云南师大附中2021届高三高考适应性月考(七)理科数学试题(含答案解析)
云南师大附中2012届高考适应性月考卷(七)理科数学
云南师大附中2012届高考适应性月考卷（七）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：()(1)k k n kn n P k C P P -=-球是表面积公式24R S π=其中R 表示球的半径 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3,4A =，1,2B y y x x A ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则A B ＝ A ．{}1,3B ．{}1,2C ．{}2,4D ．{}1,2,3,42．某市进行一次高三数学质量抽样检测，考试后统计所有考生的数学成绩服从分布，已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占5％，则数学成绩在90至120分之间的考生人数所占百分比约为A ．10％B ．15％C ．30％D ．45％ 3．若函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，则它的图像的一人对称中心为A ．,08π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,08π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．(0,0)D ．,04π⎛⎫-⎪⎝⎭4．已知程序框图如图1所示，将输出的a 的值依次记为12,,,n a a a ，其中*n N ∈且2010n ≤，那么数列{}n a 的通项公式为A ．123n n a -=⋅B ．31n n a =-C ．31n a n =-D ．21(3)2n a n n =+ 5．一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体的体积等于A ．4B ．6C ．8D ．126．下列函数中，在()(1,1-内有零点且单调递增的是A ．12log y x =B ．21x y =-C ．212y x =-D ．3y x =-7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产品x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 0.7y x b =+，那么b 的值为A ．4.5B ．3.5C ．3.15D ．0.358．已知4cos 5α=-，且(,)2παπ∈，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于 A ．17-B ．7-C ．17D ．79．设O 为坐标原点，点(1,1)A ，若点(,)B x y 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则OA OB ⋅ 取得最大值时，点B 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．无数10．若曲线12y x-=在点12(,)a a -处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a ＝A ．64B ．32C ．16D ．811．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，正（主）视图侧（左）视图正（主）视图满足112||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=12．设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ⎧⎫==++=-=-⎨⎬⎩⎭，平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭，则在同一直角坐标系中，P 中函数()f x 的图像恰好经过Q 中两个点的函数的个数是A ．4B ．6C ．8D ．10第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．在△ABC 中，3A π∠=，3BC =，AB =，则C ∠＝ ．14．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|||NF MN =，则NMF ∠＝ ． 15．二项式(2)nx +的展开式中，前三项的系数依次为等差数列，则展开式的第8项的系数为 ．（用数字表示）16．设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅= ，0AD AC ⋅=，0AB AD ⋅=，用1S 、2S 、3S 分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =-，数列{}n b 的前n 项和3n n T b =-．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1143n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n R 的表达式． 18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面△ABC 为等腰直角三角形，B ∠＝90°，D 为棱1BB 上一点，且平面1DAC ⊥平面11AAC C ．（1）求证：D 点为棱1BB 的中点；（2）若二面角1A A D C --的平面角为60°，求1AA AB． 19．（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学． （1）求甲、乙两人都被分到A 社区的概率； （2）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（3）设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，求ξ的分布列和期望()E ξ的值．20．（本小题满分12分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线2x =-的焦点是椭圆M的一个焦点，又点(1A 在椭圆M 上． （1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线l的方向向量为，若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点，求△ABC 的面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x ax x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 在[]1,2上是减函数，求实数a 的值取值范围； （2）令2()()g x f x x=-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈（e 是自然对数的底数）时，函数()g x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．A 1B 1C 1DABC请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图4，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =，直线MD 与圆O 相交于点M 、T （不与A 、B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结MC 、MB 、OT ．（1）求证：DT DM DO DC ⋅=⋅；（2）若60DOT ∠=，试求BMC ∠的大小．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（1）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为2t π=，Q 为2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线332:2x tC y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()|1|||f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（2）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧13．14．15．16．三、解答题17．。
云南师大附中2025届高考适应性月考卷(六)思想政治试题(含答案)
云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月月考思想政治试卷注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分100分，考试用时75分钟。
一、选择题 (本大题共 16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 2023年，全国国有及国有控股企业主要效益指标继续稳步增长，回升向好的态势进一步巩固。
十年来，全国企业国有资本权益年均增长14.6%左右。
到2023年，全国国有资本权益(含金融) 超120万亿元，国有资产总额占GDP 的比重，由2017年的45%左右上升到2023年的67%左右。
以上信息可以看出①我国公有制经济进一步巩固和壮大②公有资产在社会总资产的控制力增强③国有经济资产总额在 GDP 占比增长强势④非公有制经济占比下降，资产总额减少A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2. 菲利普斯曲线是用来表示失业与通货膨胀之间交替关系的曲线，通货膨胀率高时，失业率低；通货膨胀率低时，失业率高。
如图1所示，在其他条件不变的情况下. 若A点向 B 点移动，导致其产生这一现象的原因可能是①社会总需求不断增长，物价下降。
需求旺盛②社会总需求持续下降、产能过剩，产品积压③企业产能下降，社会总供给小于社会总需求④企业盈利空间收缩，清库存，缩小生产规模A.①③B. ①④C. ②③D. ②④3.下列对表格信息解读正确的是①中西部与东部地区收入相对差距有所缩小②中国式现代化需要解决效率与公平的先后问题③国家需要对西部地区加大转移支付的力度④中国式现代化需要解决好地区发展不平衡问题A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④4. 十三届全国人大二次会议以来，全国人大及其常委会优化与新增了部分工作：接待篇——来自36个国家和各国议会联盟的53个团组访华出行篇——65个团组访问了61个国家和地区的议会组织。
云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷(二)文科数学试题
文科数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合305x A x x ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭，集合{}46B x x =<<，则A B = （）A ．()3,6B ．[)3,6C ．[)4,5D ．()4,52．瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程：i e cos isin θθθ=+（i 为虚数单位），根据此公式可知，若i e 10θ+=，则θ的一个可能值为（）A ．0B ．π2C ．πD ．3π23．cos 45cos15sin 45sin15+︒︒︒︒的值为（）A ．32B ．32-C ．12D ．12-4．已知双曲线的方程为22143x y -=，双曲线右焦点F 到双曲线渐近线的距离为（）A ．1B C D ．25．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”大致意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁。
问老大是多少岁？（）A ．38B ．35C ．32D ．296．为了更好地配合我市“文明城市”的创建工作，我校开展了“文明行为进班级”的评比活动，现对甲，乙两个年级进行评比，从甲、乙两个年级中随机选出10个班级进行评比打分，每个班级成绩满分为100分，评分后得到如图所示的茎叶图，通过茎叶图比较甲、乙两个年级成绩的平均数及方差大小（）A ．x x <甲乙，22s s <甲乙B ．x x >甲乙，22s s <甲乙C ．x x <甲乙，22s s >甲乙D ．x x >甲乙，22s s >甲乙7．若AB 是以O 为圆心，半径为1的圆的直径，C 为圆外一点，且2OC =，则CA CB ⋅=（）A ．3B ．3-C ．0D ．不确定，随着直径AB 的变化而变化8．已知圆M 的方程为22680x y x y +--=，过点()0,4P 的直线l 与圆M 相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC ，弦长量长的弦为BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．30B ．40C ．60D ．809．正四面体ABCD 的储视图为边长为1的正方形，则正四面体ABCD 的外接球的表面积为（）A ．3π2B ．3π2C ．3πD ．12π10．已知()2sin cos f x x x =，下列结论中错误的是（）A ．()f x 即是奇函数也是周期函数B ．()f x 的最大值为33C ．()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．()f x 的图象关于点()π,0中心对称11．已卸抛物线()2:20C y px p =>，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为α的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下面陈述不正确的为（）A ．2121234x x y y p +=-B ．22sin p AB α=C ．112AF BF p+=D ．记原点为O ，则2sin AOBp S α=12．下列四个命题：①1ln 22>，②2ln 2e>，③0.22.22log 0.4log 0.4log 0.4log 0.4a +=⋅，④1331log 7log 13<，其中真命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件10,10,24,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则32x y +的最大值为________．14．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2sin A C =，且三条边a ，b ，c 成等比数列，则cos A 的值为________．15．已知函数()ln 2f x x ax =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围为________．16．边长为1的正方体ABCD A B C D ''''-，点FP 为面对角线CD '上一点，则AP BP +的最小值为________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）记n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且满足()241n n S a =+．（1）求数列{}n a 的通项；（2）求证：1223111112n n a a a a a a ++++< ．18．（本小题满分12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ，222AB CD AD ===，将ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P ，且AP BC ⊥．（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ；（2）求点C 到平面APB 的距离．19．（本小题满分12分）为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调在问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查，问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占25，选择文科理科无显著差异的人数占15，选择更擅长文科的人数占25；女生选择更擅长理科的人数占15，选择文科理科无显著差异的人数占35，选择更擅长文科的人数占15．根据调查结果制作了如下22⨯列联表．更擅长理科其他合计男生女生合计（1）请将22⨯的列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为文理科偏向与性别有关；（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，求所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.0500.0250.0100.0010k 3.8415.0246.63510.82820．（本小题满分12分）已知点()2,0M -，()2,0N ，点P 满足：直线PM 的斜率为1k ，直线PN 的斜率为2k ，且1234k k ⋅=-．（1）求点(),P x y 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，问在x 轴上是否存在点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知()22ln f x ax x x =-+．（1）若12a =-，求()f x 的最大值；（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：()()()121214ln 543f x f x x x +++<-．请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2ρ=，直线l的参数方程为2,,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(P -，直线l 与曲线C 有不同的两个交点分别为A ，B ，求11PA PB+的值．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()123f x x x =-+-．（1）求函数()f x 的最小值M ；（2）若0a >，0b >，且a b M +=，证明：22111a b a b +≥++．云南师大附中2021届高考适应性月考卷（二）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案DCACBAABCBDB【解析】1．由题意知，()3,5A =，()4,6B =，所以()4,5A B =，故选D ．2．由题意知，iπe 1cos πisin π10+=++=，故选C ．3．原式()3cos4515cos302︒==︒︒-=，故选A ．4．由题意知，双曲线的右焦点为)F，双曲线的渐近线方程为2y x =±，即20y -=，所以点)F到渐近线的距离d ==，故选C ．5．由题意可知，九个儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a 为首项，公差为3-的等差数列，所以()198932072a ⨯+⨯-=，解得135a =，故选B ．6．由茎叶图可知，甲年级的平均分主要集中在70多分，而且比较集中，而乙主要集中在80分以上，但是比较分散，故选A ．7．如图，()()()g g CA CB CO OA CO OB CO OA =++=+，A ．8．圆M 的标准方程为()()223425x y -+-=，即圆是以()3,4M 为圆心，5为半径的圆，且由()()220344925-+-=<，即点()0,4P 在圆内，则最短的弦是以()0,4P 为中点的弦，所以22592AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以8AC =，过()0,4P 最长的弦BD 为直径，所以10BD =，且AC BD ⊥，故而1g g 402ABCD S AC BD ==，故选B ．9．如图，该正四面体可以看成边长为1的正方体六个面对角线组成的正四面体ABCD ，所以正四面体ABCD 的外接球，即为边长为1的正方体的外接球，所以外接球的半径为32，则24π3π2S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故选C ．10．由()2sin cos f x x x =，所以()()()()22sin cossin cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 是奇函数；()()()()222πsin 2πcos2πsin cos f x x x x x f x +=++==，所以()f x 又是周期函数；()()()()22πsin πcos πsin cos f x x x x x f x -=--==，所以()f x 关于直线π2x =对称；()()()()222πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 关于点()π,0对称，即选项A ，C ，D 正确；又()()()()222222sin cos sin 1sin 1sin f x x x x x x ==--()()22232sin 1sin 1sin 12422327x x x --⎛⎫=≤=⎪⎝⎭，当且仅当3sin 3x =，()max 239f x =，故B 选项错误，故选B ．11．由题意知，令直线2px my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，与抛物线2:2C y px =联立方程，消去x 得2220y pmy p --=，所以122y y pm +=，212y y p =-，所以21212224p p p x x my my ⎛⎫⎛⎫=++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则2121234x gx y y p +=-，故A 正确；由1πtan 2m αα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，所以12AB AF BF x x p =+=++()212222m y y p pm p =++=+=()222122121tan sin p p m p αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，当π2α=时，经检验22sin p AB α=亦成立，故B 确；所以12121211112222x x p p p p p AF BF x x x x +++=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()122121224x x pp p x x x x ++==+++()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++==+++++，故C 正确．如图，作OE 垂直AB 于E ，则22112g g g sin 22sin 22sin AOBp p p S AB OE ααα=== ，当π2α=时，经检验22sin AOB p S α= 亦成立，故D 错误，故选D．12．由2ln 2ln 4ln e 1=>=，故①正确；由2ln 2ln e ln 2e 2e >⇔>，考察函数ln x y x =，21ln x y x -'=，所以当()0,e x ∈时，0y '>，即y 在()0,e 上单调递增，当()e,x ∈+∞时，0y '<，即y 在()e,+∞上单调递减，所以e x =时，y 取到最大值1e ，所以ln 2ln e2e<，故②错误；令0.2log 0.4a =，2log 0.4b =，所以0.40.40.411log 0.2log 2log 0.41a b+=+==，所以a b ab +=，即0.220.22log 0.4log 0.4log 0.4glog 0.4+=，故③正确；由4372401219713=>=，所以133log 74>，由4313285612979131=<=，所以313log 134<，故④错误，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．约束条件所表示的线性区域，如图所示，又有题意知：32x y +在点()3,2A 处取得最大值，所以32x y +的最大值为13．14．由正弦定理知：sin 2sin a A c C==，又2b ac =，所以::2:1a b c =，从而由余弦定理得22222212cos 24b c aA bc+-+-===-．15．如图，函数()f x 恰有三个零点，等价于方程ln 2x ax =，有三个解，即函数ln y x =与函数2y ax =的图象有三个交点，又有2y ax =为过原点的直线，由图可知，当且仅当2y ax =为ln y x =切线的时候，方程ln 2x ax =恰有两个解，故而，令2y ax =为ln y x =的切线，设切点为()00,ln A x x ，则线的方程为()0001ln y x x x x -=-，由于切线过原点，所以0ln 1x =，即0e x =，此时直线的斜率为1e，由题意知，102e a <<，即10,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．16．如图甲，将等边ACD ' 沿CD '向后旋转到与面A BCD ''共面，得到等边1A CD ' ，则AP BP +的最小值即为图乙中线段1A B 的长，取A B '的中点I ，由题意知：等边ACD ' 的边长为，A BCD ''是以1BC =，A B '=1A B ===．