角平分线的判定
初一数学：角平分线(含解析)
5角平分线知识互联网板块一角平分线的性质与判定知识导航角平分线的性质与判定：⑴定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线．⑵角平分线的性质定理：如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑶角平分线的判定定理12如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线；在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上．夯实基础【例1】⑴证明：三角形三个角的角平分线交于一点．⑵已知：如图，ABC △的两条外角平分线交于点P ．求证：PB 平分ABC ∠．BAP【解析】⑴如图，在ABC △中，设BAC ABC ∠∠、的平分线的交点为I ，过I 点作ID AB ⊥于D ，IE AC ⊥于E ，IF BC ⊥于F ，连接IC ．∵AI BI 、都是角平分线，∴ID IE =，ID IF =，∴IE IF =，∴IC 是ACB ∠的平分线，∴三角形三个角的平分线交于一点．这一点称之为三角形的内心，常用大写字母I 来表示，三角形的内心到三角形三条边的距离相等，它是三角形内切圆的圆心．⑵如图，过P 作PM BA ⊥于M ，PN AC ⊥于N ，PQ BC⊥于Q ．由角平分线的性质定理，易证PM PN =，PN PQ =，故PM PQ =，因此根据角平分线的判定定理，PB 平分ABC ∠，得证．这一点称之为三角形的旁心，三角形的旁心到三角形三条边的距离相等，它是三角形旁切圆的圆心．旁心有3个．【例2】如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：CF 平分AFB ∠．M D NEC BFAGM H D NEC BF AI FE DCB ANMC B AQ P3【解析】过点C 作CG AN ⊥于G ，CH BM ⊥于H ，由ACN MCB △≌△，利用AAS 进而再证BCH NCG △≌△，可得AFC BFC ∠=∠，故CF 平分AFB ∠．【点评】此图在前面的学习中做过介绍，老师可以先带着学生简单复习一下相关结论。
角平分线的性质与判定
4321N M A B O D P P CA B M N M N AB DC P ED A BC 角平分线的性质与判定一、知识梳理：1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.二、典型例题：例１、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上截取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD .求证：PM ＝PN及时练习：1．如图，CP 、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM 、∠CBN .求证：点P 在∠BAC 的平分线上.2．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝BC ，点P 是BD 延长线上的一点，PM ⊥AD ，PN ⊥CD .求证：PM ＝PN例２、如图，已知四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于点E ，且AE ＝12(AB ＋AD )，如果 ∠D ＝120°，求∠B 的度数.及时练习：D CA B D F E BA CD E C A B1．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，AC ＝5，BC ＝3.求ACD CBD S S ∆∆.2．在四边形ABCD 中，已知AB ＝a ，AD ＝b .且BC ＝DC ，对角线AC 平分∠BAD ，问a 与b 的大小符合什么条件时，有∠B ＋∠D ＝180°，请画图并证明你的结论.例3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°,AB ＝AC ，BE 平分∠ABC ，CE ⊥BE .求证：CE ＝12BD.及时练习：1．如图，已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 、∠DBA ，CD 过点E ，求证：AB ＝AC ＋BD .2．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，AD 、CE 相交于点F .⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系，并说明理由； ⑵求证：AE ＋CD ＝AC .第1题图D C B A第2题图D B C A E P 第3题图Q S R P B A C 第4题图E F B D A C 第5题图E B C A第6题图F E D P A B C 第7题图P A B C E F 第8题图D A B C E 第9题图E D C AB 第10题图K N M QC B A三、课堂练习：1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝n ，AB ＝m ，则△ABD 的面积是（ ） A ．13mn B ．12mn C ． mn D ．2 mn2．如图，已知AB ＝AC ，BE ＝CE ，下面四个结论：①BP ＝CP ；②AD ⊥BC ；③AE 平分∠BAC ；④∠PBC ＝∠PCB .其中正确的结论个数有（ ）个A ． 1B ．2C ．3D ．43．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S .若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP .其中正确的是（ ）A ． ①③B ．②③C ．①②D ．①②③4．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，则下列四个结论中：①AD 上任意一点到B 、C 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③AD ⊥BC 且BD ＝CD ；④∠BDE ＝∠CDF .其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．②③④D ．①②③④5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB 的度数为（ ）A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°6．如图，P 是△ABC 内一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，且PD ＝PE ＝PF ，给出下列结论：①AD ＝AF ；②AB ＋EC ＝AC ＋BE ；③BC ＋CF ＝AB ＋AF ；④点P 是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）A ．①②③④B ．①②③C ．①②④D ．②③④7．如图，点P 是△ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A ．点P 到△ABC 三边的距离相等B ．点P 在∠ABC 的平分线上 C ．∠P 与∠B 的关系是：∠P ＋12∠B ＝90°D ．∠P 与∠B 的关系是：∠B ＝12∠P8．如图，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACE ，BD 与CD 相交于D .给出下列结论：①点D 到AB 、AC 的距离相等；②∠BAC ＝2∠BDC ；③DA ＝DC ；④DB 平分∠ADC .