随机变量的协方差与相关系数

8
1) X ~ U (0,1), Y X 2 , 求 XY 2）X ~ U ( 1,1), Y X 2 , 求 XY
解1)
1 1 1 1 4 E ( X ) , E (Y ) , E ( XY ) , D( X ) , D(Y ) 2 3 4 12 45 1 2) E ( X ) 0, E ( XY ) 0 12 XY 0.968 1 4 XY 0 12 45
2
考虑用直线
Y aX b
逼近 (X,Y)的所有可能取值点. 1.参数a,b取什么值时,(X,Y)的所有可能取值点 与直线最接近?—如何定义(X,Y)与直线的距离? 2.在什么情况下, (X,Y)的所有可能取值落在一 条直线上?
3.在什么情况下, X与Y没有线性关系?
3
考虑Y与X的线性函数aX+b的”最小距离”:
数a0X+b0表示Y.
--------称
E ( XY ) E ( X ) E (Y ) D ( X ) D (Y )
为X与Y的相关系数.
5
3.3 协方差与相关系数
1. 定义 (p82) 若随机变量 X，Y的期望和方差 都存在, 且DX>0,DY>0，则称 Cov(X, Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}. 为X与Y的协方差. 易见 Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y). 称(P85)
以上EX的结果说明了什么？
9
3.协方差性质(p84) (1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X);
(2) Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0
(3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为 常数
(4) Cov(X+Y，Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);
13
4.4 矩、协方差矩阵
1. K阶原点矩 Ak=E(Xk), k=1, 2, … Bk=E[X-E(X)]k, k=1, 2, …
而E(|X|k)称为X的K阶绝对原点矩；
2. K阶中心矩
而E|X-E(X)|k称为X的K阶绝对中心矩；
3. K+l阶混合原点矩 E(Xk Yl), k, l=0, 1, 2, …； 4. K+l阶混合中心矩 E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}, k, l=0, 1, 2, … ；
11
协方差与相关系数的定义
期望、方差、协方差的性质对比
不相关与独立
12
期望、方差、协方差的性质对比
期望
E(c)=C E(aX)=aE(X), E(X+Y) =E(X)+E(Y) 当X与Y独立时 E(XY)=E(X)E(Y)
方差
D(c)=0 D(aX)=a2D(X),
协方差
Cov(c,X)=0
Cov(aX,bY) =abCov(X,Y) D(X+Y)=D(X)+ Cov(X+Y,Z) D(Y)+2Cov(X,Y) =Cov(X,Z) +Cov(Y,Z)
7
例1 设(X, Y)在D={(X, Y)：x2+y21}上服从均匀 分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。
1
2 设 ( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 , 12 , 2 , ),
求证 XY .
1 1
1
可见，若（X，Y）服从二维正态分布， 则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不 相关。
E ( XY ) E ( X ) E (Y ) a0 D( X ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) b0 E (Y ) E ( X ) D( X )
解得:
(2)
4
将(2)带入(1),得
min E Y (aX b)
a ,b

2
概率与统计
随机变量的协方差与相关系数
1
如何描述两个随机变量之间的关系?
1 (a)
若(X,Y)的全部可能 取值坐标如图a,b,c, X 与Y的关系各是什 么?
(c) 2 1 0 0.00 -1
0 -1 0 1
-1
Leabharlann Baidu
(b) 1.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.50
1.00
1.50
0.00 -2 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50
e E Y (aX b) E (Y ) a E ( X ) b 2aE ( XY ) 2abE( X ) 2bE (Y ) (1)
2 2 2 2


2
取a,b使e最小:
令
e 2aE( X 2 ) 2 E ( XY ) 2bE( X ) 0 a e 2b 2aE( X ) 2 E (Y ) 0 b

(3)
E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 2 D(Y ) 1 D( X ) D(Y )
易见,当
E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 2
D( X ) D(Y )
1
时, Y与X的线性函
数a0X+b0的” 距离”为0,说明此时可以用X的线性函
XY
Cov( X , Y ) DX DY
6
为X与Y的相关系数.
证明
2.相关系数的性质(p85) (1) |XY|1； 图示
(2) |XY|=1存在常数a, b 使P{Y= aX+b}=1；
定义:当 Cov(X,Y)=0时,称X与Y不相关.
?“X与Y独立”和“X与Y不相关” 有何关系？
(5) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y). 注:D(X-Y)=D[X+(-Y)]=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)
10
设随机变量XB（12,0.5),Y N(0,1), Cov(X,Y)=-1,求 V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差
答 : E ( X ) 12 0.5 6, D( X ) 3, D(Y ) 1 D(V ) 16D( X ) 9 D(Y ) 24Cov( X , Y ) 33 D(W ) 4 D( X ) 16D(Y ) 16Cov( X , Y ) 44 Cov(V ,W ) Cov(4 X 3Y ,2 X 4Y ) 8 D( X ) 16Cov( X , Y ) 6Cov(Y , X ) 12D(Y ) 22