甲乙三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）（1）解：当1n =时，由11S a =，所以()21141a a =+，解得11a =，当2n ≥时，由()241n n S a =+①，则()21141n n S a --=+②，由①式减去②式得()()221411n n n a a a -=+-+，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a ----+=-=+-，由题意知，10n n a a -+>，所以12n n a a --=，则数列{}n a 为11a =，公差为2的等差数列，所以21n a n =-．（6分）（2）证明：由（1）知，()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以122311111111111213352121n n a a a a a a n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，证毕．（12分）18．（本小题满分12分）（1）证明：由等腰梯形222AB CD AD ===，则60ABC ∠=︒，又2AB BC =，所以AC BC ⊥①，又BC AP ⊥②又 AC AP A =③，由①②③知，BC ⊥平面APC ，所以平面，APC ⊥平面ABC ．（6分）（2）解：如图，取AB 的中点E ，连接DE ，CE ，AC ，则AECD 为菱形，且60DAE ∠=︒，则AC DE ⊥，记垂足为O ，则12DO =，AC =，由（1）知，平面APC ⊥平面ABC，如图，又DO AC ⊥，所以DO ⊥平面ABC ，由（1）知，BC ⊥平面APC ，即BC CP ⊥，又1BC CP ==，所以BP =，所以13g 22ACB S AC CB ==，在ABP 中，由2AB =，1AP =，BP =所以2223cos 2g 4PA AB PB PAB AB AP +-∠==，所以sin 4PAB ∠=，则17g gsin 24PAB S AP AB PAB =∠=．设点C 到平面APB 的距离为h ，由P ACB C ABP V V --=，得11g g 33ACB ABP PO S h S = ，即217ACB ABP POgS h S == ．（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）补充22⨯的列联表如下：更擅长理科其他合计男生223355女生93645合计3169100所以()221002236933100334.628 3.841554531693123K ⨯⨯-⨯⨯==≈>⨯⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为文理科偏向与性别有关．（6分）（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科，用1A ，2A 表示更擅长理科的两人，用1B ，2B ，3B 表示其他三人，则从这5人中，任取2人共有以下10种情况：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，满足条件的有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，共6种情况，所以所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率为35．（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）由题意知：()122y k x x =≠-+，()222y k x x =≠-，由123gk 4k =-，即()32224y y g x x x =-≠±+-，整理得点(),P x y 的轨迹C 的方程为()221243x y x +=≠±．（4分）（2）假设在x 轴上存在点()0,0Q x ，使得g QA QB 为定值．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()10y k x k =-≠，联立方程()221,431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()22223484120k x k x k +-+-=，令()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x gx k-=+，由()101,QA x x y =-，()202,QB x x y =-，所以()()()()()()2102012102012g 11QA QB x x x x y y x x x x kx x =--+=--+--()()()22221201201k x x x k x x k x =+-++++()2022581234x k x k-+-=++，将0x 看成常数，要使得上式为定值，需满足05816x +=，即0118x =，此时135g 64QA QB =-；当直线l 的斜率不存在时，可得31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以33,82QA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，33,82QB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，135g 64OA QB =-，综上所迷，存在11,08Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得g QA QB 为定值．（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：当12a =-时，()212ln 2f x x x x =--+，所以()21f x x x'=--+，则()f x '在()0,+∞上是单调递减函数，且有()10f '=，当()0,1x ∈时，()0f x '>，即()f x 为()0,1上的增函数，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，即()f x 为()1,+∞上的减函数，所以()()max 312f x f ==-．（6分）（2）证明：由题意知：由()222ax x f x x-+'=则1x ，2x 即为方程2220ax x -+=的两个不同的正根，故而需满足：12121160,10,210,a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得116a >，所以()()()()22121211122212112ln 2ln 33f x f x x x ax x x ax x x x x +++=-++-+++()()211212*********ln 2ln 2312a a x x x x x x x x g a ⎛⎫⎡⎤=+-+-+=-+- ⎪⎣⎦⎝⎭，令116t a =>，()()()1212112ln 2312f x f x x x t t +++=-+-，令()12ln 212g t t t =-+-，所以()1212g t t'=-+，则()g t '为()16,+∞上的减函数，且()240g '=所以当()16,24t ∈时，()0g t '>，即()g t 为()16,24上的增函数；当()24,t ∈+∞时，()0g t '<，即()g t 为()24,+∞上的减函数，所以()()max 242ln 244g t g ==-，所以()()()121212ln 2442ln 2544ln 543f x f x x x +++≤-<-=-，证毕．（12分）22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】解：（1）由222x y ρ=+，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y +=，由2,,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去t 得直线l的直角坐标方程为0y +=．（5分）（2）由题意知，关于点(P -的直线l的参数方2,23,2t x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程得211270t t ++=，又121108130∆=-=>，所以方程有两个不同的解1t ，2t ，又12110t t +=-<，12g 270t t =>，所以10t <，20t <，有1t ，2t 的几何意义可知，121212121111111127t t PA PB t t t t t t ⎛⎫++=+=-+=-= ⎪⎝⎭．（10分）23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】（1）解：由绝对值三角不等式可知：()12313132f x x x x x x x =-+-≥-+-≥-+-=，当且仅当3x =时，两个不等式同时取等号，所以()f x 的最小值2M =．（5分）（2）证明：由（1）知，2a b +=，则()()114a b +++=，所以()()()()2211111112121111a b a b a b a b +-+-+=+-+++-+++++()111111144a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭⎝⎭=≥=当且仅当1a b ==，不等式取等号，所以22111a b a b +≥++．（10分）。
云南师大附中2015届高三高考适应性月考(一)数学(理)试题 Word版含解析
云南师大附中2015届高考适应性月考卷（一）理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量分布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 【题文】1、已知全集U 和集合A 如图1所示，则()U C A B ⋂= A.{3} B.{5,6} C.{3,5,6} D.{0,4,5,6,7,8}【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B 解析：由图易知()U A B =ð{5,6}.则选B.【思路点拨】本题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键.【题文】2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i =+，则12z z = A .－2i B.2i C .－2 D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，所以212(1i)2i.z z =-+=-则选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法则进行计算. 【题文】3、已知向量,a b 满足6a b -=，1a b ∙=，则a b += A .6 B.22 C .10 D.10 【知识点】向量的数量积及其应用F3【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，所以2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b ，即10.+=a b 则选C.【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解. 【题文】4、曲线11axy e x =++在点(0,2)处的切线与直线y=x+3平行，则a= A .1 B.2 C .3 D.4 【知识点】导数的应用B12 【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，所以 2.a =则选B.【思路点拨】理解导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】5、在△ABC 中，若sinC=2sinAcosB,则此三角形一定是A .等腰直角三角形 B.直角三角形 C .等腰三角形 D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac+-=，所以22a b =，即a b =.则选C.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】6、函数()2sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A .1 B.132+ C .32 D.13+【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 231π()sin 3sin cos sin 2sin 22226x f x x x x x x -⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.则选C.【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、已知实数x,y 满足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，则z=x+3y 的取值范围是A .[1,9] B.[2,9] C .[3,7] D.[3,9]【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】B 解析：根据线性约束条件作出可行域， 如图1所示阴影部分．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点 (0,3)M 和(2,0)N 位置时，max 0339z =+⨯=，min 230 2.z =+⨯=则选B.【思路点拨】本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm ，高为3cm 的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为 A .310 B.510 C .710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D 解析：圆锥毛坯的底面半径为4cm r =，高为3cm h =，则母线长5cm l =，所以圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r =+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S =+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．则选D. 【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】9、若任取x,y ∈[0,1]，则点P(x,y)满足2y x >的概率为 A .23 B.13 C .12 D.34【知识点】定积分 几何概型K3 B13【答案解析】A 解析：该题属几何概型，由积分知识易得点(,)P x y 满足2y x >的面积为12310012(1)33x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰，所以所求的概率为23．则选A. 【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2AP PB =，则椭圆的离心率是A .32 B.22C .13 D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =，则12,2,2OA OF a c e ===∴∴．则选D.【思路点拨】求椭圆的离心率一般先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的定义解答即可.【题文】11、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，则AC 与DM 所成角的余弦值为 A .23 B.24 C .32 D.33【知识点】异面直线所成的角G11【答案解析】B 解析：建立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C11,,0,(0,0,0),2211(0,1,3),,,0,222cos ,,4M D AC DM AC DM AC DM AC DM⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⋅〈〉==∴∴则AC 与DM 所成角的余弦值为24.所以选C. 本题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC 的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用定义法作出其平面角，再利用三角形解答，若作其平面角不方便时，可采取向量法求解. 【题文】12、函数()()3f x x xx R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，则实数a 的取值范围是A .(﹣∞，1] B.(﹣∞,1) C .(1, ＋∞) D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，所以由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，所以1a ≤．则选A.【思路点拨】本题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)【题文】13、定义一种新运算“⊗”：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654⊗-⊗=_______.【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答.【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】遇到等差数列与等比数列，若无性质特征，则用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】15、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________. 【知识点】二项式定理J3 【答案解析】π6或5π6． 解析：1C C 17n n n n n -+=+=，故6n =，所以第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，所以，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，所以π6x =或5π6． 【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】16、已知函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为______.【知识点】导数的应用 基本不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b t a =(1)t >，则问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数得到abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 【题文】17、(本小题满分12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球. (1)若有放回的从口袋中连续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；(2)若不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率 离散随机变量的分布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1)54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========．所以ξ的分布列如下表：ξ0 1 2P110 35 3101336()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．【思路点拨】求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望. 【题文】18、(本小题满分12分)如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 分别是111,AC AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，已知∠BCA=90°，12AA AC BC ===. (1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11AC 与平面11AA B 所成角的正弦值.【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2) 217解析：方法一：（1）证明：∵点O 、E 分别是11AC 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A A B C C AA B V V --=， 即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，11122A B AB ==, ∴11AA B S △7=．∴2217d =，∴11AC 与平面11AA B 所成角的正弦值为217． 方法二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -， 则(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,22A E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，(0,2,3)C ．（1）证明：∵OE =130,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 1(0,1,3)AC =-，∴112OE AC =-，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设11AC 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)AC =，11(2,2,0)A B =，1(0,1,3)A A =.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =，111220,0,30,0,x y A B n y z A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩则即 不妨令1x =，可得31,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴11221sin cos ,7723AC n θ=〈〉==⋅， ∴11AC 与平面11AA B 所成角的正弦值为217． 【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角可以先作出其平面角，再利用三角形求解，若直接作角不方便时可考虑用向量的方法求解. 【题文】19、设数列{}n a 满足10a =且*11.2n na n N a +=∈-. (1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)设11,n n n a b S n+-=为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列 数列求和D2 D4【答案解析】(1) 11n a n =-． (2)略解析：（1）解：将112n n a a +=-代入11111n n a a +---可得111111n n a a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故 所以11n a n=-．（2）证明：由（Ⅰ）得11111,11n n a n n b nn nnn +-+-===-+⋅+111111111nnn k k k S b k k n ==⎛⎫==-=-< ⎪++⎝⎭∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明. 【题文】20、已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈. (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2) 211e b -≤ 解析：（1）11()ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， ∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a>， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值．∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =， ∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1xg x x x=+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增，∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤． 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.【题文】21、如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H ()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值.