其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，下列结论中：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC ＝∠BDE ；③ DE 平分∠ADB ；④AB ＝AC ＋BE .其中正确的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个10．如图，已知BQ 是△ABC 的内角平分线，CQ 是△ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到BC 、AC 和AB 的垂线QM 、QN 和QK ，垂足分别为M 、N 、K ，则QM 、QN 、QK 的关系是_________F B D EC A O F ED A B C l 1l 2l 3第1题图第3题图D C A B P 第4题图F GE P A B C D 第5题图E O D B A C GP F E D C B A 11．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC .求证：BE ＝CF .12．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：AD ⊥EF .四、巩固提高：1．如图，直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处2．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC ＝32，且BD :CD ＝9:7，则D 到AB 边的距离为（ ）A ．18B ．16C ．14D ．123．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的平分线，有一个动点P 从A 向B 运动.已知：DC ＝3cm ，DB ＝4cm ，AD ＝8cm .DP 的长为x (cm )，那么x 的范围是__________4．如图，已知AB ∥CD ，PE ⊥AB ，PF ⊥BD ，PG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ，且PF ＝PG ＝PE ，则∠BPD ＝__________5．如图，已知AB ∥CD ，O 为∠CAB 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD 间的距离等于__________6．如图，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD ，垂足为P ，EF 的延长线于BC 的延长线相交于点G .求证：∠G ＝12(∠ACB －∠B )QP C B A 7．如图,在△ABC 中,AB ＞AC ,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AC 上任意一点.求证:AB －AC ＞P B －P C.8．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝40°，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线上.求证：BQ ＋AQ ＝AB ＋BP。
角平分线的判定
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E B
F
D
C
课堂练习：
1、如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D， BD=CD。求证：AD平分∠BAC
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证: 点F在∠A的平分线上. 3、如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中，∠BAC=∠DEC=90°， CB=CD，BA=DE，AB，ED的延长线相交 于点P。求证：CP平分∠APE M D
判定：到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上． 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
线段和差的运算
已知：如图，四边形ABCD中，AC平分 ∠BAD，CE⊥AB于E，CD ⊥AD求证： AB=AE+BE
E
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D P E
A C
∵ \
OP 是 AOB 的平分线
PD ^ OA
PE ^ OB
O
PD = PE
用途：证线段相等
B
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的
点， 在这个角的平分线上。
角平分线的性质定理及判定定理
流河路公北M 区CB A 角平分线(线段垂直平分线，等腰三角形) 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学符号可表示：∵点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ） ∴ 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 用数学符号可表示：∵∴点P 在∠AOB 的平分线上（或OP 平分∠AOB ）基础闯关1.在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为2.∠AOB 的平分线上一点M ，M 到OA 的距离为1.5㎝，则M 到OB 的距离为 ㎝。
3.如图，∠A ＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，AC ＝8㎝，DC ＝3DA ，则点D 到BC 的距离为 。
4.如图，∠1＝∠2，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ） A 、PD ＝PE B 、OD ＝OE C 、∠DPO ＝∠EPO D 、PD ＝OD5.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点6.到一个角的两边距离相等的点在 ．7.如图，要在河流的南边，公路的左侧M 处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 点处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在 ，理由是 ．8．三角形中，到三边距离相等的点是（A ）三条高线交点．（B ）三条中线交点．（C ）三条角平分线交点．（D ）三边垂直平分线交点．9．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 ODPEBA 第3题图D ABC21D APOE B第4题图FEDCBAF E DCBA（A ）直角三角形．（B ）等腰三角形．（C ）等边三角形．（D ）等腰直角三角形 10．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是 （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．二．解答题：1.如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB ＝DC ， 求证：BE ＝CF 。
角平分线的判定
结论
由此得到角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的 距离相等.
