第四节输运方程

第四节
一、系统
系统：就是一群流体质点的集合。流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化，但始终包含有相同的流体质点，有确定的质量。
系统的特点：
1、从流体中取出的一定质量的流体；
2、与周围流体无质量交换（即运动过程始终包含这些确定的流体质点） ；
3、系统的体积和形状可以随时间改变。
4、在系统的边界上可以有能量交换。
为了使研究过程以及计算变得简单，我们想用欧拉的空间的办法，也就是控制体的办法解决这个问题。
绘出如上图的控制体，设法用形状、位置不变的控制体内的动量变化率来表示系统的动量变化率，这就是雷诺输运定理。整个思路是：板受到的力，等于系统的动量变化率；再用控制体的动量变化率表示系统的变化率，就完成了板受到的力等于控制体动量变化率的转化；从而，通过计算控制体的动量变化率，求得板受到的力。
用控制体方法表示系统的质量不随时间发生变化这件事，就是下面这个过程：
首先，输运方程的通式是： ，
前面已经说了，系统的质量m不随时间变化，所以 =0，所以用控制体表示系统的质量m不随时间变化这件事，就是：
=0
翻译成俗话就是：控制体内质量随时间的变化 加上 单位时间内进、出控制体的外表面（控制面）的质量等于零。
在面积A2上取微元面积 ，其上流速为 ，单位时间从微元面积上流出的流体质量为 ，单位时间从微元面积上流出的流体所具有的某种物理量为 ，则单位时间为从A2流出的物理量应是 。
和 都是单位时间从控制体内流出的物理量，因此应该相等，也就是
（a）右端第三项的物理意义：
表示δt时间间隔内流进控制体的流体具有的某种物理量。同理，单位时间内从A1流进的这种物理量应是：
另外，还有机械能守恒的问题。机械能守恒也是指的“质量不变的确定物体”的系统的机械能守恒，不是“内含不断变化的新物体”的控制体的机械能守恒；因此，用控制体的方法研究机械能守恒，推出著名的伯努利方程，也需要利用雷诺输运定理。
总而言之，将“适用于系统的牛顿力学基本方程”转化成“适用于空间体积的力学方程”，这就是雷诺输运定理的用途。
当研究对象是质量时，η就等于数字1；原因是η的定义就是：1个单位质量的流体具有的某种物理量，这个物理量现在是质量，那么这句就变成1个单位质量的流体具有的质量就是1个单位，所以η=1；所以系统质量守恒这件事，用控制表示，就成为：
在书写公式的时候，我们反复用了这样一个 式子，见下图：
两个矢量点乘，是一个标量；它实际上就是 在 上的投影Vn数值，和面积数值 的积，也就是 ，因此公式就变成：
下面看看什么是传说中的雷诺输运定理
设N为t瞬时，系统内流体具有的某种物理量；η（--读Eta,伊塔）表示单位质量流体具有的这种物理量。在流场中任选一控制体（实线） 在t瞬时，系统与所选的控制体相重合，系统所占的空间体积为 。在这里用v代表体积，V代表速度。
t+ t瞬时，由于系统内流体的流动，系统所占的空间体积为 ＋ ’（系统用虚线表示，系统的形状、大小都发生了变化，大小发生变化，意味着流体的密度发生了变化，也就是流体是可压缩流体），则 t时间间隔内，系统内某种物理量的增量为：
物理量N可以是标量，如质量、能量等，也可以是矢量，如动量和动量矩等。
对定常流动，控制体内各物理量不随时间变化，所以：
Байду номын сангаас则： (g)
即在定常流动的条件下，系统内部的流体所具有的某种物理量的变化仅与通过控制面的流动有关。
第五节
连续性方程研究的是质量，也叫质量方程，或质量守恒方程；说的是系统的质量不随时间发生变化；根据系统定义，系统就是从流体中取出的一定质量的流体，且不与周围流体发生质量交换，因此系统的质量自然不随时间发生变化。写成方程就是就是 =0，这里N是系统质量，其实就是系统的质量m不随时间变化，即 =0
(c)式表示在同一地点上控制体内的某种物理量随时间的变化率，相当于当地导数项，是由流场的非稳定性引起的。
（a）式右端第二项的物理意义
是δt时间内从控制体Ⅱ流出的流体所具有的某种物理量。 则表示单位时间内从控制体Ⅱ流出的某种物理量。