【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2) min 11t =- 解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．（2）方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=， 可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．方法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+． 以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．②①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+． 当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方法进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D. (1)求证：直线AB 是圆O 的切线； (2)若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1 【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB == ∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线. （2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒， 在Rt △ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠， 又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD ∽△BEC , ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =， 又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+，解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =， ∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，若直线与圆有公共点，则公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可. 【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为25sin ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，若点P 的坐标为()3,5，求PA PB +. 【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】(1)322(2)32 解析：（1）由25sin ρθ=，可得22250x y y +-=， 即圆C 的方程为22(5)5x y +-=．由23,225,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）可得直线l 的方程为530x y +--=．所以，圆C 的圆心到直线l 的距离为05533222+--=． （2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即23240t t -+=．由于2(32)4420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根， 所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，．又直线l 过点(35)P ，，故由上式及t 的几何意义得1212||||||||32PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答. 【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲] 已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <；(2)若不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围. 【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x aa ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.(2) 15a-≤≤且a≠0．解析：（1）()4f x<⇔24ax-<⇔424ax-<-<⇔26ax-<<，当0a>时，不等式的解集为26x xa a⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a<时，不等式的解集为62x xa a⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x≤⇔23ax-≤⇔323ax--≤≤⇔15ax-≤≤⇔5,1, axax⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x∈，∴当x=0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为5,1, axax ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥又∵515,1x x--≥≤，所以15a-≤≤且a≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。
湖南师大附中2021-2022学年高三下学期月考数学试卷(七)
湖南师大附中2022届高三月考试卷（七）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，B={-3，2，3}，则A (ðU B )=（А．{-1，0}）B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{-1，0，1}2．已知sin⎛33πα+⎫⎭⎪= ⎝，则sin ⎛2α+6π⎫⎭⎪的值为（ ⎝）A ．79B ．-79C．9D ．-93．某种活性细胞的存活率y （%）与存放温度x （℃）之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：存放温度x （℃）104-2-8存活率y （％）20445680经计算，回归直线的斜率为-3.2．若这种活性细胞的存放温度为6℃，则其存活率的预报值为（A ．32％）B ．33％C ．34％D ．35％4．已知双曲线C ：x 2y 2=1（k >0），若对任意实数m ，直线4x +3y +m =0与C 至16k -多有一个交点，则C 的离心率为（）A ．45B ．53C ．43D ．95．已知函数f (x )=⎨⎪⎛⎪f (x -1),x >21⎫,x ≤2⎝2x⎧ ⎭⎪⎩，则f (log 212)=（）A ．31B ．-6C ．61D ．-36．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中AA 1⊥底面ABCD ，底面扇环所对的圆心角为2π，A D 的长度为B C 的长度的3倍，AA 1=3，CD=2，则该曲池的体积为（）C ．A ．9π2B ．6π11π2D ．5π第6题图7．考察下列两个问题：①已知随机变量X~B （第9题图n ，p ），且E （X ）=4，D （X ）=2，记P （X=1）=a ；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记P （A|B ）=b ，则（）A ．a =b 3B ．a =b 4C ．a =b 5D ．a =b 68．在△ABC 中，角B ，C 的对边长分别为b ，c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ， 则BC ⋅AO 的取值范围是（）A ．⎡1,0⎫⎭⎪4-⎢⎣B ．(0,2)C ．⎡1,+∞⎫⎭⎪4-⎢⎣D ．⎡1,2⎫⎭⎪4-⎢⎣二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0<θ<2）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若）π圆柱的底面圆半径为2，θ=A ．椭圆的长轴长等于4，则（3πB ．椭圆的离心率为32C ．椭圆的标准方程可以是x 2y 2=1164+D ．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4-10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f (1+x )=-f (1-x )，当x ∈[0,1]时，f (x )=x 2+x -2，则（A ．f (x )是以4为周期的周期函数B ．f (2021)+f (2022)=-2）C ．函数y =f (x )-log 2(x +1)有3个零点D ．当x ∈[3,4]时，f (x )=x 2-9x +1811．已知函数f (x )=A sin (ωx +ϕ)（A >0，ω>0，-π<ϕ<-2）的部分图象如图π所示，把函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的1110倍，得到函数y =g (x )的图象，则（）A ．g ⎛3x +π⎫⎭⎪为偶函数 ⎝B ．g (x )的最小正周期是πC ．g (x )的图象关于直线x =23π对称D ．g (x )在区间（71π2，π）上单调递减第11题图第12题图12．如图，棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的内切球球心为O ，E 、F 分别是棱AB 、CC 1的中点，G 在棱BC 上移动，则（A ．对于任意点G ，OA ∥平面EFGB ．存在点G ，使OD ⊥平面EFGC ．直线EF 的被球O）D ．过直线EF 的平面截球O 所得截面圆面积的最小值为2π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 满足z (1-i )=4+2i ，则z =________（用代数式表示）．14．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著．该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数．某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有________种．15．已知直线l过点P（0，1），且与圆O：x2+y2=3相交于A，B两点，设OC=OA+OB，若点C在圆O上，则直线l的倾斜角为________．16．已知函数f(x)=x-ae x+2．（1）若对任意实数x，f(x)<0恒成立，则a的取值范围是________；（2）若存在实数x1，x2（x1≠x2），使得f(x1)=f(x2)=0，则a的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC中，已知sin2A-sin2B=sin C(sin B+sin C)．（1）求角A的值；（2）设∠BAC的平分线交BC边于D，若AD=1，BC=，求△ABC的面积．在数列{a n}中，已知a1=2，n(a n+1-a n)=a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；S n（2）设b n=(-1)n a n，S n为数列{b n}的前n项和，求满足>100的正整数n的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P−ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，AC⊥BC，△PAC是边长为2的正三角形，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l．（1）证明：直线l⊥平面PAC；（2）设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为α，异面直线PQ与EF所成的π角为θ，求当AQ为何值时，α+θ=．2某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额，网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计，这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内（单位：千元），按[0，5），（5，10]，（10，15]，（15，20]，（20，25]，[25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将一年来网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K 2=(a ()())(d )()(d )．2a b c +d ad bc b c +a c b ++-+++临界值表：P (K 2≥k 0)0.100.050.0250.0100.0050.001k 0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828已知抛物线E ：x 2=2py （p >0）的焦点为F ，直线x=4分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =．（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点A ，B ，C 都在抛物线E 上，若△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形， 求AB ⋅AC 的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数f (x )=x 3+a ln x ，其中a ≥-3为常数．（1）设f '(x )为f (x )的导函数，当a=6时，求函数g (x )=f (x )-f '(x )+x9的极值；（2）设点A （x 1，f (x 1)），B （x 2，f (x 2)）（x 1>x 2≥1），曲线y =f (x )在点A ，B 处的切线的斜率分别为k 1，k 2，直线AB 的斜率为k ，证明k 1+k 2>2k ．。
云南师大附中2021届高考适应性月考卷(四)英语答案(1)
英语参考答案第一部分听力（共两节，满分30分）1~5BABAC6~10CCBAB11~15CAABC16~20ACBBC第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）21~25DABAC26~30ABBDD31~35CBDCA第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）36~40CEBGF第三部分语言知识运用（共两节，满分45分）第一节（共20小题；每小题1.5分，满分30分）41~45DADCB46~50ABCBD51~55BACDA56~60BCDAC第二节（共10小题；每小题1.5分，满分15分）61．turning62．but63．adventurous64．when65．handful 66．mixed67．be adapted68．their69．in70．has become第四部分写作（共两节，满分35分）第一节短文改错（共10小题；每小题1分，满分10分）The combination of pets and restaurants has become incredible popular in China．While many①incrediblycafes start offering the companies of cats and dogs，and others are expanding their range．The visitors②company③have commented that one of their main reasons for their visit is∧interact closely with animals only④toseen from afar．Also these pet cafes serve for a nice place for those who found it comfortable to be around⑤as⑥findanimals．Animal lovers also wish that the cafes do to change people attitude to pets．Animals like⑦what⑧people’spigs and sheep have been considered as food，but the pet cafes help shift the attitude from seeing it⑨them as food to family members stayed with them．⑩staying第二节书面表达（满分25分）【参考范文】Dear Eric，I’m writing the email to make an apology for my absence from our appointment last Sunday．I had intended to attend the exhibition of cultural relics which you are quite interested in and I knew you really expected my introduction．Unfortunately，I was about to go out when my mum called from her office，asking me to send an urgent document to her．At that time，there was no one to ask for a hand．After delivering what my mum wanted，I found it was too late for me to rush to the exhibition．I feel really sorry for breaking my promise．I want to invite you for dinner tomorrow to extend my sincere apology．I hope you can accept the invitation．Looking forward to your early reply．Yours，Li Hua【解析】第二部分阅读理解第一节A【语篇导读】本文是应用文。
精品解析：2021届云南省昆明市云南师大附中高三高考适应性月考卷(六)理综生物试题(解析版)
C. 艾弗里肺炎双球菌体外转化实验与烟草花叶病毒侵染烟草实验的设计思路是相同的 D. 鲁宾和卡门的实验应用了放射性同位素追踪物质的运行和变化规律 【答案】D 【解析】 【分析】 1、假说演绎法：基于对大量数据的分析而提出假说，再设计新的实验来验证。主要过程：观察现象，提出 问题→提出假说，解释问题→演绎推理，验证假说→得出结论。 2、艾弗里肺炎双球菌体外转化实验的设计思路：设法将 DNA 和蛋白质分开，直接地单独地观察各自作用。 3、1941 年鲁宾和卡门(美国)，将 H218O2 和 C18O2 分别给予植物进行光合作用，发现光合作用释放的氧气来 自水 【详解】A、摩尔根采用假说演绎法，通过研究果蝇杂交实验证明基因位于染色体上，A 正确； B、现代分子生物学通过荧光标记法确定了基因在染色体上的位置，B 正确； C、艾弗里肺炎双球菌体外转化实验与烟草花叶病毒侵染烟草实验的设计思路都是将蛋白质和 DNA 分开， 单独地去研究它们的作用，C 正确； D、鲁宾和卡门(美国)，将 H218O2 和 CO2 给予植物进行光合作用，释放 18O2，将 H2O 和 C18O2 给予植物进行 光合作用，释放 O2 ，说明光合作用释放的氧气来自水，该实验中用到的 18O 为稳定性同位素，D 错误。 故选 D。 3. 图表示 A、B 两种植物的光合速率和光照强度的关系，下列叙述错误的是（ ）
A. 如果分裂后产生了基因型为 AbY 的精子，则说明该细胞减数分裂过程中发生了交叉互换
B. 如果处于某个分裂时期的细胞中没有同源染色体，则该时期细胞中只有 1 个染色体组
C. 如果处于某个分裂时期的细胞中出现两条 X 染色体，则说明该细胞处于有丝分裂后期
D. 如果分裂后产生了一个 AbXW 的精子，则另外三个精子可能是 ABXW、abY、aBY
云南师大附中2021届高考适应性月考卷(七)理数-答案
c 2a 2 - ⎛ c 2 + a 2 - b 2 ⎫2⎝ 2 ⎪⎭ 10 ⎛ 云南师大附中 2021 届高考适应性月考卷（七）理科数学参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCDDCBBCAAB【解析】1． A = (-3，3) ， B 是自然数集，所以 A B ={0，1，2} ，故选 C ． 2．由反函数定义可知恒过点(2，1) ，故选 D ．3． z = 1 ± 2i ，∴| z |= ，故选 C ．4．由正弦定理可得外接圆半径 R =BC2sin A= 2 ，故选 D ．5． S = = 6 ，故选 D ．6． x + 2 ⎫8x 3 ⎪ 的常数项为C 2 22 = 112 ，故选 C ． ⎝ ⎭7． 2q 2 = q + 1 且 q > 0 ，∴q = 1 ，故选 B ．8. 直线l ： y = x 与双曲线C 左右支各有一个交点，则 b> 1 ，总基本事件数为 16，满足条件a的基本事件数为 6，概率为 3，故选 B ．89. 由题可知若 q 是假命题，则至少可选择 BC ，与单选题矛盾，故 q 是真命题；若 p 是真命题，则至少可选择 AB ，与单选题矛盾，故 p 是假命题，故选 C ．10. 由二进制数和十进制数的关系可得满足条件的数可表示为2a + 2b + 2c (0 ≤ a < b < c ≤ 9) ，故 m = C 3 = 120 ，故选 A ．11. 可证QA ⊥ QB ，QF ⊥ AB ，由三角形相似可得① | BQ |2 =| BF | | BA | ，③ | QF |2 =| BF | | AF |正确，故选 A ．3 6 821 ± (2 2 -1) 2 1 + 4 ⎪⎛ 3 ⎫2 ⎝ ⎭⎝⎭ 12．令 f (x ) = t ，由 f (x ) 的图象可得， t 2 + at + b = 0 的两根分别为t ∈⎛ 0 1 ⎫ ， t ∈⎛ 1 ，1⎫， 1 ， ⎪ 2⎪⎧b > 0，⎪1 1⎛ 5 ⎫⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭故⎨ 4 + 2 a + b < 0， 由线性规划可得2a + b ∈ - 2，- 1⎪ ，故选 B ．⎪ ⎝ ⎭ ⎪⎩1 + a + b > 0，二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号 13 14 15 16 答案125000π4π 1225π 4【解析】13． 2 =500500，故红嘴鸥总数为 125000． 总数14． = θ，θ = π ．a b | a || b | cos415 ． sin ⎛ π - α ⎫ = sin ⎡π - ⎛α + π ⎫⎤ = cos ⎛α + π ⎫ ，令 sin ⎛α + π ⎫ + cos ⎛α + π ⎫ = t ， α + π + π ∈ 3 ⎪ ⎢ 2 6 ⎪⎥ 6 ⎪ 6 ⎪ 6 ⎪ 6 4⎝ ⎭ ⎣ ⎝⎭⎦ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎡ 5π 11π ⎤⎛ π ⎫2 21 ± 9 - 4 2⎢⎣12 ，12 ⎥⎦，t > 0 ， sin 2 α + 6 ⎪ = t - 1 ， t - t + - 2 = 0 ，解得 t = =2= ， t = ， α = π．2 123516．可证CN ⊥ 平面A 'MN ，△A 'MN 外接圆半径为 ，外接球半径 r =4的表面积为25π． 4三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）已知 a n + a n +1 + 3 = 2a n + 2 ，由于{a n } 是等差数列，设公差为 d ，= ，外接球 4 整理得 a n +2 - a n +1 + (a n +2 - a n ) = 3d = 3 ，∴ d = 1 ， ....................................................... （4 分） ∴ a n = a 1 + (n -1)d = n ...................................................................................................... （6 分）1 ± (2 2 -1)2⎩n i（Ⅱ）b = (-1)n a ， b = ⎧n ，n 为偶数，n n n⎨-n ，n 为奇数，数列{b } 的前 n 项和为 S ⎧ n，n 为偶数， = ⎪ 2 ………………………………………（12 分） n n ⎨ ⎪- ⎩ n + 1 2，n 为奇数.18．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ） y - y ≈ 6 ， y - y ≈ -13 ， y - y ≈ -9 ， y - y ≈ 17 ，11223344y 9 8 12 44 y 3 21 21 27 e6−13−917残差图如图 1．图 1………………………………………………………………………………………（6 分）（横坐标取为评分或因变量都给分）n∑( y - y ˆ )2（Ⅱ） R 2 = 1 - i =1 i i = 1 - 2 575 892.75 ≈ 0.36 ， ∑( y - y ) i =1猫眼评分解释了 36%的上座率．