动脑筋
角的内部到角的两边距离相等的点在 这个角的平分线上吗？ 如图1-27，点P 在∠AOB 的内部， 作 PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D，E. 若PD= PE， 那么点P在∠AOB的平分线上 吗？
在Rt△ACD和Rt△ACM中， ∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM. ∴ AD =;BM， ∴ AB=AD+BE.
如图1-27，过点O，P作射线OC. ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO.
图1-27
∴ ∠AOC =∠BOC. ∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
图1-29
动脑筋
如图1-31，你能在△ABC 中找到一点P，使其 到三边的距离相等吗？
图1-31
因为角平分线上的点到角的 两边的距离相等，所以只要作 △ABC 任意两角（例如∠A与∠B） 的平分线，其交点P 即为所求作的 点. 点P也在∠C 的平分线上，
2. 如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC， BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. 证明 作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE， M ∴ CD = CM，CE = CM.
结论
由此得到角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
动脑筋
如图1-29， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM 分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
角平分线的判定
角平分线的性质和判定一、基础知识回顾。
角平分线的性质： 角平分线的判定：一、分线的判定定理角平分线的判定：到角两边距离相等的点在 。
如图：∵P D ⊥OA,PF ⊥OB ，PD=PE ，∴P 在∠AOB 的平分线上，或（∠AOP=∠BOP ）1、如图，90C ∠=︒，AD 平分CAB ∠，BD=2CD ，BC=9，求点D 到AB 的距离。
D C BA2、如图，求作到三条直线距离相等的所有点。
3、如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，求证：AM 平分DAB ∠。
MDCBA4. 如图所示，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD =CD . 求证：AD 平分∠BAC .5、如图，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE=DF ，求证：GE=GF 。
FGDCBAE6、如图，CD AB ⊥，BE AC ⊥，OB OC =，求证12∠=∠。
O21A B CDE7、如图，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，BD=DF ，求证：CF=EB 。
FD C BAE8 如图，BE=CF ，BE ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E,BF 和CE 交于点D ，求证：AD 平分∠BAC.9.如图在△ABC 中，∠B=∠C ,D 是BC 的中点，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：AD 平分∠BACCFABC10.如图BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE,CF相交于点D，且CE=BF，求证:点D在∠BAC的平分线上11，在Rt△ABC中，∠C=90。
，AC=BC，AD为∠BAC的平分线，AE=BC，DE⊥AB，垂足为E，求证△DBE的周长等于AB.12，在△ABC中，外角∠CBE和∠BCG的平分线相交于点F，求证：点F在∠BAC的平分线上13，已知∠B=∠C=90。
，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，探究线段BM与CM的关系，说明理由。
角平分线定义与判定
角平分线定义与判定一、角平分线的定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段，在几何学中，角平分线是一种重要的概念。
我们平常所说的“平分一角”指的就是通过作画将一个角分成两个相等的角。
角平分线可以帮助我们计算角的度数，解决很多与角相关的几何问题。
二、角平分线的判定方法在几何学中，判定一个线段是否是角的平分线有多种方法，下面介绍几种常用的判定方法：1. 角平分线的定义判定法•假设有一个角AOB，线段OC是AOB的平分线，那么OC将AOB分成两个相等的角。
•反之，如果线段OC将角AOB分成两个相等的角，那么OC就是AOB的平分线。
2. 作图法一•假设有一个角AOB，我们想要判断线段OC是否是AOB的平分线。
•作图方法一是借助圆的性质：以点O为圆心，以OA或OB为半径，画一个圆。
•画出这个圆后，如果OC与圆相交于点D，并且OD = DC，那么OC是AOB的平分线。
3. 作图法二•假设有一个角AOB，我们想要判断线段OC是否是AOB的平分线。
•作图方法二是借助三角形的性质：以点O为顶点，以OA和OB为边，画出一个三角形。
•若三角形OAC和三角形OBC的边长相等，那么OC是AOB的平分线。
4. 角平分线的性质判定法•假设有一个角AOB，线段OC是AOB的平分线。
•角平分线的性质之一是：AO/OC = BO/OC = AO/BO。
•如果满足这一性质，即AO/OC = BO/OC = AO/BO，那么OC就是AOB的平分线。
三、角平分线的应用1. 解决角度平分问题角平分线最常见的应用是解决与角度平分相关的问题。
通过画出角的平分线，可以帮助我们计算出角的度数，解决各种几何问题。
2. 构建等边三角形角平分线还可以用于构建等边三角形。
假设我们已知一个角的平分线，可以通过该平分线上一点与角的两边相交，构建出一个等边三角形。
3. 求解角的均分问题角平分线还可以用于求解角的均分问题。
假设我们已知一个角的度数，要求将其均分为n个小角。
平分一个角的概念
平分一个角的概念
角平分线把一个角分成的两个完全相同的角，叫做这个角的两个平分角。
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
角平分线的判定定理
1、在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个相等的角，那么这条射线就是这个角的平分线。
