正余弦函数的性质(最值与单调性)

例1.求函数的最大值和最 1.求函数的最大值和最 小值及取最值时x 使原函数取得最大值的x集合 小值及取最值时x的集合 使原函数取得最大值的 集合 是 1 1 π π
y = sin x + 2 2 3
1 π 解：令z = x + 2 3 1 1 要使y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ sin z有最大值 ， 2 2
最小值： 最小值：当 x = -
π
2
= −1
复习： 复习：余弦函数的最大值和最小值
y1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
最大值： 最大值：当
x = 0+2kπ ( k ∈ Z )
有最大值 时，
y =1
最小值： 最小值：当
x = π +2kπ ( k ∈ Z )时， 有最小值 y = −1
因为有负 号，所以 结论要相 反
1 y = − sin z 最大 2
的最大值
y = sin z
最小 ，求函数
变式二： 变式二：若上题加上条件 x ∈ [ 0, π ] 的最大值及最小值
探究： 探究：正弦函数的单调性 y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
π 3 5π … [− 5π ,− 3π ]、 π ， ]、π ， ]…上时， [− [ 上时， 当 在区间
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升， α 曲线逐渐上升，sinα的值由 −1增大到 1 。
7π 5π 3π π π 3π 5π 7π [− − [ [ 当x 在区间 … [− , − ]、 ， ]、 ， ]、 , ] … 2 2 2 2 2 2 2 2
1 π π 即 x + = + 2kπ 2 3 2
π
∴x =
π
3
+ 4kπ ( k ∈ Z )
使原函数取得最小值的x集合 使原函数取得最小值的 集合 是 5π
+ 4kπ , k ∈ Z x | x = − 3
变式一： 变式一：求函数
1 1 π y = − sin x + 2 2 3
x | x = + 4kπ , k ∈ Z 3
1 1 要使y = sin z有最小值- ， 2 2
必须 z = − + 2kπ , k ∈ Z
1 π π x + = − + 2kπ 2 3 2 5π ∴x = − + 4kπ ( k ∈ Z ) 3 2
π
必须 z = 2 + 2kπ , k ∈ Z
1.4.2正弦、余弦函数的性质 正弦、 正弦 最值与单调性） （最值与单调性）
请同学生们 回忆一正余 弦函数的最 值
y1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
最大值： 最大值：当 x =
π
2
+2kπ ( k ∈ Z ) 有最大值 y = 1
+2kπ ( k ∈ Z ) 有最小值 y
(2)cos(−
) = cos
= cos
方法总结： 方法总结：整体划一 例3.求函数的单调增区间
π 1 y = sin x + 3 2
y = sin z
− −
π
2
+ 2kπ ≤ z ≤
π
2
y=sinz的增区间 y=sinz的增区间
+ 2kπ
π
2
+ 2kπ ≤
1 π π x + ≤ + 2kπ 2 3 2
负号：sin提出来； 负号：sin提出来； 提出来
π π
2
3π cos消去 + 2kπ ≤ z ≤ + 2kπ 减 cos消去 2 2 1 π 3π x− ≤ + 2kπ 2 3 2
+ 2kπ ≤
5π 11π + 4kπ ≤ x ≤ + 4kπ 3 3
11π 5π + 4kπ , + 4kπ , k ∈ Z 3 3
y = − sin z y = sin z
增
sin( −α ) = − sin α cos( −α ) = cos α
增
增
减
正弦余弦函数的单调性
函数 y = f (x),若在指定区间任取 x1、x2 ， x1 < x2 ，都有： 且 都有： 1、__________，则f（x）在这个区间上是增函数 、 f (x1) < f (x2 ) ， （ ）在这个区间上是增函数. 2、__________，则f（x）在这个区间上是减函数. 、 f (x1) > f (x2 ) ， （ ）在这个区间上是减函数 函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。 函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。 增函数： 增函数：上升 减函数： 减函数：下降
应
用
举
例
例2：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： ：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
π π 23π 17π (1)sin − 与sin − ; (2)cos − 与cos − ; 18 10 5 4 23π 23π 3π 解：
π
π
探究： 探究：余弦函数的单调性
y
1
−3 5 π π − 2
−2π 3π
− 2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
由余弦函数的周期性知： 由余弦函数的周期性知： 余弦函数在每个闭区间
[−π + 2kπ ,2kπ ](k ∈ Z)
上都是增函数，其值从－ 增大到 增大到1 上都是增函数，其值从－1增大到 ； 而在每个闭区间 [2kπ ,π + 2kπ ](k ∈ Z ) 上都是减函数 其值从1减小到－ 。 其值从 减小到－1。 减小到
π f ( x ) = 2a cos 2 x − + b 3
的定义域为
π 0, 2
b
的值. 的值
小结： 小结： 这节课你学到了什么？ 这节课你学到了什么？
为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来 为了防止出错，以及计算方便， • 求函数的单调增区间 π 1 y = cos − x + 增 3 2 sin( −α ) = − sin α cos( −α ) = cos α π 1 y = cos x − 增 2 3
增
3 π 1 1.求函数 y = − 2 cos 2 x − 6 的周期，最值及单调增 的周期， 求函数
练习： 练习：
区间. 区间
1 2.求函数 f ( x ) = 2sin x + 2sin x − 的最大值及最小值 的最大值及最小值. 求函数 2
2
3.已知函数 已知函数
值域为 [ −5,1] ，求 a 和
5 5 5 17π 17π π = cos cos(− ) = cos 4 4 4 π 3π Q0 < < < π , 且y = cos x在 π ]上是减函数 [0, 4 5 3π π 23π 17π ∴cos < cos 即 ∴cos(− ) < cos(− ) 5 4 5 4
方法总结：利用单调性比较大小时， 方法总结：利用单调性比较大小时，常把自变量的值变到同一 个单调区间上
上时，曲线逐渐下降， 上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 −1 。 α
探究： 探究：正弦函数的单调性
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数在每个闭区间[− + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2 都是增函数，其值从－ 增大到 增大到1； 都是增函数，其值从－1增大到 ； π 3π 而在每个闭区间[ + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z)上都是 2 2 减函数，其值从1减小到 减小到－ 。 减函数，其值从 减小到－1。
观察正余弦函数的图象， 观察正余弦函数的图象，探究其单调性
k = −1, k = 0, k = 1,
17π 11π − 3 , − 3 5π π − 3 , 3 7π 11π 3 , 3
√
变式二
• 求函数的单调增区间
π 1 y = sin − x + 3 2
增
y = sin z 减

y = cos z y = cos z
y = A sin(ω x + ϕ ) → y = A sin z
增 （1）化未知为已知 增
1.求单调区间 1.求单调区间
• 求函数的单调增区间
为了防止出错，以及计算方便，遇到负号要提出来 为了防止出错，以及计算方便，
π 1 y = sin − x + 3 2 π 1 y = − sin x − 3 2
5π π − + 4kπ ≤ x ≤ + 4kπ 3 3
π 5π − + 4kπ , + 4kπ , k ∈ Z 3 3
原函数的增区间
变式一：求函数的单调增区间
π 1 y = sin x + , x ∈ [−2π ,2π ] 3 2
−2π 2π
π 5π − 3 + 4kπ , 3 + 4kπ