（若答模型拟合效果好坏也可以给分）.....................................................................................................................................................................................（12 分）19．（本小题满分 12 分）（Ⅰ）证明：如图 2，取 DC 中点 M ，连接 AM ， BM ，∵AC = BC = AD = BD = 3 ，∴DC ⊥ AM ， DC ⊥ BM ， BM AM = M ，5 3 5 3 θ =⎪⎪ + = ⎪ ⎪⎪ 2 ∴DC ⊥ 平面ABM ， AB ⊂ 平面ABM ，∴CD ⊥ AB ．… .................................................. （6 分） （Ⅱ）解：过 A 作 AP ⊥ BM 交 BM 的延长线于点 P ， AP ⊥ BM ，由（Ⅰ）得 AP ⊥ DC ，所以 AP ⊥平面 BDC ， 以 M 为原点， MB 为 x 轴， MC 为 y 轴，过 M 作 AP 的平行线为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A ⎛ - 3 5 4 5 ⎫图 2⎛ 3 5 2 5 ⎫ ，0， 5 5 ⎪ ， B ( 5，0，0) ， C (0，2，0) ， D (0，- 2，0) ， F - ，1， ， 10 5 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ 5 4 ⎫ ⎛ 10 ⎫ ⎛ 4 5 ⎫E 3 ， ，0 ⎪ ， DE = ， ，0 ⎪ ， DA = - ，2， ⎪ ， DB = ( 5，2，0) ，⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 3 ⎭ ⎝ 55 ⎭⎛ 3 5 2 5 ⎫ DF = - ，3， ，10 5 ⎝ ⎭设平面 AED 的法向量为 m = (a ，b ，c ) ， ⎧ ⎪DE m = 0， 解得 m = ⎛ 5，- 1 ，5 ⎫ ， ⎨ 2⎪ ⎪⎩DA m = 0，⎝ ⎭设平面 BFD 的法向量为 n = (x ，y ，z ) ， ⎧⎪DB n = 0，解得⎛ 5 9 5 ⎫ ⎨ n = 5，- ， ， 2 2 ⎪⎩DF n = 0，⎝ ⎭ 设平面 ADE 与平面 BFD 所成的二面角为θ ，| m n | 则cos 115 = 4 =． ......................................................................................................... （12 分） | m || n | 41 15 22 220．（本小题满分 12 分）246 解：（Ⅰ）由D (-a ，0) 关于 y = -b 对称得到点C (-a ，- 2b ) ，C (-a ，- 2b ) 在光线直线方程上，⎧ 2b = 2 3，CF 的斜率为2 ⎪ a - 1 ， ⎨c = 1，⎪a 2= b 2 + c 2， ⎩∴a = 2，b = ，2∴椭圆Γ 的方程为 x y 1 ．… ............................................................................... （4 分）4 323 82 3（Ⅱ）由 + = 得∠MFP = π，直线l ：y = kx + k ， | FP FM | | MP |⎧ y = kx + k ， ⎪ 联立⎨ x 2 + y 2=2 AB⎪⎩ 4 3 1，得(3 + 4k 2 )x 2 + 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 0 ，⎛ -4k 2 3k ⎫3 ⎛ -3m ⎫ M 3 + 4k 2 ， + 4k 2 ⎪ ， l OM ：y =- k x ， P m ， ⎪ ， ⎝ 3 ⎭4 ⎝ 4k ⎭直线 FP 与直线 AB 垂直 m ≠ -1，-3m4k (m + 1)k = -1 ，m = -4 ． ................................................................................................................................................................................................................................. （12 分） 21．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ） f (x ) = e x + cos x ， f '(x ) = e x - sin x ，当 x ≥0 时， e x ≥1 ， -1≤ sin x ≤1， f '(x ) ≥ 0 在 x ≥ 0 上恒成立，f (x ) 的单调递增区间为[0，+ ∞) ．..........................................................................................................................................................................................................（4 分）（Ⅱ）连续函数 h (x ) = e x + cos x x 2 + 4 ，令 h (x ) 的最小值为 a ，∵h (0) = 1 ，a ≤ 1 ， 2 2当 a = 1 时，只需证∀x ≥ 0 都有 h (x )2则有 h (x ) 的最小值为 a = 1 .2令 F (x ) = e x + cos x - 1(x 2 + 4) ，2 1 ≥ 成立，即 2 e x + cos x ≥ 1 (x 2 + 4) ， 2F '(x ) = e x - sin x - x ，令G (x ) = e x - x ，当 x ≥ 0 时， G '(x ) = e x - 1≥ 0 ， G (x ) 单调递增， G (x ) ≥ G (0) = 1 ，当 x ≥ 0 时， F '(x ) = G (x ) - sin x ≥1 - sin x ≥ 0 ， F (x ) 单调递增， F (x ) ≥ F (0) = 0 ，∴a = 1 ．...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................（12 分）222．（本小题满分10 分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）C1：x2 +y2x24 ，C2：9+y24 = 1． ...................................................... （5 分）（Ⅱ）A，B 两点关于坐标原点O 对称，P 是曲线C2上的动点，2 2(PA +PB)2- (PA -PB)24PO -B A 2 2PA PB ===PO4 4- 4 ，PO ∈[4，9] ，所以PA PB 的取值范围为[0，5] ．.................................................................................................................................................................................................（10 分）23．（本小题满分10 分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：已知x ≤y ，| x -y |=y -x ，0 ≤x ≤1 ，-1≤-x ≤0 ，1≤y ≤2 ，解得0 ≤y -x ≤2 ，0 ≤| x -y |≤2 ．… ....................................................................... （5 分）（Ⅱ）证明：x ∈[0，1] ，y ∈[1，2] ，x2≤x ，( y - 1)( y - 2) ≤0 成立，即y2+ 2 ≤3y ，16≥x2+y2+ 216x + 3y成立，故16x + 3y+x + 3y ≥8 ，即16x2+y2+ 2≥8 -x - 3y ．.............................................................................................................................（10 分）=。
云南师大附中2021届高考适应性月考卷(一)英语参考答案
云南师大附中2021届高考适应性月考卷（一）英语参考答案第一部分听力（共两节，满分30分）1~5 CABAC 6~10 BCACB 11~15 ABCCB 16~20 CABAA第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）21~25 CCBBC 26~30 DBDAC 31~35 BADDA第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）36~40 DEGBF第三部分语言知识运用（共两节，满分45分）第一节（共20小题；每小题1.5分，满分30分）41~45 CABDA 46~50 CBDAB 51~55 CDBDA 56~60 CCBAD第二节（共10小题；每小题1.5分，满分15分）61．is located 62．attraction 63．got 64．pools 65．which 66．various/varied 67．mainly 68．wandering 69．to go 70．to第四部分写作（共两节，满分35分）第一节短文改错（共10小题；每小题1分，满分10分）Dear Mary，How have you been recently? I am very delighted to tell you a piece of good news∧a tennis match①thatwill be hold in our school on 29th of this month．The competition welcomed anyone who is interested②held ③welcomesin a sport．You’re talented in tennis，since why not participate? Uncertainly，this is a chance to show ④the ⑤so ⑥Certainlyhis talent and make friends．The top tenth players will be awarded a prize．May successes be in your ⑦your ⑧ten ⑨successfavor．I’m looking forward to your reply．Don’t hesitate to contact with me if you need any help．⑩Yours，英语参考答案·第1页（共10页）Li Hua 第二节书面表达（满分25分）【参考范文】Dear Jason，I’m writing to apply to be a member of your volunteer group，whose aim is to raise students’awareness of fighting against the novel coronavirus．Due to the urgent epidemic situation，everyone should spare no effort to prevent the disease from harming more people．I sincerely hope that I can make a contribution．As a student of nursing major，I have not only the enthusiasm but professional knowledge to help spread related tips and skills．It’s also a priceless chance for me to put my expertise into use．Moreover，I’m fluent in English and easygoing as well．I’d appreciate it if you could take my application into consideration．Thanks a lot!Yours，Li Hua【解析】第二部分阅读理解A【语篇导读】本文是说明书类应用文。
第20讲 不等式恒成立之max,min问题-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练
第20讲 不等式恒成立之max ，min 问题-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练第20讲 不等式恒成立之max ，min 问题 一、解答题（2021·云南师大附中高三月考（文））1．已知函数21()(1)12x f x x e x =--+，()sin g x x ax =-，其中a ∈R .（1）证明：当0x 时，()0f x ；当0x <时，()0f x <；（2）用max{,}m n 表示m ，n 中的最大值，记()max{(),()}F x f x g x =.是否存在实数a ，对任意的x ∈R ，()0F x 恒成立.若存在，求出a ；若不存在，请说明理由. （2021·云南师大附中高三月考（理））2．已知函数1211()(2)e 22x f x x x x -=--++，()sin ln(1)g x ax x x =--+，其中a ∈R .（1）证明：当1x 时，()0f x ；当1x <时，()0f x <；（2）用max{,}m n 表示m ，n 中的最大值，记()max{(),()}F x f x g x =.是否存在实数a ，对任意的x ∈R ，()0F x 恒成立.若存在，求出a ；若不存在，请说明理由. （2021·广东·顺德一中高三开学考试）3．已知函数3217()(4)322x f x x e x x -=--+-，()cos x g x ae x =+，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集； （2）若1a =，证明：当0x >时，()2g x >；（3）用max{,}m n 表示m ，n 中的最大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，若()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）4．已知函数3()()ln 2f x x a x x a =--+.（I ）若()f x 是(0,)+∞上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）22a e ≤≤时，记()f x 的最小值为min{()}f x ，证明：0min{()}f x ≤. （2019·云南·一模（理））5．已知e 是自然对数的底数，函数2()x xf x e=与1()()F x f x x x =-+的定义域都是(0,)+∞.（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：函数()F x 只有一个零点0x ，且0(1,2)x ∈；（3）用min{,}m n 表示m ，n 的最小值，设0x >，1()min{(),}g x f x x x=-，若函数2()()h x g x cx =-在(0,)+∞上为增函数，求实数c 的取值范围． （2018·江西·南昌二中高二期末（文））6．设函数()()2,ln xf x x eg x x x -==.（1）若()()()F x f x g x =-，证明：()F x 在0,上存在唯一零点；（2）设函数()()(){}min ,h x f x g x =，（{}min ,a b 表示,a b 中的较小值），若()h x λ≤，求λ的取值范围.（2016·广西来宾·一模（理）） 7．已知函数()()()()()ln ,,xxf x x xg x F x f x g x e ===-． （1）证明()F x 在区间1,2内有且仅有唯一实根；（2）记()F x 在区间1,2内的实根为0x ，函数()()(){}min ,m x f x g x =，若方程()(),m x n n R =∈在区间()1,+∞有两不等实根()1212,,x x x x <，试判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明．（2016·安徽合肥·一模（理）） 8．已知函数()()()()()ln ,,xxf x x xg x F x f x g x e ===-． （1）证明()F x 在区间1,2内有且仅有唯一实根；（2）记()F x 在区间1,2内的实根为0x ，函数()()(){}min ,m x f x g x =，若方程()(),m x n n R =∈在区间()1,+∞有两不等实根()1212,,x x x x <，试判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明． （2021·全国·高三专题练习） 9．已知函数()ln f x x =.（1）讨论函数()()()g x f x ax a =-∈R 的单调性； （2）设函数1()()x F x f x e=-（e 为自然对数的底数）在区间1,2内的零点为0x ，记()min (),x x m x xf x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（其中min{,}a b 表示a ，b 中的较小值），若()()m x n n R =∈在区间()1,+∞内有两个不相等的实数根1x ，()212x x x <，证明：1202x x x +>. （2021·全国·高三专题练习） 10．已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()'()(2)(0)g x f x ax a x a =+-+>，试研究函数()g x 的极值情况；（2）记函数()()x xF x f x e =-在区间(1,2)内的零点为0x ，记()min (),x x m x f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <，证明：1202x x x +>.（2020·北京八中高二期末）11．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义： 1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（Ⅰ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；（Ⅰ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. （2019·湖南·雅礼中学高三月考（理））12．记{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{max =.已知函数(){}2max 1,2ln f x x x =-，()2221max ln ,242g x x x x a x a a ⎧⎫⎛⎫=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）设()()()21312h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. （2011·浙江宁波·一模（理））13．函数()f x 定义在区间[],a b 上，设“min{()|}f x x D ∈”表示函数()f x 在集合D 上的最小值，“max{()|}f x x D ∈”表示函数()f x 在集合D 上的最大值．现设1()min{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈， 2()max{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为区间[,]a b 上的“第k 类压缩函数”．(Ⅰ) 若函数32()3,[0,3]f x x x x =-∈，求()f x 的最大值，写出12(),()f x f x 的解析式； (Ⅰ) 若0m >，函数32()f x x mx =-是[0,]m 上的“第3类压缩函数”，求m 的取值范围．参考答案：1．（1）证明见解析；（2）存在，a 的取值范围是[1)+∞，. 【分析】（1）对()f x 求导，得到()e (e 1)x x f x x x x '=-=-，对x 分0,0,0x x x ><=讨论即可得答案；（2）由题意，将()0F x 恒成立转化为当0x <时，()0g x ≥恒成立即可，对()g x 求导得()cos g x x a '=-，分0a ≤、01a <<、1a ≥三种情况讨论，结合单调性可得答案.【详解】（1）证明：()e (e 1)x x f x x x x '=-=-，x R ∈.当0x >时，e 10x ->，则()0f x '>；当0x <时，10x e -<，则()0f x '>， 当0x =时，(0)0f '=，所以当x R ∈时，()0f x '≥，()f x 在R 上是增函数， 又(0)0f =，所以当0x ≥时，()(0)0f x f ≥=； 当0x <时，()(0)0f x f <=. （2）函数()F x 的定义域为x R ∈， 由（1）知，当0x ≥时，()0f x ≥， 又()max{()()}()F x f x g x f x =，≥， 所以当0x ≥时，()0F x ≥恒成立， 由于当0x <时，()0f x <恒成立， 所以()0F x ≥等价于：当0x <时，()0g x ≥.()cos g x x a '=-.Ⅰ若0a ≤，当π02x -<<时，0cos 1x <<， 故()0g x '>，()g x 递增，此时()(0)0g x g <=，不合题意； Ⅰ若01a <<，当π02x -<<时，由()0g x '=知，存在0π02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，当0(0)x x ∈，， ()0g x '>，()g x 递增，此时()(0)0g x g <=，不合题意；Ⅰ若1a ≥，当0x <时，由cos 1≤x 知，对任意0x <，()0g x '≤，()g x 递减， 此时()(0)0g x g >=，符合题意.综上可知：存在实数a 满足题意，a 的取值范围是[1)+∞，. 2．（1）证明见解析；（2）存在，2a =.【分析】（1）对()f x 求导，得到1()(1)(e 1)x f x x -'=--，对x 分1,1,1x x x ><=讨论即可获得证明；（2）由题意，将()0F x 恒成立转化为当11x -<<时，()0g x ≥恒成立即可，对()g x 求导得1()cos 1g x a x x '=--+，易得'()g x 单增，分(1)0g '≤与(1)0g '>两种情况讨论，结合'()g x 的单调性及零点存在性定理可得到满足题意的a .【详解】（1）11()(1)e 1(1)(e 1)x x f x x x x --'=--+=--，x R ∈, 当1x >时，10x ->，1e 10x -->，则()0f x '>； 当1x <时，10x -<，1e 10x --<，则()0f x '>， 当1x =时，(1)0f '=．所以当x R ∈时，()0f x '≥，()f x 在R 上是增函数， 又(1)0f =，所以当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=； 当1x <时，()(1)0f x f <=． （2）函数()F x 的定义域为(1)-+∞，，由（1）得，当1x ≥时，()0f x ≥，又()max{()()}()F x f x g x f x =，≥， 所以当1x ≥时，()0F x ≥恒成立． 由于当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()0F x ≥等价于：当11x -<<时，()0g x ≥恒成立． 1()cos 1g x a x x '=--+，21()sin (1)g x x x ''=++．当10x -<<时，1sin 0x -<<，211(1)x >+，故()0g x ''>； 当01x ≤<时，0sin 1x <≤，210(1)x >+，故()0g x ''>．从而当11x -<<时，()0g x ''>，()g x '单调递增．Ⅰ若(1)0g '≤，即1cos12a +≤，则当(11)x ∈-，时，()(1)0g x g ''<≤，()g x 单调递减， 故当(01)x ∈，时，()(0)0g x g <=，不符合题意； Ⅰ若(1)0g '>，即1cos12a >+，取11,11b a ⎛⎫∈--+ ⎪+⎝⎭，则11101a -<-+<+，且11()cos 1011g b a b a b b '=--+-<++≤，故存在唯一0(11)x ∈-，，满足00()g x '=，当0(1)x x ∈-，时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当0(1)x x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增． 若00x <，则当0(0)x x ∈，时，()g x 单调递增，()(0)g x g <，不符合题意； 若00x =，则()(0)0g x g ≥=，符合题意，此时由0()0g x '=，得2a =； 若00x >，则当0(0)x x ∈，时，()g x 单调递减，()(0)g x g <，不符合题意． 综上可知：存在唯一实数2a =满足题意．