2、在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
2角平分线的性质定理
1、角平分线将此角分为一对等角。
2、在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
角平分线的性质和判定角平分线画法角平分线的三个基本公式
一、角的平分线性质定理1.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3.三角形的三条角平分线交于一点，称作内心。
内心到三角形三边的距离相等；4.三角形一个角的平分线，把对边所分成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
二、角平分线画法方法11、以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M、N。
2、分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
方法21、在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，使OM=ON，OC=OD。
2、连接CN与DM，相交于P。
3、作射线OP。
射线OP即为角平分线。
三、角平分线定义1、从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2、三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线（也叫三角形的内角平分线）。
三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。
三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。
四、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
1、角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
五、角平分线的性质：角平分线上的点，到角两边的距离相等定理：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
垂直于两边为最短距离。
角平分线能得到相同的两个角。
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
逆定理：到角两边的距离相等的点在角平分线上。
角平分线性质与判定语言表述
02
利用角平分线的性质可 以证明某些结论或推导 出其他相关性质。
03
通过判定可以找到满足 特定条件的角平分线， 从而解决问题。
04
在解题过程中，需要根 据问题的具体情况选择 合适的性质或判定方法 。
04
CATALOGUE
角平分线的实际应用
几何图形中的角平分线
角平分线定义
从一个角的顶点出发，将 该角分为两个相等的部分 ，这条线段被称为该角的 角平分线。
推论1
在三角形中，角的平分线与对边 相交，将相对边分为两段成比例
的线段。
推论2
在三角形中，角的平分线上的点 到对边的垂线段与该点到角的顶
点的距离相等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推论3
在三角形中，角的平分线上的点 到对边的垂足是该垂足到角的顶
点的距离最短。
与角平分线相关的辅助线作法
作法1
01
在三角形中，为了证明某结论，可以过某点作角的平分线或平
手工制作
在制作手工艺品时，如剪纸、折纸等 ，角平分线可以帮助确定对称轴，从 而制作出精美的作品。
角平分线在数学竞赛中的应用
几何证明
在数学竞赛中，经常需要利用角 平分线的性质来证明几何定理或
推导新结论。
最值问题
通过构造角平分线，可以解决一些 几何中的最值问题，如求点到直线 的最短距离等。
组合几何
在组合几何问题中，角平分线可以 帮助确定图形的对称性，从而找到 解决问题的突破口。
角平分线的性质
角平分线将相对边分为两等分， 且与相对边上的交点到该角的顶 点的距离相等。
定理与推论
角平分线定理
角平分线上的任意一点到该角的两边 的距离相等。
推论
角平分线的判定课件
判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角 的平分线上．
符号语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB， PD = PE， ∴点 P 在∠AOB的平分线上 （OP 平分 ∠AOB）
双垂等距推角分
留一个思考问题：为什么会有“角的内 部”这个前提？没有的话会怎样？
思考 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公
证明：过P作PM⊥AC于M， PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q.
∵CE为∠MCN的平分线， ∴PM = PN，
同理PN = PQ， ∴点P到三边AB，BC，CA 的距离相等.
M Q
巩固提高
1. 如图所示，表示三条相互交叉的公路， 现要建一个货物中转站，要求它到三条公路 的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
定理应用
例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相 交于点 P．求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的 距离相等．
证明：过P 点作 PD，PE， PF分别垂直于 AB，BC，CA，垂 足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC的角平分线， 点P 在BM 上，
∴PD = PE . 同理 PE = PF . ∴ PD = PE = PF . 即点P 到三边AB，BC，CA 的距离相等．
分析：全等推角等
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP PD= PE ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP ∴点P在∠AOB的平分线上.
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
角平分线的判定课件
\ 点P在
A角O的B平分线上
P
E B
角平分线的判定的几何语言描述：
∵ PDOA
PEOB O
PD= PE
DA P
\ OP 是 AO的B平分线
（到一个角E的
两边的距离相等的点， 在这个角的平B分线
上）
角个角平的分两线边的的性距质离相：等在。角的平分线上的点到这D
∵ OP 是 AOB 的平分线
PDOA PEOB O
性质：角的平分线上的点到角的两边的距 离相等.
