1.4 充分、必要条件(精讲)(解析版)

1.4 充分、必要条件（精讲）

考法一命题及其判断

【例1】（1）（2020·全国高一课时练习）下列语句为命题的是（ ） A ．250x +≥ B ．求证对顶角相等 C ．0不是偶数

D ．今天心情真好啊

（2）（2020·全国高一课时练习）命题“三角形中，大边对大角”，改成“若p ，则q ”的形式，则（ ) A ．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，真命题 B ．三角形中，若一边较大，则其对的角也大，假命题 C ．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，真命题 D ．若一个平面图形是三角形，则大边对大角，假命题 【答案】（1）C （2）A ）

【解析】（1）对于A 选项，250x +≥为不等式，不能判定真假，故不是命题；

对于B 选项，“求证对顶角相等”为操作命令；对于D 选项，为感叹句，不是命题.故选：C. （2））命题中“三角形中”是大前提，条件应该是“大边”，结论是“对大角”，所以正确选项为A.

【一隅三反】

1．（2019·宁波市第四中学高二期中）命题“若a ，b 都是奇数，则+a b 是偶数”的逆否命题是（ ） A ．若两个整数a 与b 的和+a b 是偶数，则a ，b 都是奇数 B ．若两个整数a ，b 不都是奇数，则+a b 不是偶数

C ．若两个整数a 与b 的和+a b 不是偶数，则a ，b 都不是奇数

D ．若两个整数a 与b 的和+a b 不是偶数，则a ，b 不都是奇数 【答案】D

【解析】由逆否命题定义可知：

命题“a ，b 都是奇数，则+a b 是偶数”的逆否命题是：“若+a b 不是偶数，则a ，b 不都是奇数”．故选：D ．

2．（2020·全国高三专题练习（文））命题“若21x ＜，则11x -＜＜”的逆否命题是（ ） A ．若21x ≥，则1x ≥，或1x ≤- B ．若11x -<<，则21x < C ．若1x >，或1x <-，则21x >

D ．若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥

【解析】命题“若21x ＜，则11x -＜＜”的逆否命题是“若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥”. 故选：D.

3．（2020·黑龙江高二期末（文））若1x >，则0x >的否命题是（ ） A ．若1x >，则0x ≥ B ．若1x ≤，则0x > C ．若1x ≤，则0x ≤ D ．若1x <，则0x <

【答案】C

【解析】“若1x >，则0x >”的否命题是“若1x ≤，则0x ≤”.故选：C.

考法二 充分、必要条件

【例2】（1）（2019年天津市高考数学试卷（理科））设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

（2）（2019安徽省合肥市第一中学）不等式22530x x --≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．0x ≥ B ．0x <或2x > C ．2x <-

D ．1

2

x ≤-

或3x ≥ 【答案】（1）B （2）C

【解析】（1）化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<， 故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B ． （2）解不等式22530x x --≥，得3x ≥或12

x ≤-

， 结合四个选项，D 是其充要条件，AB 是其既不充分也不必要条件，C 选项2x <-是其充分不必要条件.故选：C. 【一隅三反】

1.（北师大版新教材

2.1必要条件与充分条件）设集合{}1,A a =，{}1,2,3B =，则“3a =”是“B A ⊇”的（ ) A ．充分条件 B ．必要条件

C ．没有充分、必要性

D ．既是充分又是必要条件

【解析】当3a =，集合{}1,3A =，{}1,2,3B =，所以B A ⊇正确，即“3a =”是“B A ⊇”的充分条件，所以正确选项为A.

2．（2020届山东省烟台市高考诊断性测试）设x ∈R ，则“|2|1x -<”是“2230x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】|2|1x -<，解得13x <<，

2230x x +->，解得3x <-或1x >，

“13x <<”成立，则“3x <-或1x >”成立， 而“3x <-或1x >”成立，“13x <<”不一定成立，

所以“|2|1x -<”是“2230x x +->”的充分不必要条件.故选：A

3．若集合{}|0A x x =>，下列各式是“a A ∈”的充分不必要条件的是（ ) A ．1a >- B ．1a >

C ．0a ≥

D ．0a >

【答案】B

【解析】集合{}|0A x x =>，当1a >时，a A ∈，反之不成立，即为充分不必要条件，所以正确选项为B.

考法三 求参数

【例3】（《2020年高考一轮复习讲练测》）已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．3a ≤-

C ．1a ≥-

D ．1a ≥

【答案】D

【解析】由题意知：:|1|2p x +>可化简为{|31}x x x <->或，:q x a >， 所以q 中变量取值的集合是p 中变量取值集合的真子集，所以1a ≥.

1“关于x 的不等式2x 2ax a 0-+>的解集为R”的一个必要不充分条件是 ( ) A ．0a 1<< B ．10a 3

<<

C ．0a 1≤≤

D ． a 0<或1a 3

>

【答案】C

【解析】因为关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ， 所以函数2

()2f x x ax a =-+的图象始终落在x 轴的上方，

即2440a a ∆=-<，解得01a <<，

因为要找其必要不充分条件，从而得到(0,1)是对应集合的真子集， 对比可得C 选项满足条件，故选C. 2．已知1

:

12

p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞ B ．[1,4]

C ．(1,4]

D ．(1,4)

【答案】C 【解析】由

1

12x ≥-，即302

x x -≤-，解得23x <≤， 由||2x a -<得22a x a -<<+， 若p 是q 的充分不必要条件，则22

23

a a -≤⎧⎨

+>⎩，

解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]

1,4， 故选：C.

3．（河南省高中毕业班阶段性测试（四）理科数学试）关于x 的不等式()()30x a x -->成立的一个充分不必要条件是11x -<<，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤- B ．0a <

C ．2a ≥

D ．1a ≥

【答案】D

【解析】由题可知()1,1-是不等式()()30x a x -->的解集的一个真子集.

当3a =时，不等式()()30x a x -->的解集为{}

3x x ≠，此时()1,1- {}

3x x ≠； 当3a >时，不等式()()30x a x -->的解集为()(),3,a -∞⋃+∞，