【关键点晴】本题第一小问的关键点在于提公因式讨论，避免二次求导；第二小问首先将将()0F x 恒成立转化为()0g x ≥在11x -<<时恒成立，在对()g x 研究时，关键点是(0)0g =，再结合'()g x 的单调性及零点存在性定理讨论得到a ，有一定难度，特别是书写的规范性.3．（1）()f x 在R 上是增函数，(3,)+∞；（2）证明见解析；（3）34,-⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【分析】（1）利用导数讨论()y f x =的单调性，由(3)0f =，得到不等式()0f x >的解集； （2）利用导数讨论()y g x =的单调性，求出最小值，即可证明； （3）先判断当3x ≥时，由()0f x ≥恒成立得到()0h x ≥恒成立；再研究当3x <时， ()max{(),()}=()h x f x g x g x =，只需()0g x ≥在(03)，上恒成立即可． 利用分离参数法得到cos x xa e ≥-，利用导数研究cos ()xx r x e =-，]3[0x ∈，的极大值，求出a 的范围.【详解】（1）()33()(3)3(3)1x x f x x e x x e '--=--+=--，当3x >时，30x ->，310x e -->，Ⅰ()0f x '>， 当3x <时，30x -<，310x e --<，Ⅰ()0f x '>， 当3x =时，()0f x '=，所以当x ∈R 时，()0f x '≥，即()f x 在R 上是增函数； 又(3)0f =，所以()0f x >的解集为(3,)+∞．（2）()sin xg x e x '=-．由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-，则()sin 0x g x e x '=->，即()g x 在(0,)+∞上为增函数． 故()(0)2g g x >=，即()2g x >．（3）由（1）知，当3x ≥时，()0f x ≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x <，因为()max{(),()}h x f x g x =，要使得()0h x ≥恒成立， 只要()0g x ≥在(0,3)上恒成立即可． 由()e cos 0x g x a x =+≥，得cos xxa e ≥-． 设函数cos ()x xr x e =-，[0,]x ∈， 则sin cos ()xx x r x e '+=．令()0r x '=，得34x =．随着x 变化，()r x '与()r x 的变化情况如下表所示：所以()r x 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．()r x 在(0,3)上唯一的一个极大值，即极大值343242r -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故342a -≥综上所述，所求实数a 的取值范围为34,-⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．4．（Ⅰ）1a e≤-；（Ⅱ）见解析【分析】（I ）问题转化为()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，令g （x ）＝ln x x ，通过求导求出g（x ）的最小值，从而求出a 的范围（Ⅰ）由（I ）22a e ≤时，在()0,+∞有唯一的0x ，使得a=00x lnx 20x e ≤≤，从而得到()f x 的最小值为(){}()0min f x f x =，分解因式分析正负可证得左边成立，再通过构造函数，求导分析得到最大值，证得结论. 【详解】（I ）求导得()ln ln a x x af x x x x='-=-，由题意知， 设()ln g x x x =，则()ln 1g x x ='+，()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，即1x e =是()g x 的极小值点，所以()11ln g x x x g e e ⎛⎫=≥=- ⎪⎝⎭，要使()f x 是()0,+∞上的单调函数，即()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，只有1a e ≤-.（Ⅰ）令()0f x '=，即a=xlnx ，()g x 在在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，22a e ≤时，在()0,+∞有唯一的0x ，使得a=00x lnx又由()ln g x x x =20x e ≤，即01ln 22x ≤≤， 所以()f x 的最小值为(){}()()00003min ln 2f x f x x a x x a ==--+，将00ln a x x =代入，得(){}()()()000000051min ln ln 1ln ln 2022f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=---≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而知(){}()0min 0f x f x =≥，另一方面，记()()()1ln ln 22h x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求导得()()3ln ln 12h x x x ⎛'⎫=--+ ⎪⎝⎭，2x e ≤≤时，所以x =是()h x 的唯一极大值点，即()(h x h ≤=有(){}()0min f x f x =≤综上所述，(){}0min f x ≤≤【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查了构造法的技巧及分析问题的能力，属于难题． 5．（1）1y x e =（2）见证明（3）31(,]2e-∞- 【分析】(1)利用导数的几何意义求函数()f x 在点11,e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1y x e =.（2）先计算得()()120F F <，所以()F x 存在零点0x ，且()01,2x ∈.再证明()F x 在()0,+∞上是减函数，即得证函数()F x 只有一个零点0x ，且()01,2x ∈.(3)由题得()202201,0,xx cx x x xh x x cx x x e ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，()h x 在()0,+∞为增函数()'0h x ≥即得在()00,x ，()0,x +∞恒成立，即22xxc e -≤在区间()0,x +∞上恒成立. 设()02()2xxu x x x e-=>，只需证明()min c u x ⎡⎤≤⎣⎦，再利导数求得()u x 的最小值()()3min132u x u e ⎡⎤==-⎣⎦，312c e ≤-即得. 【详解】（1）Ⅰ()()2'xx x f x e -=，Ⅰ切线的斜率()1'1k f e==，()11f e =.Ⅰ函数()f x 在点11,e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1y x e =.（2）证明：Ⅰ()()1F x f x x x =-+，()2x x f x e=，Ⅰ()110F e=>，()243202F e =-<，()()120F F <，Ⅰ()F x 存在零点0x ，且()01,2x ∈. Ⅰ()()221'1xx x F x e x-=--， Ⅰ当2x ≥时，()'0F x <；当02x <<时，由()()22212x x x x ⎡⎤+--≤=⎢⎥⎣⎦得()2221111'1110x F x e x x x≤--<--=-<. Ⅰ()F x 在()0,+∞上是减函数.Ⅰ若10x >，20x >，12x x ≠，则()()12F x F x ≠. Ⅰ函数()F x 只有一个零点0x ，且()01,2x ∈.（3）解：()0201,0,x x x x x g x x x x e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故()202201,0,x x cx x x xh x x cx x x e ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，Ⅰ函数()F x 只有一个零点0x ，Ⅰ()00F x =，即02001x x x x e-=.Ⅰ0222000001x x x cx cx x e--=-.Ⅰ()h x 在()0,+∞为增函数()'0h x ⇔≥在()00,x ，()0,x +∞恒成立. 当0x x >时()()2'20xx x h x cx e -=-≥，即22xxc e -≤在区间()0,x +∞上恒成立. 设()02()2xxu x x x e -=>，只需()min c u x ⎡⎤≤⎣⎦， ()3'2xx u x e -=，()u x 在()0,3x 单调减，在()3,+∞单调增. ()u x 的最小值()()3min 132u x u e ⎡⎤==-⎣⎦，312c e ≤-. 当00x x <<时，()21'12h x cx x =+-，由上述得0c <，则()'0h x >在()00,x 恒成立. 综上述，实数c 的取值范围是31,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线的方程的求法，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．（1）详见解析；（2）)24,e -⎡+∞⎣.【详解】试题分析：（1）证明()F x 在()0,+∞上存在唯一零点，需从两个方面进行，一是单调性，确保至多一个零点，二是零点存在定理，确保至少一个零点.（2）即求函数()h x 的最大值，根据分段函数最大值为各段最大值的最大值，先求各段函数单调性，确定最大值，并比较可得函数最大值. 试题解析：解：(1)函数()F x 的定义域为()0,+∞，因为()2ln xF x x e x x -=-，当01x <≤时，()0F x >，而()2422ln20F e =-<，所以()F x 在()1,2存在零点.因为()()()()()2211'ln 1ln 1xxx x x F x x x ee---+=-+=-+，当1x >时，()()21111,ln 11xx x x e e e--+≤<-+<-，所以()1'10F x e <-<，则()F x 在()1,+∞上单调递减，所以()F x 在()0,+∞上存在唯一零点.（2）由（1）得，()F x 在()1,2上存在唯一零点0x ，()00,x x ∈时，()()()0;,f x g x x x >∈+∞时，()()()()[)020,0,,{,,x xlnx x x f x g x h x x e x x -∈<∴=∈+∞.当()00,x x ∈时，由于(]()0,1,0x h x ∈≤；()01,x x ∈时，()'ln 10h x x =+>，于是()h x 在()01,x 单调递增，则()()00h x h x <<，所以当00x x <<时，()()0h x h x <.当[)0,x x ∈+∞时，因为()()'2x h x x x e -=-，[]0,2x x ∈时，()'0h x ≥，则()h x 在[]0,2x 单调递增；()2,x ∈+∞时，()'0h x <，则()h x 在()2,+∞单调递减，于是当0x x ≥时，()()224h x h e -≤=，所以函数()h x 的最大值为()224h e -=，所以λ的取值范围为)24,e -⎡+∞⎣. 7．（1）证明见解析；（2）1202x x x +>，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）只需证明()ln xxF x x x e =-在1,2上单调递增，且()()10,20F F 即可；（2）先证且存在()01,2x ∈，使得()()()0000F x f x g x =-=，故01x x <<时，()()f x g x <；当0x x >时，()()f x g x >，再用分析法证 明1202x x x +>即证20102x x x x >->. 试题解析：（1）证明：()ln x x F x x x e =-，定义域为()()10,,1ln xx x F x x e -∈++'∞=-，而()1,2x ∈．故()0F x '>，即()F x 在1,2上单调递增， 又()()21210,22ln 20F F e e=-=-，而()F x 在1,2上连续，故根据根的存在性定理有；()F x 在区间1,2有且仅有唯一实根．（2）当01x <≤时，()ln 0f x x x =≤，而()0xxg x e =>，故此时有()()f x g x <， 由（1）知，()11ln xx F x x e -=++'，当1x >时，()0F x '>， 且存在()01,2x ∈，使得()()()0000F x f x g x =-=，故01x x <<时，()()f x g x <；当0x x >时，()()f x g x >．因而()00ln ,0{,xx x x x m x x x x e <≤=>，显然当01x x <<时，()()ln ,1ln 0m x x x m x x =+'=>，因而()m x 单增； 当0x x >时，()()1,0x xx xm x m x e e -='=<，因而()m x 递减； ()m x n =在()1,+∞有两不等实根12,x x ，则()()1021,,1,x x x ∈∈+∞．显然当2x →+∞时，1202x x x +>，下面用分析法给出证明，要证：1202x x x +>即证20102x x x x >->，而()m x 在()0,x +∞上递减，故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<， 记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x =． ()0000022212211ln 1ln x x x x x xx x x x h x x x e e e ---+--=++++-'=，记()()1,t t t t t t e e ϕϕ-='=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<；()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>故()max1t eϕ=， 而()0t ϕ>故()10t e ϕ<<，而020x x ->，从而002210x x x x e e---<-<，因此()00000222122111ln 1ln 10x x x x x x x x x x h x x x e e e e---+--=++=+>-'+->，即()h x 单增，从而01x x <<时，()()00h x h x <=，即01011122ln x x x x x x e --<， 故1202x x x +>得证．考点：1、利用导数研究函数的单调性及求最值；2、利用导数证明不等式.【方法点睛】判断()0,f x =则方程实根的常用方法：Ⅰ转化法：函数()y f x =零点个数的个数就是函数零点的个；Ⅰ零点存在性定理法：判断函数在区间,a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；Ⅰ数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.本题（1）的证明就是采取方法Ⅰ进行的.8．（1）证明见解析；（2）1202x x x +>，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）只需证明()ln xxF x x x e =-在1,2上单调递增，且()()10,20F F 即可；（2）先证且存在()01,2x ∈，使得()()()0000F x f x g x =-=，故01x x <<时，()()f x g x <；当0x x >时，()()f x g x >，再用分析法证 明1202x x x +>即证20102x x x x >->. 试题解析：（1）证明：()ln x x F x x x e =-，定义域为()()10,,1ln x x x F x x e-∈++'∞=-，而()1,2x ∈．故()0F x '>，即()F x 在1,2上单调递增， 又()()21210,22ln 20F F e e=-=-，而()F x 在1,2上连续，故根据根的存在性定理有；()F x 在区间1,2有且仅有唯一实根．（2）当01x <≤时，()ln 0f x x x =≤，而()0xxg x e =>，故此时有()()f x g x <， 由（1）知，()11ln xx F x x e -=++'，当1x >时，()0F x '>， 且存在()01,2x ∈，使得()()()0000F x f x g x =-=，故01x x <<时，()()f x g x <；当0x x >时，()()f x g x >．因而()00ln ,0{,xx x x x m x x x x e <≤=>，显然当01x x <<时，()()ln ,1ln 0m x x x m x x =+'=>，因而()m x 单增； 当0x x >时，()()1,0x xx xm x m x e e -='=<，因而()m x 递减； ()m x n =在()1,+∞有两不等实根12,x x ，则()()1021,,1,x x x ∈∈+∞．显然当2x →+∞时，1202x x x +>，下面用分析法给出证明，要证：1202x x x +>即证20102x x x x >->，而()m x 在()0,x +∞上递减，故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<，记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e--=-<<，其中()00h x =． ()0000022212211ln 1ln x xx x x x x x x x h x x x e e e---+--=++++-'=， 记()()1,t t t t t t e e ϕϕ-='=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<；()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>故()max1t eϕ=， 而()0t ϕ>故()10t e ϕ<<，而020x x ->，从而002210x x x x e e---<-<，因此()00000222122111ln 1ln 10x x x x x x x x x x h x x x e e e e---+--=++=+>-'+->，即()h x 单增，从而01x x <<时，()()00h x h x <=，即01011122ln x x x x x x e --<， 故1202x x x +>得证．考点：1、利用导数研究函数的单调性及求最值；2、利用导数证明不等式.【方法点睛】判断()0,f x =则方程实根的常用方法：Ⅰ转化法：函数()y f x =零点个数的个数就是函数零点的个；Ⅰ零点存在性定理法：判断函数在区间,a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；Ⅰ数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.本题（1）的证明就是采取方法Ⅰ进行的.9．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题设有1()(0)axg x x x-'=>，讨论0a ≤、0a >判断()g x '的符号，进而确定()g x 的单调性；（2）由题意得11()x F x x e'=+，研究在1,2上()F x '的符号，由区间单调性结合零点存在性定理确定存在0(1,2)x ∈使得()00F x =，根据题设定义写出()m x 解析式，应用导数研究单调性，进而应用分析法：要证1202x x x +>只需要证01011122ln x x x x x x e --<，构造函数0022()ln x xx x h x x x e --=-，应用导数研究单调性并确定()0h x <，即可证结论.【详解】（1）()g x 的定义域为()0,+∞，11()(0)ax g x a x x x'-=-=>当0a ≤时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在0,上单调递增；当0a >时，令()0g x '=有1x a=， Ⅰ当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减.综上所述：当0a ≤时，()g x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）1()ln x F x x e=-且定义域为()0,x ∈+∞，Ⅰ11()xF x x e '=+，而在()1,2x ∈上()0F x '>，即()F x 在区间1,2内单调递增，又1(1)0F e =-<，21(2)ln 20F e =->，且()F x 在区间1,2内的图像连续不断，Ⅰ根据零点存在性定理，有()F x 在区间1,2内有且仅有唯一零点. Ⅰ存在0(1,2)x ∈，使得()00F x =，即001ln x x e =， Ⅰ当01x x <<时，1()x f x e <，即()x x xf x e <；当0x x >时，1()x f x e >，即()xx xf x e >， Ⅰ可得00ln ,1(),e xx x x x m x x x x <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，当01x x <<时，()ln m x x x =，由()1ln 0m x x '=+>得()m x 单调递增； 当0x x >时，()x x m x e =，由1()0xxm x e -'=<得()m x 单调递减： 若()m x n =在区间1,内有两个不相等的实数根1x ，()212x x x <，则()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞Ⅰ要证1202x x x +>，需证2012x x x >-，又0102x x x ->，而()m x 在()0,x +∞内递减， 故可证()()2012m x m x x <-，又()()12m x m x =，即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --< 下证01011122ln x x x x x x e --<：记0022()ln x x x x h x x x e--=-，01x x <<，由()00F x =知：0()0h x =， 记()t t t e ϕ=，则1()t tt e ϕ-'=：当()0,1t ∈时，()0t ϕ'>；当()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'<，故max 1()t eϕ=，而()0t ϕ>，所以10()t e ϕ<<，由021x x ->，可知002210x x x x e e---<-<.Ⅰ00022211()1ln 10x xx x x x h x x e e e---'=++->->，即()h x 单调递增， Ⅰ当01x x <<时，0()()0h x h x <=，即01011122ln x x x x x x e --<，故1202x x x +>，得证. 【点睛】关键点点睛：（1）分类讨论参数的范围，应用导数在对应区间的符号研究函数的单调性；（2）由导数研究()F x 在1,2上零点的个数，写出()m x 解析式并判断单调性，利用分析法：将要证明的结论转化为函数不等式恒成立. 10．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由()()22ln 1g x ax a x x =-+++求出()()()211'x ax g x x--=，分别讨论1a与12的关系，从而求出()'0g x >，()'0g x <时x 的范围，可得函数()g x 的增减区间，根据单调性可得函数()g x 的极值情况；（2）先证明()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增，根据零点存在性定理，存在()01,2x ∈，使得()()00000x x F x f x e =-=，可得以()00,1,xxlnx x x m x x x x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，要证1202x x x +>，只需证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x xx x e --<，记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e--=-<<，其中()00h x =，利用导数可证明()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=，即可得01011122ln x x x x x x e --<，进而可得结果. 【详解】解：（1）由题意，得()'ln 1f x x =+，故()()22ln 1g x ax a x x =-+++，故()()()()2111'22x ax g x ax a x x--=-++=， 0,0x a >>.令()'0g x =，得1211,2x x a==Ⅰ当02a <<时，112a >， ()1'002g x x >⇐<<或1x a>；()11'02g x x a<⇐<<， 所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；所以()g x 在12x =处取极大值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在1x a =处取极小值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.