用数学语言表示为： ∵点Q在∠AOB的平分线上， QD⊥OA,QE⊥OB ∴ QD＝QE
A
填空：
练一练 12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴___D__C__=_D__E_
((_1_在)_.__角∵_D__平C__⊥分__A_线C___,上D__E_的⊥__A_点_B__到,_D__角C_=_的_D__E两___边___的__C_距_) 离相D 等
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
A
∴∠BED=∠CFD=90°
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在 Rt△BED 和Rt△CFD 中，
BD=CD（公共边）
BE＝CF
E
F
∴Rt△BED ≌Rt△CFD （HL）
B
D
C
∴DE=DF ∴AD是△ABC的角平分线
课堂练习1
已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、
于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？
到一个角的两边的距离相等 的点， 在这个角的平分线上。
D
A
已知：如图， PDO，A
PEOB，垂足分别是
角平分线的判定定理
A
O E
P
证明： 作射线OP
∵
PD ^ OA
\
PE ^ OB
B
PDO PEO 90
OP = OP （公共边） PD = PE （ 已 知 ）
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
\ RtPDO≌ RtPEO （ HL） \ AOP BOP （全等三角形的对应角相等） \ 点P在 AOB 角的平分线上
O
PD = PE
用途：证线段相等
B
角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的
点， 在这个角的平分线上。
∵ \
PD ^ OA
PE ^ OB
PD = PE OP 是 AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线
A
练一练
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
角平分线的判定的应用书写格式：
D
A P
∵
PD ^ OA
PE ^ OB
O
PD= PE
\OP 是 AOB的平分线（到一个角的
B 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
E
角平分线的性质：在角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等。
D P E
A C
∵ \
OP 是 AOB 的平分线
PD ^ OA
PE ^ OB
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E B
F
D
C
课堂练习
已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分∠BAC 。
全等三角形角平分线的判定
全等三角形角平分线的判定一、概述全等三角形是几何学中重要的概念之一，它指的是具有相同形状和大小的两个三角形。
在判定两个三角形是否全等时，角平分线是一个重要的判定条件之一。
本文将详细探讨全等三角形角平分线的判定方法。
二、角平分线的定义和性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个内角都有一条角平分线。
角平分线的性质如下： 1. 角平分线将角分成两个相等的角。
2. 三角形的三条角平分线交于一点，该点称为角平分点。
3. 角平分线与三角形的边相交，将边分成两个与角平分线所在直线段成比例的线段。
三、全等三角形的定义和判定条件全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
判定两个三角形全等的条件有多种，其中之一就是角平分线的相等性。
以下是判定两个三角形全等的常用条件：1. SSS（边-边-边）：若两个三角形的三条边分别相等，则它们全等。
2. SAS（边-角-边）：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们全等。
3. ASA（角-边-角）：若两个三角形的两角和一边分别相等，则它们全等。
4. AAS（角-角-边）：若两个三角形的两角和一边分别相等，则它们全等。
5. RHS（直角-斜边-高）：若两个直角三角形的斜边和高分别相等，则它们全等。
四、角平分线的判定方法在判定两个三角形全等时，我们可以利用角平分线的相等性来简化判定过程。
以下是角平分线的判定方法： 1. 若两个三角形的一个内角的角平分线分别与另一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这两个三角形全等。
2. 若两个三角形的两个内角的角平分线分别与另一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这两个三角形全等。
3. 若两个三角形的一个内角的角平分线分别与另一个三角形的一个内角的角平分线相等，并且这两个内角的角平分线所在直线段成比例，则这两个三角形全等。
五、示例分析下面通过一个示例来说明角平分线的判定方法。
假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，AD/DE = BC/EF。
角平分线的判定定理
A
练一练
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
C
1 2
E
D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∠1= ∠2 ∴__________
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
2、点P在∠AOB的内部，且PD⊥OA， o 垂足分别为D、E，PD=PE，∠AOB=60 ， 则∠AOP= .
D O E A P
B
3、如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足 o 分别为B、C，BD=DC，∠BAC=100 ， o o 则∠BAD= ，∠CAD= .