如上图，将控制体的外表面分成两部分，流体流出的那部分面积记作A2，流入控制体的那部分面积记作A1。（流出部分A2+流入部分A2就是控制体全部外表面总面积cs）
上式为积分形式的流体流动的连续方程。
也可写成
负号表示流出控制体，若变化率为“+”，则流体流入控制体。上式表示：控制体内由于密度变化所引起的流体质量随时间的变化率＝单位时间内净流入(或流出)控制体的流体质量。
二、控制体
控制体(control volume)：相对于坐标系固定不变的空间体积V。是为了研究问题方便而取定的。边界面S称为控制面。
控制体的特点：
1、从该场中取出某一固定的空间区域，该体积称为控制体，其表面为控制面。
2、控制体的形状可根据研究的需要任意选定，但一旦选定以后，其形状位置均不变。
3、在控制面上可以存在质量及能量交换。
式（e）即为用“空间体积（即控制体）”的办法表示“系统内某种物理量N”随时间的变化率，称为输运公式。就是将拉格朗日法中，求某种物理量的变化率转化为欧拉法的计算公式，是欧拉法中的控制体法的基本公式。
该式表明，流体系统内部的某种物理量N的时间变化率数值上等于两部分的和：一部分是由于流场的非稳定性引起的控制体内N的变化率，相当于当地导数项，另一部分是流体系统通过控制体表面的单位时间的净通量，是流场的非均匀性引起的，相当于迁移导数项。
上式右边加上并减去 ，用 通除再取极限得：
（a）
对（a）式左端取极限为：
(b)
上式就是系统内某种物理量对时间的变化率。
下面分析（a）右端各项的物理意义。其中（a）式右端第一项的物理意义，对（a）式右端第一项取极限为：
注意到， 所占的体积，就是控制体的体积。而控制体的体积为了能清晰的从别的体积中识别出来，通常用 表示，所以上式可表示为：
三、输运方程（雷诺输运定理）
引言：为什么需要雷诺输运定理？
看下图
如此简单的一个射流挡板受力，挡板受到的力多大？
根据牛顿力学，就是求挡板对流体的力多大。挡板对流体施加了力，根据牛顿第二运动定律，应该等于流体系统的动量的变化率。请注意，牛顿力学适用的是形状、位置、密度不发生变化的系统的动量变化率。
系统的动量变化率怎么求？真的要研究一个个的流体微团的来龙去脉，密度、速度变化，再把它们总加起来，合成为系统，研究系统的变化率吗？不是不可以，这是拉格朗日的研究方法。前面咱们已经亲身实践过了拉格朗日研究方法迹线的求法，计算相对于欧拉的空间点法要复杂许多。而且这样一个问题，我们实际上并不关心流体的最终去向和流体的形状、密度会发生什么变化，只是关心板的受力情况。这里流体还是密度不发生变化的不可压缩的液体，若射流是密度可能发生变化的气体，用可压缩流体去研究，情况会变得更加复杂。
式 中的 为空间II’中的任意某一微元体积，乘以这一微元体积对应的密度 （这里允许II’内各处的密度 不相同，也就是允许流体是可压缩的），得出某一微元的质量，再乘以 得出任意某一微元具有的某种物理量，再在整个II’空间积分，得到II’空间内具有某种物理量；注意II’空间内具有某种物理量是在 时刻具有的物理量，在其它时刻具有的物理量，不一定是这个值。后两项含义一样，不再赘述。
(c)
（c）式表示控制体内流体所具有的某种物理量对时间的变化率。
用偏导而不用全导的原因是：控制体内流体所具有的某种物理量不仅仅是随时间变化；控制体周围流场的流体具有这种物理量的“密度”若与控制体内流体所具有的某种物理量的“密度”不一致，也会造成由于流场的非均匀性引起的这种物理量之间迁移，进而改变控制体内流体所具有的某种物理量，因此只能用偏导。（这里“密度”概念只是借用，借用来表示单位体积具有的这种物理量的概念）
“－”号是因为在流入条件下， 或（cosα）为负值。其中 表示控制面的微元面积矢量， ， 为dＡ的法向单位矢量，垂直于控制面，规定向外为“＋”。单位时间内经过整个控制面的某种物理量的通量为：
而： (d)
其中A1+A2=CS（控制面），对(1)取极限，将(b)、(c)、(d)代入(a)则；
(e)
式(e)表明：系统内部Ｎ对时间的变化率＝控制体内Ｎ对时间的变化率＋单位时间经过控制面的Ｎ的净通量