Ⅰ当2a =时，112a =，()'0g x ≥恒成立，所以不存在极值； Ⅰ当2a >时，112a <，()1'00g x x a >⇐<<或12x >；()11'02g x x a <⇐<<， 所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；所以()g x 在1x a =处取极大值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在12x =处取极小值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.综上，当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值ln24a--，在1x a=处取极小值1ln a a --；当2a =时，不存在极值；2a >时，()g x 在1x a=处取极大值1ln a a --，在12x =处取极小值ln24a--. （2）()ln xxF x x x e =-，定义域为()0,x ∈+∞， ()1'1ln xx F x x e -=++，而()1,2x ∈， 故()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增 又()110F e =-<，()2222ln20F e=->，且()F x 在区间()1,2内的图象连续不断，故根据零点存在性定理，有()F x 在区间()1,2内有且仅有唯一零点. 所以存在()01,2x ∈，使得()()0000x x F x f x e =-=， 且当01x x <<时，()xxf x e <； 当0x x >时，()xx f x e >，所以()00,1,x xlnx x x m x xx x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 当01x x <<时，()ln m x x x =， 由()'1ln 0m x x =+>得()m x 单调递增； 当0x x >时，()xxm x e =， 由()1'0xxm x e -=<得()m x 单调递减； 若()m x n =在区间()1,+∞内有两个不等实根12,x x （12x x <） 则()()10201,,,x x x x ∈∈+∞.要证1202x x x +>，即证2012x x x >-又0102x x x ->，而()m x 在区间()0,x +∞内单调递减， 故可证()()2012m x m x x <-， 又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-， 即01011122ln x x x x x x e --<记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e--=-<<，其中()00h x = 记()t t t e φ=，则()1't tt eφ-=， 当()0,1t ∈时，()'0t φ>； 当()1,t ∈+∞时，()'0t φ<， 故()max 1t eφ=而()0t φ>，故()10t eφ<<，而021x x ->，所以002210x x x x e e---<-<，因此()00022211'1ln 10x xx x x x h x x e e e---=++->->， 即()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=， 即01011122ln x x x x x x e --<，故1202x x x +>，得证. 【点睛】本题考查分类讨论求函数的极值以及零点偏移证明不等式. 方法点睛：（1）根据零点判断两根的范围；（2）由证明的结果逆推关系式，一般为要想证明1202x x x +>，只需证2012x x x >-，再根据12,x x 的范围以及函数的单调性寻找要证明的关系式；（3）根据同为零点的关系替换()()21m x m x =，即转化为证明()()1012m x m x x <-； （4）对函数求导，求单调性证明即可.11．（1）1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈． （2）存在4k =，使得()f x 是[-1,4]上的“4阶收缩函数”． （31b <≤ 【详解】试题分析：（1）根据()f x 的最大值可求出1()f x ，2()f x 的解析式；（2）根据函数2()f x x =，[14]x ∈-，上的值域，先求出1()f x ，2()f x 的解析式，再根据21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围得到答案.(3)先对函数()f x 求导判断函数的单调性，进而写出1()f x ，2()f x 的解析式，然后再由21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围. 试题解析：（1）由题意可得：()1cos f x x =，[]0x π∈，，()21f x =，[]0x π∈，. （2）()[)[]2110004x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()[)[]2211114x f x x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()()[)[)[]221211010114x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，，，，，， 当[]10x ，∈-时，()211x k x -≤+，Ⅰ1k x ≥-，2k ≥； 当()01x ∈，时，()11k x ≤+，Ⅰ11k x ≥+，Ⅰ1k ≥； 当[]14x ∈，时，()21x k x ≤+，Ⅰ21x k x ≥+，165k ≥综上所述，165k ≥.即存在4k =，使得()f x 是[]14-，上的“4阶收缩函数”. （3）()()23632f x x x x x =-+'=--，令()0f x '=得0x =或2x =.函数()f x 的变化情况如下：令()0f x =得0x =或3x =.（1）当2b ≤时，()f x 在[]0b ，上单调递增，因此，()()3223f x f x x x ==-+，()()100f x f ==.因为()323f x x x =-+是[]0b ，上的“二阶收缩函数”，所以， Ⅰ()()()2120f x f x x -≤-，对[]0x b ，∈恒成立； Ⅰ存在[]0x b ，∈，使得()()()210f x f x x ->-成立. Ⅰ即：3232x x x -+≤对[]0x b ，∈恒成立，由3232x x x -+≤解得01x ≤≤或2x ≥. 要使3232x x x -+≤对[]0x b ，∈恒成立，需且只需01b <≤. Ⅰ即：存在[]0x b ，∈，使得()2310x x x -+<成立.由()2310x x x -+<解得0x <x <<所以，只需b >综合ⅠⅠ1b <≤ （2）当23b <≤时，()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()100f x f ==，()()214f x f x -=，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立，（3）当3b >时，()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()10f x f b =<，()()()2144f x f x f b -=->，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立.综合（1）（2）（31b <≤. 12．（1）2；（2）存在，ln 21,24-⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）利用导数求出()()()21312h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的单调区间及最值，结合图像即可判定；（2）构造函数()()342H x g x x a =--，对该函数在()2,x a ∈++∞的最大值进行分类讨论求解，只需要最大值小于0即可.【详解】（1）设()212ln F x x x =--，则()()()21122x x F x x x x-+'=-=. 当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；所()()min 10F x F ==，所以()0F x ≥，即212ln x x -≥，所以()21f x x =-.设()()21312G x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合()f x 与()G x 在(]0,1上的图象可知， 这两个函数的图象在(]0,1内有两个交点，即()h x 在(]0,1上的零点个数为2（或由方程()()f x G x =在(]0,1内有两根可得）. （2）假设存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立， 则2223ln 421324422x x x a x a x a a x a⎧+<+⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-++<+ ⎪⎪⎝⎭⎩对()2,x a ∈++∞恒成立，即()()21ln 4,220,x x a x x a ⎧-<⎪⎨⎪+->⎩对()2,x a ∈++∞恒成立， Ⅰ设()1ln 2H x x x =-，则()22xH x x-'=， 当02x <<时，()0H x '>，()H x 单调递增；当2x >时，()0H x '<，()H x 单调递减. 所以()()max 2ln 21H x H ==-，当022a <+<即20a -<<时，4ln 21a >-，所以ln 214a ->，因为a<0，所以ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭，故当ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立；当22a +≥，即0a ≥时，()H x 在()2,a ++∞上递减， 所以()()()12ln 212H x H a a a <+=+--.因为()111ln 210222a a a '⎡⎤+--=-≤⎢⎥+⎣⎦，所以()()22ln 210H a H +≤=-<， 故当0a ≥时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立.Ⅰ若()()220x x a +->对()2,x a ∈++∞恒成立，则22a a +≥， 所以[]1,2a ∈-.由ⅠⅠ得，ln 21,24a -⎛⎤∈⎥⎝⎦. 故存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立，且a 的取值范围为ln 21,24-⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】此题考查导数的应用，利用导函数研究函数的单调性，图像，零点等问题，含参问题因为参数取不同范围导致函数单调性发生变化，所以一般分类讨论，属于较难题目.13．(Ⅰ) 3213,02(){4,23x x x f x x -≤≤=-<≤， 2()0f x =；(Ⅰ) m ≤【分析】(I)求出导函数，令导函数大于0求出x 的范围即为递增区间；令导函数小于0求出x 的范围即为递减区间，利用12(),()f x f x 的定义，求出它们的解析式；(II)求出函数32()f x x mx =-的导函数，通过导数判断出其单调性，得到12(),()f x f x 的解析式，根据“第3类压缩函数”的定义列出不等式，求出m 的范围．【详解】(Ⅰ)由于2()36f x x x '=-，故()f x 在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增． 所以，()f x 的最大值为{}max (0),(3)0f f =．3213,02(){4,23x x x f x x -≤≤=-<≤，2()0f x =，(Ⅰ)由于2()32f x x mx '=-，故()f x 在2[0,]3m上单调递减，在2[,]3m m 上单调递增， 而(0)()0f f m ==，324()327m m f =-，故32132,03(){42,3273mx mx x f x m m x -≤≤=-<≤，2()0f x =，232132,03()(){42,3273mmx x x f x f x m mx -≤≤-=<≤． 设对正整数k 有21()()f x f x kx -≤对[0,]x m ∈恒成立， 当x=0时，N k *∈均成立； 当203mx <≤时，21()()f x f x k x-≥恒成立， 而222221()()()244f x f x m m m x mx x x -=-+=--+≤, 故24m k ≥； 当23mx m <≤时，21()()f x f x k x-≥恒成立，而332214()()4227279m f x f x m m x x x -==<； 故229m k ≥；所以，24m k ≥，又()f x 是[0,3]上的“第3类压缩函数”，故2234m <≤，所以，m <≤【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：Ⅰ 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；Ⅰ 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；Ⅰ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；Ⅰ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
云南师大附中2015届高考适应性月考卷(二)数学理试题(扫描版,WORD解析)
云南师大附中2015届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由{0,2}A =，{0,1,2}B =，所以{0,2}A B =，故选C. 2．由42015i i 1i z =+=-，则1i z =+，其对应点为(1,1)，在第一象限，故选A.3．由{}n a 为等差数列，故而39662a a a +==，又1161166S a ==，故选D. 4．框图的运行如下：第一步1,πcos ;6k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第二步3,ππcos cos ;63k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第三步5,ππ2πcos cos cos .633k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第三步结束跳出循环，即最后输出的ππ2πcos cos cos 633S =，又由ππ2πcos cos cos 633S ==，故选D.5．①错，因为分别与两平行平面平行的两直线可以是平行、相交或异面；②错，因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面；③错，因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面；④对，直线m 、n 的方向向量分别是两互相垂直平面α、β的法向量，故而m n ⊥，所以有3个命题是假命题，故选C ．6．如图1所示，由椭圆的第一定义知，1214PF PF +=，又有122PF PF -=，故而18PF =，26PF =，而1210F F =，所以2221212PF PF F F +=，故12PF F △为Rt △，则12121242PF F S PF PF =⋅=△， 故选B.7．由于1A 、2A 串联，故其能通过电流的概率为0.81，则1A 、2A 不能通过电流的概率为10.810.19-=， 图2图1由1A 、2A 串联后与3A 并联，如图2，故,A B 之间能通过电流的概率为1(10.81)(10.9)0.981---=，又由于电路再与4A 串联，故而电流能在,M N 之间通过的概率是0.9810.90.8829⨯=，故选B.8．由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线220y x =的焦点重合，则5c =，由点到线的距离公式可知焦点(,0)c 到双曲线渐近线b y x a=±的距离d b =，所以4b =，故而3a ==，故其离心率53e =，故选C. 9．由题意知，2n B =，令1x =，则4n A =，故而4272n n A B +=+=，解之得：3n =，故选A.10．由题意可知该三棱锥为如图3所示的边长为1的正方体中以,,,A B C D为顶点的正四面体，故而其体积313V ==，故选C. 11．由(())()()0xf x xf x f x ''=+>，则函数()xf x 为R 上的增函数. 由于01a b <<<，则01b a a <=，01a b b <=，log log 1a a b a <=，而log log 1b b a b >=，则log (log )b b a f a ⋅最大，故选D.12．必要条件，若ABC △是锐角三角形，则π,,0,2A B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，所以tan tan tan 0A B C ++>，必要性成立；充分条件，由tan tan tan 0A B C ++>，即t a n ,t a n ,t a n A B C 有意义，ABC △不是直角三角形. 又在ABC △中，由πA B C ++=，得：πA B C +=-，所以tan()tan(π)A B C +=-⇒tan tan tan 1tan tan A B C A B+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⇒++=，由tan tan tan 0A B C ++>， 则tan tan tan 0A B C >，所以ABC △是锐角三角形，故选B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 图313．由223a b +=，得2(2)12a b +=，即224()4()12a a b b +⋅+=，所以21441122b b +⨯⨯⨯+=，解得2b=. 14．,x y 满足的线性区域如图4阴影部分所示，222x y +=，由两点间距离公式知，22x y +的最小值的几何意义是点 (0,0)到阴影区域中点的最小距离的平方，如图可知点(0,0)到阴影区域的最小距离为点(0,0)到直线220x y +-=的距离d ，故d ==222min 4()5x y +==. 15．经观察可知，由两位的“和谐数”有9个，而三位的“和谐数”相当于在两位数的中间增加0至9中任意一个数，故而三位的“和谐数”有91090⨯=个，而四位的“和谐数”相当于三位的“和谐数”中间的数字重复出现一次，则四位的“和谐数”有90个；同理，五位的“和谐数”有9010900⨯=个，六位的“和谐数”有900个，七位的“和谐数”有900109000⨯=个，八位的“和谐数”有9000个.16．记三个球心分别是1O ，2O ，3O ，球I 与桌面的切点为O ，反过来看图，由题意可知：三棱锥123IO O O 是以I 为顶点123O O O 为底面的正三棱锥，三棱锥123OO O O 是以O 为顶点123O O O 为底面的正三棱锥. 如图5所示，记A 为底面123O O O 的中心，则OIA 三点共线且OA 垂直底面123O OO ，由题意知126O O =，3OA =，1O A =，设球I 的半径为r ，则3AI r =-，13IO r =+，有22211()()()AO AI IO +=，即22(3)(3)12r r +=-+，解得1r =，所以球I 的半径为1．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）由121(2)n n a a n -=+≥，知112(1)(2)n n a a n -+=+≥，图4图5所以{1}n a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，故而111(1)2n n a a -+=+⋅，即12n n a +=，所以21n n a =-． ……………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知221log (1)21n n b a n +=+=+，21111114(1)41n nc b n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭， 所以1111111111142231414n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ……………（12分） 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图6，取BC 的中点O ，因为PBC △为等边三角形，所以PO BC ⊥，又因为侧面PBC ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，如图6，以O为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB平行的直线为y 轴，直线OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1,2,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)D --，(0,0,P ，所以(2,1,0)BD =--，(1,2,PA =-，0BD PA ⋅=，则BD PA ⊥，即BD PA ⊥. ………………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：因为PFPA λ=，(1,2,PA =-，所以(,2,)PF λλ=-，又(1,1,DP =，所以(1,12,))DF DP PF λλλ=+=+--，又平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)n =，直线DF 与平面ABCD 所成角为30︒.sin 30DF nDF n ⋅︒=，所以12=， 所以241670λλ-+=，则12λ=或72λ=（舍）. 当12λ=时，直线DF 与平面ABCD 所成角为30︒. …………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列， 图6又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P ， 故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是18P +、14P +， 由题意知，19(1)832P P ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得14P =或58P =（舍）， 所以甲同学第一次参加测试就合格的概率为14. ………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是38、12， 由题意知，ξ的可能取值为2,3,4,5,6，由题意可知121(2)(1,1)436P P m n ξ=====⨯=， 11233235(3)(1,2)(2,1)433483144P P m n P m n ξ⎛⎫⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (4)(1,3)(2,2)(3,1)P P m n P m n P m n ξ====+==+==1113312352584334833483144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(5)(2,3)(3,2)P P m n P m n ξ====+==33113512134833483396⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 35115(6)(3,3)483396P P m n ξ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为：……………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点20)F ，故可设椭圆的方程为222213x y b b +=+，解方程组2,y x ⎧=⎪⎨⎪⎩解得C，D -，由抛物线与椭圆的对称性，可得：22F CCDF S ST ==212F S =，所以12S ⎫⎪⎭.因此2213413b b+=+，解得21b =，故而24a =， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=. ……………………………………………………（4分） （Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设其为k . ①当0k =时，0OA OB tOP +==，所以0t =； ②当0k ≠时，则直线l 的方程为(3)y k x =-，联立221,4(3),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 并整理得：2222(14)243640k x k x k +-+-=， 由Δ2222(24)4(14)(364)0k k k =-+->，得2105k <<， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则2212122224364,1414k k x x x x k k -+==++． 因为OA OB tOP +=，所以121200(,)(,)x x y y t x y ++=， 所以20122124()(14)k x x x t t k =+=+， 012122116()[()6](14)k y y y k x x k t t t k -=+=+-=+． 