2.7 静电场的间接求解方法— 镜像法

静电场的间接求解方法— 2.7 静电场的间接求解方法 镜像法
CQU
1.平面导体的镜像 1.平面导体的镜像
边值问题： 边值问题：

∇ 2ϕ = 0
（除 q 所在点外的区域） 所在点外的区域） 导板及无穷远处） （导板及无穷远处）
ϕ =0
上半场域边值问题：
P1
所在点外的区） （除 q 所在点外的区） ∇ 2ϕ = 0 q q ϕ= − = 0 （导板及无穷远处） 导板及无穷远处） 4πε 0 r 4πε 0 r
r EP
r r σ p = en ⋅ D2 = −ε 0 E p = −
qh 2π (h 2 + x 2 )3/ 2
点电荷q在地面引起 图2.7.2 点电荷 在地面引起 的感应电荷的分布
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整个地面上感应电荷的总量为
y +q ε0
r en
σ = ∫ σ p dS
S
dS = 2π xdx
h
=∫
∞
0
−qh ⋅ 2π xdx 2 2 3/ 2 2π (h + x )
∞
dx
O ε0 h
P(x,y)
r E−
1 = qh 2 = −q 2 1/ 2 (h + x ) 0
r E+
x
-q
r EP
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2.不同介质分界面的镜像 2.不同介质分界面的镜像
极化电荷的镜像
图2.7.3 点电荷对无限大介质分界面的镜像
q q ' q '' + = ε1 ε1 ε 2 q − q ' = q ''
ε −ε q' = 1 2 q ε1 + ε 2 q '' = 2ε 2 q.4 点电荷 q 位于不同介质 平面上方的场图
• ε1 中的电场是由 q 与 q’共同产生，其有效区在上半空间， 共同产生， 共同产生 其有效区在上半空间， q’ 是等效替代极化电荷的影响。 是等效替代极化电荷的影响。 • ε2中的电场是由 q’’ 决定，其有效区在下半空间， q’’ 是等 决定，其有效区在下半空间， 效替代自由电荷与极化电荷的作用。 效替代自由电荷与极化电荷的作用。
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r E'
r E r E
r E ''
E1t = E2t
D1n = D2 n
q q' q '' cosθ + cosθ = cosθ 4πε1r 2 4πε1r 2 4πε 2 r 2 q q' q '' sin θ − sin θ = sin θ 4π r 2 4π r 2 4π r 2
CQU
图2.7.1 平面导体的镜像
镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布, 镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚 设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。 设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。
CQU
例2.7.1 求空气中一个点电荷 q 在无限大导体表面引起的感应电 荷分布情况。 荷分布情况。
边值问题： 边值问题： ∇ 2ϕ1 = 0
2 2
∇ ϕ =0 ϕ =ϕ = 0 ϕ =ϕ ε ∂ϕ = ε ∂ϕ
1 2
点外的上半空间) (除 q 点外的上半空间) (下半空间) 下半空间) (无穷远处) 无穷远处) (分界面上) 分界面上)
2
1
2
1
1
∂n
2
∂n
(分界面上) 分界面上)
即
q '' = 2ε 2 ε +ε ε −ε ε −ε q = 2 1 q+ 2 1 q = q+ 2 1 q ε 2 + ε1 ε 2 + ε1 ε 2 + ε1 ε 2 + ε1
镜像法小结
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镜像法的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法的理论基础是静电场唯一性定理； 理论基础是静电场唯一性定理 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布， 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布， 实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布 使计算场域为无限大均匀介质； 使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置； 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置； 关键是确定镜像电荷的个数 应用镜像法解题时，注意： 应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以 外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。 外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。
y +q ε0
r en
解: 设点电荷q 离导体表面高度为h，则 r r r （方向指向导体表面） 方向指向导体表面） E p = E+ + E−
r Ep = 2 q 4πε 0 r 2 r cos θ (−en )
h O P(x,y)
r E−
r E+
x
=
ε0
h -q
qh r (−en ) 2πε 0 (h 2 + x 2 )3/ 2