角平分线的判定
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条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
P2
P1 P3
l3
l1
P4
l2
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A
D
E
C
1、角平分线的判定： 在一个角的内部，且到角的两边距 离相等的点，在这个角的平分线上。
∴吗PD？＝这PE说=PF明. 三角形的三条角平分线 即有点什P到么三关边系AB？、BC、CA的距离相等.
课堂练习 如图，已知△ABC的外角
∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
C
在Rt△PDO和Rt△PEO中
P
PO＝PO
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
G
FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH.
M H
∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.
课堂练习
如图，O是三条角平分线的交点，
OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的
周长为15，求S△ABC
A
N
M
O
B
C
GD
课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
2、三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点。
3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证: AD平分∠BAC. A
F H
B
D
E G C
课堂练习 已知：如图,在△ABC中，
BD＝CD, ∠1= ∠2.
求证：AD平分∠BAC
A
E
F
1 D2
B
C
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
C
∴OP平分∠AOB．
P
Hale Waihona Puke Baidu 角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
C P
OP平分∠AOB
已知
条件 PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥AB于D，
D NP
F M
结PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.
∴PD=P想E.一同想理，，P点E=PPF在. ∠A的平分线上
l1
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P2
P1 P3
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课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A
D
E
C
1、角平分线的判定： 在一个角的内部，且到角的两边距 离相等的点，在这个角的平分线上。
∴吗PD？＝这PE说=PF明. 三角形的三条角平分线 即有点什P到么三关边系AB？、BC、CA的距离相等.
课堂练习 如图，已知△ABC的外角
∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
C
在Rt△PDO和Rt△PEO中
P
PO＝PO
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
G
FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH.
M H
∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.
课堂练习
如图，O是三条角平分线的交点，
OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的
周长为15，求S△ABC
A
N
M
O
B
C
GD
课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
2、三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点。
3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证: AD平分∠BAC. A
F H
B
D
E G C
课堂练习 已知：如图,在△ABC中，
BD＝CD, ∠1= ∠2.
求证：AD平分∠BAC
A
E
F
1 D2
B
C
角平分线的判定
角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
C
∴OP平分∠AOB．
P
Hale Waihona Puke Baidu 角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
C P
OP平分∠AOB
已知
条件 PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥AB于D，
D NP
F M
结PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.
∴PD=P想E.一同想理，，P点E=PPF在. ∠A的平分线上