∠PCE ＝∠P AD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△P AD ⇒EC AD ＝PCP A ；⎭⎬⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△P AE ∽△PBD ⇒AE DB ＝P APB .又P A 是切线，PBC 是割线⇒P A 2＝PB ·PC ⇒P A PB ＝PCP A . 故EC AD ＝AEDB ，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB ·EC .规律方法 涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．【训练2】 (2013·天津卷)如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝5，则线段CF 的长为________．解析由切割线定理得AE2＝EB·ED，解得EB＝4.因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝∠ADB.由弦切角定理得∠EAB＝∠EDA，所以∠EAB＝∠ABC，则AE∥BC，因为AC∥BD，所以四边形AEBC是平行四边形．所以AE＝BC＝6，AC＝EB＝4，又由题意可得△CAF∽△CBA，所以CACB＝CFCA，CF＝CA2CB＝83.答案8 3考点三圆内接四边形的判定及应用【例3】(2015·银川一中月考)如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC 是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠P AC的内部，点M是BC 的中点．(1)证明：A、P、O、M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．(1)证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC，于是∠OP A＋∠OMA＝180°.由圆心O在∠P AC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A、P、O、M四点共圆．(2)解由(1)得A、P、O、M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM，由(1)得OP⊥AP，因为圆心O在∠P AC的内部，所以∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.规律方法(1)如果四点与一定点距离相等，那么这四点共圆；(2)如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．【训练3】如下图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C，D两点，交圆O于E，F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．(1)求证：B，D，H，F四点共圆；(2)若AC＝2，AF＝22，求△BDF外接圆的半径．(1)证明因为AB为圆O的一条直径，所以∠AFB＝90°，所以∠BFH＝90°. 又DH⊥BD，所以∠HDB＝90°，所以∠BFH＋∠HDB＝180°，所以B，D，H，F四点共圆．(2)解由题意知AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2＝AC·AD，即(22)2＝2·AD，解得AD＝4，所以BD＝12(AD－AC)＝1，BF＝BD＝1.易证△ADH∽△AFB，所以DHBF＝ADAF，得DH＝2，连接BH，由(1)可知BH为△BDF外接圆的直径，BH＝BD2＋DH2＝3，故△BDF外接圆的半径为3 2.(建议用时：50分钟)一、填空题1. 如图，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝________． 解析 由弦切角定理得，∠MCA ＝∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC AB ＝AC AC 2＋BC2＝AC 5AC ＝55，则sin ∠MCA ＝55. 答案 552．(2014·湖北卷)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________． 解析 由题意QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，∴QA ＝2，P A ＝4，∵P A ＝PB ，∴PB ＝4. 答案 43. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析 因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2，因为CF ∥BD ，所以AF AB ＝CF BD 即34＝2BD ，BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以DC ·DA ＝BD 2即4x 2＝649，所以x ＝43. 答案 434. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝72°，⊙O 过A ，B 两点且与BC 相切于点B ，与AC 交于点D ，连接BD ，若BC ＝5－1，则AC ＝________．解析 由题易知，∠C ＝∠ABC ＝72°，∠A ＝∠DBC ＝36°，所以△BCD ∽△ACB ，所以BC ∶AC ＝CD ∶CB ，又易知BD ＝AD ＝BC ，所以BC 2＝CD ·AC ＝(AC －BC )·AC ，解得AC ＝2. 答案 25. 如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________．解析 由题意知，AB ＝6，AE ＝1，∴BE ＝5.∴CE ·DE ＝DE 2＝AE ·BE ＝5.在Rt △DEB 中，∵EF ⊥DB ，∴由射影定理得DF ·DB ＝DE 2＝5. 答案 56. 如图，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________． 解析 ∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠PBA ＝∠ACB .又∠PBA ＝∠DBA ， ∴∠DBA ＝∠ACB ，又∠A 是公共角， ∴△ABD ∽△ACB .∴AB AC ＝ADAB， ∴AB 2＝AD ·AC ＝mn ， ∴AB ＝mn . 答案mn7. 如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D .若BC ＝2，BD ＝4，则AB 的长为______．解析 ∵AC 、AD 分别是两圆的切线， ∴∠C ＝∠2，∠1＝∠D ，∴△ACB ∽△DAB . ∴BC AB ＝AB BD ，∴AB 2＝BC ·BD ＝2×4＝8. ∴AB ＝22(舍去负值)．答案 2 28．(2013·湖南卷)如图，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．解析 由相交弦定理得P A ·PB ＝PC ·PD . 又P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4， ∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点， ∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32.答案329. (2013·重庆卷)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________． 解析 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°， ∴∠ABC ＝30°.∵AB ＝20， ∴AC ＝10，BC ＝10 3.∵CD 为切线，∴∠BCD ＝∠A ＝60°. ∵∠BDC ＝90°，∴BD ＝15，CD ＝5 3. 由切割线定理得DC 2＝DE ·DB ， 即(53)2＝15DE ，∴DE ＝5. 答案 5 二、解答题10. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，AC 平分∠DAB . (1)求证：OC ∥AD ；(2)若AD ＝2，AC ＝5，求AB 的长． (1)证明 ∵AO ＝CO ，∴∠OAC ＝∠ACO ， ∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠OAC ，∴∠DAC＝∠ACO，∴OC∥AD.(2)解∵直线CD与⊙O相切于点C，∴OC⊥CD，由(1)知OC∥AD，∴AD⊥DC，即∠ADC＝90°，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，∵AD＝2，AC＝5，∴AB＝5 2.11. (2014·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA.所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.12. 如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝F A·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．(1)证明因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC.因为∠EAD＝∠F AB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明因为∠F AB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，所以△FBA∽△FDB，所以FBFD＝F AFB，所以FB2＝F A·FD.(3)解因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°，又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，∠DAC＝12∠EAC＝60°，因为BC＝6，所以AC＝BC tan∠ABC＝23，所以AD＝ACcos∠DAC＝43(cm)．最新考纲 1.了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系；2.了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示；3.理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质；4.理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵；5.理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量．知 识 梳 理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0． 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 11＋a 22×b 21 a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律．