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E B
F
D
C
4、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC 上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， F是OC上的另一点，连接DF，EF。求证： DF=EF
PE OB
O
D
A P
\
PD= PE
E OP 是 AOB的平分线（到一个角的 B 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
角的平分线的性质
角的平分线的判定
图形
C
P P
C
已知 条件
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
角平分线的判定-八年级数学上册课件(沪科版)
E
13、如图，在 △ABC 中，∠BAC 和 ∠ABC 的平分线相交于
点 O，过点 O 作 EF∥ AB交 BC 于 F，交 AC 于 E，过点 O
作OD⊥BC 于 D. (1) 求证：∠AOB=90°+ 1 ∠C；
2 (2) 求证：AE+BF=EF；
(3) 若 OD=a，CE+CF=2b，请用含 a，b 的代数式表示
OP平分∠AOB
(角的内部的)点到角两 边的距离相等
建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的 地址有几处? 画出它的位置.
P2
l1
P1 P4
P3
l
l2
比 一
角的平分线的性质 角的平分线的判定
比
图形
C
C
P
P
已知 条件
OP平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E
结论
PD=PE
点在角平分线上
性质 判定
PD=PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E
∴ ∠BED＝∠CFD＝90° (垂直的定义) 在△BED和△CFD中
∠BDE=∠CDF (对顶角相等) ∵ ∠BED＝∠CFD (已证)
BE=CF (已知) ∴ △BED≌△CFD (AAS) ∴ DE＝DF (全等三角形的对应边相等) 又∵ DF⊥AC，DE⊥AB ∴ AD平分∠BAC
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
15.4.2 角平分线的判定
知识回顾
角平分线的性质：
定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等.
特别提醒： ① 点一定要在角平分线上 ② 点到角两边的距离 是指 点到角两
A C
P
线段垂直平分线和角平分线的性质和判定
线段垂直平分线和角平分线的性质
和判定
线段垂直平分线：
它是在一条线段上的两个端点之间画出的一条垂直于该线段的线段，其中两段等长。
性质：
1.线段垂直平分线是一条垂直于给定线段的线段；
2.它将给定线段分成两段等长的线段；
3.它的端点位于给定线段的端点。
判定：
可以使用叉乘或者勾股定理来判断线段垂直平分线，如果a×b=0，则a线段垂直于b线段；如果|a–
b|=|a+b|，则a线段和b线段等长；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是给定线段的垂直平分线。
角平分线：
它是在一个角的两边画出的一条线段，其中两段之间的夹角是该角的一半。
性质：
1.角平分线是一条穿过角的线段；
2.它将角分割成两个等分的角；
3.它的端点位于角的两条边上。
判定：
可以使用叉乘法判断角平分线，如果a×b=0，则a线段和b线段垂直；如果|a+b|= 2*|a|，则a和b之间的夹角是180°的一半；如果a和b都满足上述条件，则a线段就是角的平分线。
角平分线的性质和判定
填空：
A
练一练 12
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴__D_C__=_D_E____
(__在__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的_C__距__离__相D___等__)
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴_∠__1_=_∠__2___
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直 于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM
上（已知）
A
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离D
相等）
N
PM
F
同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF.
B
C
E
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
求证：PD=PE.
D
POBE源自角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
∵∠1= ∠2
D
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
P
∴PD=PE.
1
O
2
B
E
交换定理的题设和结论得到的命题为：
角平分线的判定
定理：到一个角的两边的距离相等的点，在 这个角平分线上。
已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E，
A
C C′
B
课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定 理是证明角相等、线段相等的新途径.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证: AD平分∠BAC. A
F H
B
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
P2
P1 P3
l3
l1
P4
l2
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A
D
E
C
1、角平分线的判定： 在一个角的内部，且到角的两边距 离相等的点，在这个角的平分线上。
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
C
∴OP平分∠AOB．
P
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
C P
OP平分∠AOB
已知
条件 PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥AB于D，
D NP
F M
结PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.
∴PD=P想E.一同想理，，P点E=PPF在. ∠A的平分线上
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OBຫໍສະໝຸດ ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
C
在Rt△PDO和Rt△PEO中
P
PO＝PO
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
G
FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH.
M H
∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.
课堂练习
如图，O是三条角平分线的交点，
OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的
周长为15，求S△ABC
A
N
M
O
B
C
GD
课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三
∴吗PD？＝这PE说=PF明. 三角形的三条角平分线 即有点什P到么三关边系AB？、BC、CA的距离相等.
课堂练习 如图，已知△ABC的外角
∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，
D
E G C
课堂练习 已知：如图,在△ABC中，
BD＝CD, ∠1= ∠2.
求证：AD平分∠BAC
A
E
F
1 D2
B
C