因为点P 在椭圆上，所以2222224644(14)(14)k k t k t k ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 解得222236991414k t k k ==-++， 由于2105k <<，故而204t <<，所以(2,0)(0,2)t ∈-， 综合①②可知，(2,2)t ∈-. ……………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由题意知，()ln 2(0)f x x x '=+>，所以2()ln 2(0)F x ax x x =++>，2121()2(0)ax F x ax x x x +'∴=+=>．①当0a ≥时，恒有()0F x '>，故()F x 在(0,)+∞上是增函数； ②当0a <时，令()0F x '>，得2210ax +>，解得0x << 令()0F x '<，得2210ax +<，解得x >综上所述，当0a ≥时，()F x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()F x在0,⎛ ⎝上单调递增；在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. ………………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：由题意知，21212121()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--， 要证121x x k <<，即要证22112122211111ln ln ln x x x x x x x x x x x x --<<⇔<<-， 令211x t x =>，则只需要证明11ln t t t-<<，由ln 0t >，即等价证明：ln 1ln (1)t t t t t <-<>． ①设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t'=-≥≥，故而()g t 在[1,)+∞上单调递增， 而当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即ln 1(1)t t t <->；②设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()ln 0(1)h t t t '=≥≥，故而()h t 在[1,)+∞上单调递增， 而当1t >时，()ln (1)(1)0(1)h t t t t h t =-->=>，即1ln (1)t t t t -<>.综上①②知，ln 1ln (1)t t t t t <-<>成立，即121x x k<<. …………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图7，连接DG ，AB ，∵AD 为⊙M 的直径，∴90ABD AGD ∠=∠=︒，在⊙O 中，90ABC AEC ABD ∠=∠=∠=︒， ∴AC 为⊙O 的直径. …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）∵90AEC ∠=︒，∴90CEF ∠=︒，∵点G 为弧BD 的中点，∴BAG GAD ∠=∠，在⊙O 中，BAE ECB ∠=∠，∴AGD CEF △∽△，∴AG EF CE GD ⋅=⋅. …………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩故而C 的直角坐标方程为22.y ax = 图7消去t 得直线l 的普通方程为2y x =-. ……………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意可知直线l的标准参数方程为2,4,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）， 代入22y ax =得到2)8(4)0t a t a -+++=，则有1212),8(4)t t a t t a +=+⋅=+，由28(4)48(4)0a a ∆=+-⨯+>，即0a >或4a <-. 因为2||||||MN PM PN =⋅，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-⋅=⋅， 解得1a =或4a =-（舍），所以1a =. ………………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）因为0,0m n >>，则2422m n mn +≥，4222m n m n +≥，所以244233()()4m n m n m n ++≥，当且仅当1m n ==时，取等号． …………………………………………（5分） （Ⅱ）由柯西不等式知：22222()()()a b m n am bn +++≥， 即2225()(5)m n +≥，所以225m n +≥， 当且仅当a b m n=时取等号. …………………………………………（10分）。
2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷(七)数学(理)试题(解析版)
2021届云南师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（七）数学（理）试题一、单选题 1．已知复数212z i=+(i 是虚数单位)，则z =（ ） A ．1255i + B ．1255i - C ．2455i +D ．2455i - 【答案】C【分析】先化简复数z ，再求解其共轭复数即可. 【详解】()()()21222412121255i z i i i i -===-++-，∴2455z i =+， 故选:C.2．已知集合{}1,0,1,|1cos ,2M N y y x x M π⎧⎫=-==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合M N ⋂的真子集的个数是 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】1cos 1,1cos 00,1cos 122ππ⎛⎫⎛⎫--=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则 {}{}0,1,0,1,N M N M N =⋂=⋂的真子集的个数为2213-=个. 本题选择C 选项.3．某单位有管理人员､业务人员､后勤人员共m 人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员､业务人员､后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1:4，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则m 的值为（ ） A ．170 B ．180C ．150D ．160【答案】A【分析】根据分层抽样的概念及计算方法，列出等式，即可求解.【详解】若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4，所以抽取的业务人员有24人，又抽取的后勤人员比业务人员少20人，抽取的后勤人员有4人，所以120624424m =++，解得170m =.故选：A .4．已知()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()22xf xg x --=，则()1g -=（ ）A ．5B ．5-C ．3D ．3-【答案】D【分析】根据题意可得出关于()1f -、()1g -的方程组，进而可解得()1g -的值. 【详解】()()22xf xg x --=，所以，()()31128f g ---==，①，()()112f g -=，②，因为()f x 、()g x 是定义在R 上的偶函数和奇函数，由②可得()()112f g -+-=，则有()()()()118112f g f g ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得()13g -=-.故选：D.5．命题p ：存在实数a ，使得对任意实数x ，()cos cos x a x -=-恒成立；命题q ：0b ∀>，()lnb xf x b x-=+为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ） A ．()p q ∧⌝ B ．()p q ⌝∧ C ．p q ∧ D ．()()p q ⌝∨⌝【答案】C【分析】对于命题p ，取πa =可判断真假；对于命题q ，由()()lnln 0b x b xf x f x b x b x+--+=+=-+，可判断真假，从而逐项排除可得答案. 【详解】对于命题p ，取πa =，对任意实数x ，cos(π)cos x x -=-成立，因此p 真命题； 对于命题q ，函数()f x 的定义域是()b b -，，且()()ln ln 0b x b xf x f x b x b x+--+=+=-+， ∴()lnb xf x b x-=+为奇函数，因此q 真命题，所以q ⌝为假命题，p ⌝为假命题， 所以()p q ∧⌝为假命题，故 A 错误；()p q ⌝∧为假命题，故B 错误；p q ∧为真命题，故C 正确；()()p q ⌝∨⌝为假命题，故D 错误. 故选：C.6．若y a ，a 0a >，且1a ≠)成等比数列，则点(),x y 在平面直角坐标系内的轨迹位于（ ） A ．第三象限 B ．第四象限 C ．第一象限 D ．第二象限【答案】B【分析】由等比数列的定义可得，2y =,x y 的范围，即可得出结论.【详解】因为y a ，a 21()y x a a -+= ，即2y =20x ->，2x ∴>，所以21x x -<+，所以0y <，所以位于第四象限.故选:B.7．方程()()22220x x mxx n ----=有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则mn 的值为（ ） A ．158-B ．158C ．1516-D ．1516【答案】C【分析】由题意设4个根组成的等差数列为1x ，2x ，3x ，4x ，根据韦达定理可知14232x x x x +=+=，进而可得1232x d +=，求出4个根即可求解.【详解】设4个根组成的等差数列为1x ，2x ，3x ，4x ， 则14232x x x x +=+=，∴1232x d +=. 又∵1d =，∴112x =-，∴212x =，332x =，452x =， ∴1516mn =-， 故选：C8．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+(0>ω，2πϕ<)的图象上相邻两个最值点间的距离为3，且过点(0,，则要得到函数()y f x =的图象，只需将函数2sin y x ω=的图象（ ） A ．向右平移1个单位B ．向左平移1个单位C ．向右平移12个单位 D ．向左平移12个单位 【答案】A【分析】由函数过点(0,，可得π3ϕ=-，由函数的最值和最值间的距离可得6T =，进而可得π3ω=，求出函数解析式ππ()2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得结果.【详解】由题意(0)2sin f ϕ==π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.易知()f x 的最大值为2，最小值为2-，则相邻两个最值点间的距离为56T =⇒=，所以π3ω=. 所以ππ()2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π2sin (1)3x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故要得到函数()y f x =的图象，只需将函数π2sin 3y x =的图象向右平移1个单位 .故选:A9．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ ） A ．庚子年 B ．辛丑年C ．己亥年D ．戊戌年【答案】B【分析】根据“干支纪年法”的规则判断．【详解】天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年， 故选：B.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A BC D -的内切球的表面积为16π，则正方体外接球的体积为（ ）A ．81πB ．288πC ．36πD ．【答案】B【分析】设正方体的棱长为a ，求出三棱锥11A BC D -的内切球半径，设1A 到平面1BC D的距离为h ，可得1114A BC D O BC D V V --=，从而可得a=，求出正方体的对角线可得正方体外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.【详解】设正方体的棱长为a ，则BD ， 因为三棱锥11A BC D -的内切球的表面积为16π， 所以三棱锥11A BC D -的内切球半径为2. 设三棱锥11A BC D -的内切球的球心为O ，1A 到平面1BC D 的距离为h ，则1114A BC D O BC D V V --=，∴111142833BC D BC D S h S h ⨯=⨯⨯⇒=△△，∴h =8=，a =所以正方体外接球的半径162R ==，正方体外接球的体积为34π288π3R =，故选：B11．已知函数()esin cos 2f x x x x x=-+⋅，当[]4,4x ππ∈-且0x ≠时，方程()0f x =的根的个数是（ ）A ．7B ．6C ．9D ．8【答案】D 【分析】设e()2g x x=，()sin cos h x x x x =- ，求方程()0f x =的根的个数，即求函数()y g x =与()y h x =的图象的交点个数.利用函数均为奇函数求解即可【详解】设e()2g x x=，()sin cos h x x x x =- ，求方程()0f x =的根的个数，即求函数()y g x =与()y h x =的图象的交点个数.因为()f x 与()g x 均为奇函数，故只需求函数()y g x =与()y h x =的图象在(04π]，上的交点个数.因为()sin h x x x '=，所以()h x 在(0π)，，(2π3π)，上单调递增，在(π2π)，，(3π4π)，上单调递减.画出函数()y g x =与()y h x =在(04π]，上的图象，如图所示：得两图象在(04π]，上有4个交点，故在[4π0)-，上也有4个交点，故方程()0f x =在[4π4π]-，上有8个根，故选：D【点睛】关键点点睛：将函数函数拆分成两个函数e()2g x x=，()sin cos h x x x x =- 研究其交点个数是关键12．已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：()0y kx m km =+≠与双曲线C 的右支交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以()0,1A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞B ．()1,03,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()(),03,-∞+∞D ．1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】设出直线方程与双曲线方程联立，利用判别式、两根之和与两根之积列不等式，根据M ，N 都在以()0,1A -为圆心的圆上列出等量关系，进而可得答案. 【详解】设11()M x y ，，22()N x y ，，由22222(12)42(1)022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒---+=⎨-=⎩，， 因为直线l 与双曲线的右支相交，则2221200120k m k ⎧-≠⎨∆>⇒+->⎩，①，且1224012mk x x k+=>-，21222(1)012m x x k -+=>-②， 设MN 的中点为00()G x y ，，则02212km x k =-，0212my k =-， 则2122AGm k k km+-=∵AG MN ⊥， ∴21212m k k km+-⨯=- ，∴2231k m =+③， 由①②③得3m >， 故选：A.【点睛】方法点睛：解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式求解.二、填空题13．若实数x ，y 满足2,0,0,x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩则不等式组表示的平面区域的面积为___________.【答案】4【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出交点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．【详解】可行域如图所示的阴影部分，A （2，2），B （2，﹣2）， 故11224422OABS AB =⨯⨯=⨯⨯=．故答案为：4．14．已知点O 为坐标原点，抛物线23y x =与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA OB⋅等于___________. 【答案】2716-【分析】由题知抛物线23y x =的焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，进而分直线AB 斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.【详解】设2113y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2223y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，，当直线AB 斜率不存在时，1233,22y p y p ===-=， 所以22121233y y OA OB y y ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 221212127916y y y y +=-. 当直线AB 斜率存在时，设方程为()304x my m =+≠， 与抛物线联立方程得：29304y my --= 所以1294y y =-， ∴22121233y y OA OB y y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 221212127916y y y y +=-. 故答案为：2716-. 【点睛】本题考查过抛物线的焦点的弦的性质，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件分直线AB 斜率存在和不存在两种情况讨论；此外，掌握过抛物线焦点的弦的相关性质，能够快速解题.15．已知n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，若把其展开式中所有的项重新排列，则有理项互不相邻的概率为___________. 【答案】79【分析】根据26C C n n =，可得8n =，利用二项式展开式的通项公式求出有理项，再利用插空法以及古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】由26C C n n =，得8n =，所以n的展开式中的通项为818C rr rr T -+==548683C r r r x--， 当0r =，6时为有理项，其余7项为无理项，所以有理项互不相邻的概率为727899A A 7A 9P ==. 故答案为：7916．设函数()f x =e 1e 1sin 22y x -+=⋅+上存在点()00,x y ，使得()()00f f y y =成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】213,222e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】利用函数()f x 单调性可得00()f y y =，问题转化为()f x x =在[1e]，内有解，即232ln 2a x x x =--在[1e]，内有解，令23()2ln 2g x x x x =--，利用导数求出()g x 的值域即可求解.【详解】因为00()x y ，在曲线e 1e 1sin 22y x -+=+ 上，1sin 1x -≤≤，∴01e y ≤≤. 由于()f x =所以若00()f y y >，则000(())()f f y f y y >>，与00(())f f y y =矛盾，若00()f y y <，则000(())()f f y f y y <<，与00(())f f y y =矛盾，所以00()f y y =，则问题转化为()f x x =在[1e]，内有解，即方程2422ln 333x x a x ++=在[1e]，内有解， 得方程232ln 2a x x x =--在[1e]，内有解，令23()2ln 2g x x x x =--， 则()g x '=(32)(1)x x x+-，∴[1e]x ∈，时，()0g x '≥， 即()g x 在[1e]，上单调递增，所以(1)()g g x ≤213(e)()e e 222g g x ⇒--≤≤≤. 故答案为：213,222e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ()sin 2cos A a B =+. （1）求角B ；（2）若3b =，且ABC 的面积等于2，求11a c +的值.【答案】（1）2π3；（2）2.【分析】（1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解.（2）根据三角形的面积公式可得2ac =，再利用余弦定理可得a c +=求解.【详解】解：（1sin (2cos )A a B =+，sin sin (2cos )A B A B =+. ∵(0π)A ∈，，∴sin 0A >，cos 2B B -=，∴π2sin 26B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴ππ62B -=，∴2π3B =.（2）因为2ABCS=，∴12πsin 23ac =，∴2ac =. 又∵22222cos ()b a c ac B a c ac =+-=+-，∴a c +=∴11a c a c ac ++==. 18．支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据：（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率；②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X (单位：元)，求X 的数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关；（2）①1825；②600. 【分析】（1）根据题干列联表，计算2K ，对照参照值得出结论； 【详解】（1）由题中表格数据可得22⨯列联表如下：将列表中的数据代入公式计算得：2K的观测值22100(30104515) 3.030 3.84125755545K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关. ①抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率为33321815525P ⎛⎫⎛⎫=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②记抽出的40岁以上“支付宝达人”的人数为Y ，则500X Y =. 由题意得235YB ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴26()355E Y =⨯=，所以X 的数学期望6()500()5006005E X E Y ==⨯=.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，90ABC ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，1AD =，4BC =，23CD =.（1）求证：平面PBD ⊥平面PCD ； （2）若直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值为42121，求线段PD 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）2或6. 【分析】（1）过D 作DFAB ，交BC 于F ，可证四边形ABFD 为矩形，分别求得CF 、DF 、BD 的长，根据勾股定理，可证BD CD ⊥，根据题意，可得PD BD ⊥，根据线面垂直的判定定理，可证BD ⊥平面PCD ，根据面面垂直的判定定理，即可得证. （2）如图建系，求得各点坐标，进而可得AB ，PA ，PC 坐标，求得平面P AB 的法向量n ，根据线面角的向量求法，代入公式，即可得答案. 【详解】（1）证明：如图，在直角梯形ABCD 中，过D 作DFAB ，交BC 于F ，∵DF AB ，AD BF ，90ABC ∠=︒，∴四边形ABFD 为矩形， ∵1AD =，4BC =，∴3CF =.又∵23CD =∴223DF DC FC AB =-， ∴222BD BF FD =+=，∴222BD CD BC +=，∴BD CD ⊥.又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD BD ⊥，且PD CD D ⋂=， ∴BD ⊥平面PCD . 又∵BD ⊂平面PBD ， ∴平面PBD ⊥平面PCD .（2）解：如图，分别以DA ，DF ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设(0)PD a a =>，则：(100)A ,,，(13,0)B ,，(00)P a ,,，(33C -,,， ∴(030)AB =，，，(10)PA a =-，，，(3)PC a =--,,. 设()n x y z =，，为平面P AB 的法向量，由·0·0AB n PA n ⎧=⎨=⎩，即300y x az =-=⎪⎩，令x a =，可取(01)n a =，，， 设PC 与平面P AB 所成角为θ， 则22||421sin cos ,||||121PC n PC n PC n a a θ⋅=<>===⋅+⋅+，解得2a =6a =即线段PD 26.