2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d (A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc ． (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ， 其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎨⎧（λ－a ）x －by ＝0－cx ＋（λ－d ）y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*) 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则AX 1＝λ1X 1、AX 2＝λ2X 2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值，X 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，X 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．诊 断 自 测1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋（－1）×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－72．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，则AB ＝________． 解析AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 000 3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________． 解析 ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0 ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－1 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10014变换作用下的结果为________． 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0014⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 答案 y ＝14x 2 5．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1562，则A 的特征值为________． 解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一 矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以 (2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎨⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】 已知变换S 把平面上的点A (3，0)，B (2，1)分别变换为点A ′(0，3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1； T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1， 解得⎩⎨⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标． 解 由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1， 故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，故⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求． 规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用． 【训练2】 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤231 2， (1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一 设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ， 则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得⎩⎨⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2. 法二 由公式知若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 312， 则A －1＝＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2. (2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312，X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，且由(1)，得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－7，y ＝5.考点三 求矩阵的特征值与特征向量 【例3】 已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a1对应的线性变换把点P (1，1)变成点P ′(3，3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量． 解 由题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．规律方法 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（λ－a ） －b －c （λ－d ）＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；(2)列方程组⎩⎨⎧（λ－a ）x －by ＝0，－cx ＋（λ－d ）y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－1 3，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 11 λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值． 设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量.(建议用时：50分钟)一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________． 解析 ⎩⎨⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6 2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1等于________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 758⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 23．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤5001的逆矩阵为________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 001＝5，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________． 解析 取l 上两点(0，7)和(3.5，0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7a 91，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a ，91)，(10.5，3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －36 －3的特征值为________． 解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或3 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________．解析 2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎨⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝18．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X 为________．解析 由题意，得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1，∵AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1，0)变换为(2，3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，则矩阵A 为________．解析 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3. 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，得⎩⎨⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎨⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13二、解答题10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值． 解 因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321， 于是矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.12．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0b1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤101 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1.第1讲坐标系最新考纲 1.理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．知识梳理1．极坐标系(1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做极点，从O点引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系．设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝ρcos__θ，y＝ρsin__θ．另一种关系为ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx(x≠0)．2．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos__θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin__θ．诊 断 自 测1．(2014·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ ρcos θ≤1)；∴ρ＝1sin θ＋cos θ(0≤θ≤π2)，故选A.答案 A2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，。