【点睛】解题的关键熟练掌握线面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，并灵活应用，利用向量求解线面角时，平面法向量与直线方向向量所成角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值，考查计算求解的能力，属基础题.20．已知抛物线()220y px p =>上一点(),4M m 到焦点F 的距离是4.（1）求抛物线的方程；（2）过点F 任作直线l 交抛物线于,A B 两点，交直线2x =-于点C ，N 是AB 的中点，求CA CB CN CF⋅⋅的值.【答案】（1）28y x =；（2）1.【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，根据对称性只考虑斜率为正的情况，设点,,,A B N F 在准线上的投影分别为1A ，1B ，G ，H ，||||(0)||||CA CB a a CN CF ⋅=>⋅ ，所以||||||||CA CB a CN CF ⋅=⋅，即11||||||||CA CB a CG CH ⋅=⋅ ，设直线AB 的方程为2x my =+，设11()A x y ，，22()B x y ，，联立直线与抛物线，结合韦达定理，再在2x my =+中，令2x =-得点C 坐标，再由1212()()()2C C C C y y y y y y a y y +⎛⎫-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭，化简整理可得a 的值，进而得到结论. 【详解】解：（1）因为42pMF m =+=①，且点(4)M m ，在抛物线上，所以216pm =②. 由①②得4p =，所以抛物线的方程为28y x =.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零， 设点,,,A B N F 在准线上的投影分别为1A ，1B ，G ，H ，||||(0)||||CA CB a a CN CF ⋅=>⋅ ，所以||||||||CA CB a CN CF ⋅=⋅， ∴11||||||||CA CB a CG CH ⋅=⋅. 设直线AB 的方程为2x my =+，代入28y x =，得28160y my --=.设11()A x y ，，22()B x y ，，则128y y m +=，1216y y =-.在2x my =+中，令2x =-，得4y m =-，即42C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.所以1212()()()2C C C C y y y y y y a y y +⎛⎫-⋅-=-⋅- ⎪⎝⎭， 即22121212()()2C C C C ay y y y y y y y y ay -+-++=+，所以224161616816m a a m m m -+⋅+=+⋅ ， 即21(1)10a m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴1a =，所以||||1||||CA CB CN CF ⋅=⋅ . 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 21．已知函数()1ln 1=+++f x a x bx x. （1）若24a b +=，当2a >时，讨论()f x 的单调性； （2）若1b =，()()3F x f x x=-，且当a ≥-时，不等式()1F x ≥在区间[]1,2上有解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）1,ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）首先求出函数的定义域，由24a b +=，消去参数b ，求出导函数，再对参数a 分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）当1b =时，2()ln 1F x a x x x=-++，再求出导函数222224()a a x F x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭'=，对224a -分类讨论，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）因为()1ln 1=+++f x a x bx x所以函数()f x 的定义域为(0)+∞，. 由24a b +=，得1()ln (42)1f x a x a x x=++-+， 则2[(2)1](21)()a x x f x x -+-'=，当4a =时，()0f x '≤，函数()f x 在(0)+∞，上单调递减； 当24a <<时，1()002f x x '<⇒<<或12>-x a ，11()022f x x a '>⇒<<-， 所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭，上单调递减，在1122，⎛⎫ ⎪-⎝⎭a 上单调递增； 当4a >时，1()002f x x a '<⇒<<-或12x >，11()022f x x a '>⇒<<-， 所以()f x 在102a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1122，⎛⎫⎪-⎝⎭a 上单调递增. （2）当1b =时，2()ln 1F x a x x x=-++，[12]x ∈，， 则22222222224()1a a x a x ax F x x x x x ⎛⎫++-⎪++⎝⎭'=++==.①当2204a -≥，即a -≤()0F x '≥，所以()F x 在[12]，上单调递增， 所以max ()(2)F x F =.②当2204a -<，即a >2220(80)x ax a ++=∆=->的两根分别为1x ，2x ，则12x x a +=-，122x x =， ∴10x <，20x <， 所以在区间[12]，上，222()0x ax F x x ++'=>， 所以()F x 在[12]，上单调递增， 所以max ()(2)F x F =.综上，当a ≥-时，()F x 在区间[12]，上的最大值为(2)ln 221F a =+≥， ∴1ln 2a -≥， 所以实数a 的取值范围是1ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.22．在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,32,x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数). （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若()0,1P -为平面直角坐标系中的一点，Q 为C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）C ：22(2)(1)5x y -++=，l ：270x y -+=；（2）2. 【分析】（1）由极坐标与普通方程的转化即可得出22(2)(1)5x y -++=，消参可得270x y -+=.（2）设(21)Q αα-，，利用点到直线的距离公式可得结果. 【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin ρρθρθ=-，所以曲线C 的直角坐标方程为2242x y x y +=-，即22(2)(1)5x y -++=. 将直线l 的参数方程消去参数t 得直线l 的普通方程为270x y -+=. （2）设(21)Q αα-，，则11M αα⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，. 所以点M 到直线l 的距离d ===，其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=，所以max 5102d +==.23．已知函数()2f x x a =-.（1）若对任意的[]2,2x ∈-，()42f x x ≥-+恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若()f x m ≤，()f y m ≤，求证：24333ax y m -+≤. 【答案】（1）(,8][4,)-∞-+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得|2|42x a x ---≥恒成立，即32a x -≤或2a x +≥恒成立，只需min (32)a x -≤或max (2)a x +≥即可.（2）只需证|24|3x y a m -+≤，由|2|x a m -≤，|2|y a m -≤，利用绝对值三角不等式即可证明.【详解】（1）解：当[22]x ∈-，时，|2|2x x +=+， 所以()4|2|f x x ≥-+恒成立，即|2|42x a x ---≥，∴22x a x --≥或22x a x --+≤，∴32a x -≤或2a x +≥恒成立， 所以min (32)a x -≤或max (2)a x +≥. 又[22]x ∈-，，∴8a ≤-或4a ≥， 所以实数a 的取值范围是(8][4)-∞-+∞，，. （2）证明：要证24333ax y m -+≤，只需证|24|3x y a m -+≤. 由()f x m ≤，()f y m ≤， 得|2|x a m -≤，|2|y a m -≤，则|24||(2)2(2)||(2)||2(2)|23x y a x a y a x a y a m m m -+=----+-+=≤≤， 所以24333ax y m -+≤.。
云南省云南师范大学附属中学2021届高三适应性月考(四)理数试卷PDF版含答案
………………………………………………………………（5 分）
（2）证明：设
A
y12 4
，y1
，
B
y22 4
，y2
，
设过 A 点且与抛物线相切的直线 lAQ ： y =
k′ x −
y12 4
+ y1 ，
y2 = 4x，
联立
y
=
k′ x −
y12 4
可得 k′ y2
+ y1，
=
an2 − 2an + 1=
(an −1)2 ， 所 以
an−=1 an − 1 或者 an−1 = 1 − an ．当 an−=1 an − 1 时，{an} 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以 an = n ，
a5 = 5 ；当 an−1 = 1 − an 时， a2 = 0 与 {an} 是正项数列矛盾，所以舍去，故选 C．
5．由题可知 E = V + F − 2 = 20 + 12 − 2 = 30 ，故选 B．
6． a = 2b ， c =
a2 + b2 =
3b2 =
3b ， e=
c= a
3b= 6 ，故选 C． 2b 2
7．由于 x − y + 2 < 0 取不到该直线上的点，所以目标函数既无最大值也无最小值，故选 B．
（2）解：如图，过点 E 作 EG ⊥ BE 交 BF 于点 G，
EG ⊥ EB ， EG ⊥ DE ， EB DE = E ，
所以 EG⊥平面 BCDE．
分别以 ED，EB，EG 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
E(0，0，0) ， B(0，2，0) ， C(2，2，0) ， D(2，0， 0) ，
2020届云南师大附中高考适应性与考卷(五)理科数学及答案详解
理科数学参考答案·第1页（共7页）云南师大附中2020届高考适应性月考卷（五）理科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案B C B D C D B A B D C B 【解析】1．{11}{|13}{1}A B x x A B =-=-<<= ，，，，故选B ．2．cos152sin(1530)=︒+︒=︒+︒=原式，故选C ．3．121i 1i 1i 1111i 01i 222222z z z OP OQ OP OQ +-+⎛⎫⎛⎫======-= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，∴，，，，，故选B ． 4．24111051244410910(4)3954832a a a d a S a a d d +=+==-⎧⎧⨯⇒=⨯-+⨯=⎨⎨=+==⎩⎩，，，，故选D ． 5．常数项333361C ()20201ax a a x ⎛⎫=-=-=-⇒= ⎪⎝⎭，故选C ． 6．(0)sin 21f =<，且()()f x f x -=，函数为偶函数，故选D ．7．25210C 2C 9P ==，故选B ． 8．通过作图，观察图象可知，1a =，所以ln 22ln 2221(ln 2)(2)e 2e e e 2e e 2e 2f f -+-+=+=⨯+=+，故选A ．9．由题，ππ1()2sin 223g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，图象如图1，由图可知，||PQ 取到的最小可能为12||||PQ PQ ，，因为1||PQ =2||4PQ =，所以最小值为4，故选B ． 10．因为OA OB OC OD R ====，所以A 正确；当AC BD ⊥，A ，C 各在所在圆弧的中点，此时三棱锥的底面BCD 的面积和高均处于最大位置，此时体积为111211233⨯⨯⨯⨯=，所以B 正确；AB 与CD 显然异面，用反证法证明他们不垂直．若AB CD ⊥，过A 作BD 的垂线，垂足为E ，因为为直二面角，所以AE ⊥平面BCD ，所以AE CD ⊥，所以CD ABD ⊥平面，所以CD BD ⊥，这与CD BC ⊥矛盾，所以AB 与CD 不垂直，所以正确，故选D ．图1理科数学参考答案·第2页（共7页）11．有如下两种情况：（1）0ba >>； （2）0ab >>．图2 （1）如图2甲，可求出A ，B 的坐标分别为222222a ab a c abc AB c c a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，，，，所以22112222AOB BOF AOF abc ab S SS c c ab e b a c=-=⨯-⨯=⇒=-△△△；同理可得当0a b >>时，满足条件的离心率2e =，故选C ． 12．设B D βα∠=∠=，，则在2916234cos 2524cos ABC AC ββ=+-⨯⨯=-中，△，在22536256cos 6160cos ACD AC αα=+-⨯⨯=-中，△，5cos 2cos 3αβ-=∴，ABCD ABC S S =+△ 1134sin 56sin 3(5sin 2sin )22ACD S βααβ=⨯⨯+⨯⨯=+△，令5cos 2cos M N αβ=-=， 5sin 2sin αβ+，22222920cos()92020cos()M N N N αβαβ+=-+=+⇒=-+，所以当παβ+=，即33cos cos 77αβ==-，时，N ，所以面积的最大值为故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号13 14 15 16 答案 答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123)--，，， 34或35 26y x = 8【解析】 13．答案不唯一，满足条件即可．例如：(2123).--，，，14．(|120)1(2)0.0228P X X P X μσ>=-<+=，则成绩在120分以上的人数有15000.0228⨯34.2=，所以34或35均可．15．过抛物线的焦点且平行于y 轴的直线与抛物线交于22p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所围成的面积为33222202222633323p p x x x p p ⎫⎛⎫===⨯==⇒=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭⎰，所以抛物线的方程为26y x =．理科数学参考答案·第3页（共7页）16．2222222221221log 4200log 4log 1000log 23log 10log 3320320n ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤，因为2log 10= 211210log 1lg 20.320=<<，所以22218log 320n n +⇒≤的最大值为8． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1）40{}n n a a =，为常数列；1110{}n n n n b b b ->-=，，是首项为10，公差为10的等差数列；11120.4n n n c c c ->==，，，所以{}n c 是首项为0.4，公比为2的等比数列．………………………………………（4分）所以1100.42n n n b n c -==⨯，．……………………………………………………………（6分）（2）设投资10天三种投资方案的总收益为101010A B C ，，，由（1）知：101010101090.4(12)400101010550409.2212A B C ⨯-==⨯+⨯===-；；， 因为101010B C A >>，所以应该选择方案二．…………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下： 826592821109213311013813326%12%20%21%4%658292110133-----=====；；；；； 15413812%138-=， 所以2013年的增长率最高，达到了26%．……………………………………………（6分）（2）由表格可计算出：7721177443516()287i i i i i t y t y t t =====-=∑∑，，， 77435167477471515450.57287b a -⨯⨯===-⨯= ，，…………………………………（8分） y 关于t 的回归直线方程为 1550.57y t =+．…………………………………………（10分） 令149.431550.572009.9615t t +>⇒>=． 所以根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．………………………………………………………………………………………（12分）理科数学参考答案·第4页（共7页）19．（本小题满分12分）（1）证明：设BF 的中点为H ，AC BD O = ，连接HG ，HO ．因为G 是BE 的中点，所以12HG EF AO HG EF AO ==∥∥，， 所以四边形AGHO 是平行四边形，所以AG HO ∥，又因为HO ⊂平面BDF ，AG ⊄平面BDF ， 所以AG ∥平面BDF ．……………………………………………………………………（6分） （2）解：因为菱形ABCD 和矩形ACFE 所在平面互相垂直，所以可建立如图3的空间直角 坐标系，设OA a OB b ==，，则(00)(00)(0)(00)A a B b E a a D b -，，，，，，，，，，，，()(00)(200)BE b a a AE a BD b === ，，，，，，，，．设平面ABE 与平面BDE 的法向量分别为11112222()()n x y z n x y z == ，，，，，， 则11112112000000n BE bx ay az n BE az n AE n BD ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎪⎪⎩⎩ ，，，，2222020bx ay az bx ++=⎧⇒⎨=⎩，， 令12121(0)(011)x a y n a b n ==⇒=-=- ，，，，，，，……………………………………（9分）12cos n n = 〈，〉．……………………………………………………………（10分）33tan 544a ABOb =⇒=⇒∠=，……………………………………（11分） 所以32244tan tan 297116ABC ABO ⨯∠=∠==-．…………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）证明：（1）因为00()P x y ，在椭圆上，所以2200221x y a b+=，所以P 也在直线上．……（1分） 联立直线和椭圆方程图3理科数学参考答案·第5页（共7页）222220222222222224420000000222222221()201x y a b b x x y a b a y a y b x x a b x x b a a y x x y y b x a y a b ab ⎧⎧-+=⎪=⎪⎪⇒⇒+-+-=⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎪⎩，， ………………………………………………………………………………………（3分）因为P 在椭圆上，所以222222222222220000200a y b x a b a b x a b x x a b x +=⇒-+=⇒∆=⇒所以直线l 与椭圆相切，又因为l C P = ，所以直线l 是椭圆在点P 处的切线．……………………………………………………（6分） （2）设2F 关于直线l 的对称点为211()F x y '，，则22F F '，的中点在直线l 上，直线22F F '与l 垂直， 即22210120201210221x c a b b x y a y b x y x c a y +⎧-⎪=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪-⎪⎩ ……………………………………………………………（8分）244242000142420022200142420022()a b x a y c b x c x a y b x a b y a x c y a y b x ⎧+-=⎪+⎪⇒⎨-⎪=⎪+⎩，， ……………………………………………………（10分） 212222200000014224222222221000000()()()()F F b y a x c b y a x c y a x c y k x c b x a y c b x a b c b x c a c x a c x c'---====+++--+- 120002000()()()PF y a x c y k a x c x c x c-===-++， 所以21F P F '，，三点共线，所以从2F 发出的光线2F P 经直线l 反射后经过1F ．…………………………………（12分）（注：此题证明方法较多，请酌情给分）21．（本小题满分12分）（1）证明：令12()ln ()2h x x h x x x '==-=， 所以()h x 在(04)，上单调递增，在(4)+∞，上单调递减，理科数学参考答案·第6页（共7页）所以()h x 的最大值为(4)ln 422(ln 21)0h =-=-<，即()0h x <，所以(0)x ∀∈+∞，，都有ln x <．……………………………………………………（4分） （2）解：()(01)x a f x a x x a =->>，，ln ln ()0ln ln x a a x f x a x x a a x a x =⇔=⇔=⇔=， 所以()f x 的零点个数等于方程ln ln x a x a =解的个数． 令2ln 1ln ln ()()()x x a g x g x g a x x a-'=⇒==， 所以()g x 在(0e)，上单调递增，在(e )+∞，上单调递减，又因为(1)0g =，且由（1）知，ln ()0x x g x x <=→+∞→当时，， 所以e a =时，()()g x g a =有且只有一个解，所以若函数e ()e ()e x f x a f x x ==-有且只有一个零点，则，此时，…………………（8分） e e 11e 1()e ()e e e(e )x x x f x x f x x x ---'=-⇒=-=-， 令e 1(e 1)()1(e 1)ln ()1x x x x x x xϕϕ---'=---=-=，则， 所以()x ϕ在(0e 1)-，上单调递减，在(e 1)-+∞，上单调递增，(1)(e)0ϕϕ==，所以(01)()0(1e)()0(e )()0x x x x x x ϕϕϕ∈>∈<∈+∞>，，；，时，；，，， 即1e 1(01)1(e 1)ln e ()0x x x x x f x --'∈->-⇔>>，，，即， 同理可得：当(1e)()0(e )()0x f x x f x ''∈<∈+∞>，时，；当，时，，所以1x =和e x =分别是函数()f x 的极大值点和极小值点．所以e a =时，()f x 的极大值为e −1，极小值为0．…………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）因为直线的倾斜角为30°，经过时间t 后，小虫爬行的距离为2t ，其所在位置为(1)t -+，所以该射线的参数方程为1(0)x t t y t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩为参数，≥，． ………………………………………………………………………………………（5分）理科数学参考答案·第7页（共7页）（2）曲线C 1的直角坐标方程为22100x y x +-=；将射线的参数方程带入曲线C 1的方程，得24110t -+=，设t 1，t 2分别为小虫爬入和爬出的时间，则1212114t t t t =+=，，逗留时间214(min)t t -==，所以小虫在圆内逗留的时间为4min ．…………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：如图4，（1）22x y x y OD OC +-==，，CD =5分） （2）由（1）知，()2a b CD OD a b +=≥，时取等号， 所以2221224a b a b ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 22441112482a b a b a b +⎛⎫⇒+== ⎪⎝⎭≥≥≥当时取到等号， 所以44a b +的最小值为18．……………………………………………………………（10分） 图4。