浙江省2019年中考数学复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第二节 一元二次方程及其应用课件

第二节 一元二次方程及其应用
考点一 一元二次方程的定义
例1 下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2＋2y＝1
B．x3－2x＝3
C．x2＋ 1 ＝5 D．x2＝0
x2
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【自主解答】选项A，x2＋2y＝1是二元二次方程，故错误；
选项B，x3－2x＝3是一元三次方程，故错误； 选项C，x2＋ 1 ＝5是分式方程，故错误；
8．(2018·江苏盐城中考)一商店销售某种商品，平均每天可 售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采 取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时 间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价3元，则平均每天销售数量为 件； (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？
解：(1)26 (2)设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1 200元． 根据题意得 (40－x)(20＋2x)＝1 200， 整理得x2－30x＋200＝0， 解得x1＝10，x2＝20.
∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2＝20应舍去， 解得x＝10. 答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元．
(2)解方程mx2＋(1－5m)x－5＝0得
x1＝－
1 m
，x2＝5.
由|x1－x2|＝6得|－
1 m
－5|＝6，
解得m＝1或m＝－ 1 .
11
(3)由(2)得，当m＞0时，m＝1，
此时抛物线为y＝x2－4x－5，其对称轴为x＝2，
由题意知P，Q关于x＝2对称， ∴ a a n ＝2，即2a＝4－n，
易错易混点二 漏掉方程的解 例2 用因式分解法解方程2(x－2)2＝x2－4.
错解
将右边分解因式得2(x－2)2＝(x＋2)(x－2)， 方程两边同除以(x－2)得2(x－2)＝x＋2， 解得x＝6
正解
错因 警示
将右边分解因式得2(x－2)2＝(x＋2)(x－2)， 移项得2(x－2)2－(x＋2)(x－2)＝0， 因式分解得(x－2)[2(x－2)－(x＋2)＝＝0， 即(x－2)(x－6)＝0， 解得x1＝2，x2＝6 方程两边都除以(x－2)，但是(x－2)的值可能为0
2
∴4a2－n2＋8n＝(4－n)2－n2＋8n＝16.
变式1：当m＝－2时，方程的两根分别是矩形的长和宽，
求该矩形外接圆的直径．
解：当m＝－2时，原方程可化为2x2－11x＋5＝0.
设方程的两个根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝ 1 1
2
，x1·x2＝
5 2
，
∴该矩形对角线长为
∴该矩形外接圆的直径是
9
3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝__4 __．
6．(2018·四川内江中考)关于x的一元二次方程x2＋4x－
k＝0有实数根，则k的取值范围是 _k_≥__－__4_．
考点四 一元二次方程根与系数的关系
例4(2018·贵州遵义中考)已知x1，x2是关于x的方程x2＋ bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为 ()
变式4：若方程有两个相等的实数根，请先化简代数式 并求出该代数式的值．
解：∵关于x的方程mx2＋(1－5m)x－5＝0(m≠0)有两个相 等的实数根， ∴(1－5m)2－4m×(－5)＝0，即(5m＋1)2＝0， ∴m1＝m2＝－ 1 .
5
易错易混点一 忽略隐含条件 例1 关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实 数根，则k的取值范围是 .
－9＝0的两根，则
的值是( C )
考点五 一元二次方程的应用 例5(2018·四川宜宾中考)某市从2017年开始大力发展“竹文 化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2 亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估 计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约 为( ) A．2% B．4.4% C．20% D．44%
利用判别式解题的误区 (1)一元二次方程的解一般分为“无实根”“有实根”“有 两个相等的实根”“有两个不相等的实根”四种情况，注意 与判别式的对应关系； (2)利用根的情况确定字母系数的取值范围时，不要漏掉二 次项系数不为0这个隐含条件．
5．(2018·浙江台州中考)已知关于x的一元二次方程x2＋
3．(2017·浙江温州中考)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解
是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3) －3＝0，它的解是( D )
A．x1＝1，x2＝3 C．x1＝－1，x2＝3
B．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝－1，x2＝－3
4．(2018·黑龙江齐齐哈尔中考)解方程：2(x－3)＝3x(x－3)． 解：方程化为一般形式得 2x－6＝3x2－9x，即 3x2－11x＋6＝0 ∵a＝3，b＝－11，c＝6， ∴Δ＝b2－4ac＝(－11)2－4×3×6＝49， ∴x1＝ 2 ，x2＝3.
3
考点三 一元二次方程根的判别式 例3 一元二次方程3x2－2x＋1＝0根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个根为1 D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝－8 ＜0，由此可得出原方程无实数根，此题得解． 【自主解答】∵Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8＜0， ∴一元二次方程3x2－2x＋1＝0没有实数根．故选D.
【分析】(1)直接利用Δ＝b2－4ac，进而利用偶次方的性质 得出答案； (2)首先解方程，进而由|x1－x2|＝6，求出答案； (3)利用(2)中所求，得出m的值，进而利用二次函数对称轴 得出答案．
【自主解答】(1)由题意得Δ＝(1－5m)2－4m×(百度文库5)＝
(5m＋1)2≥0，
∴无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根．
变式2：当m＝－1时，方程的两根分别是等腰三角形的两 边，求这个三角形的周长和面积． 解：当m＝－1时，原方程可化为x2－6x＋5＝0， 解得x1＝1，x2＝5. 当1为腰时，1＋1＝2<5，不能组成三角形； 当5为腰时，周长为5＋5＋1＝11， 面积为
变式3：若等腰三角形的一边长为12，另两边长恰好是这
【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平 均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总 额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得 出结论．
【自主解答】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的 年平均增长率为x. 根据题意得2(1＋x)2＝2.88， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 所以该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长 率约为20%.故选C.
解方程时要考虑全面注意不要漏解
考点六 根的判别式 百变例题 (2018·四川乐山中考)已知关于x的一元二次方 程mx2＋(1－5m)x－5＝0(m≠0)． (1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若抛物线y＝mx2＋(1－5m)x－5与x轴交于A(x1，0)， B(x2，0)两点，且|x1－x2|＝6，求m的值； (3)若m＞0，点P(a，b)与点Q(a＋n，b)在(2)中的抛物线上 (点P，Q不重合)，求代数式4a2－n2＋8n的值．
x2
选项D，x2＝0是一元二次方程，故正确．故选D.
1．(2018·浙江绍兴模拟)在下列方程中，属于一元二次
方程的是( D )
A．x2－3x＝ 2 ＋1
x
C．x2－x3＋3＝0
B．2(x－1)＋x＝3 D．x2＝2－3x
2．写出一个二次项系数为1，且一个根是3的一元二次方
程 _x_2－__3_x_＝__0_(_答__案__不__唯__一__)_．
解一元二次方程的易错点 (1)在运用公式法解一元二次方程时，要先把方程化为一般 形式，再确定a，b，c的值，否则易出现符号错误；
(2)用因式分解法确定一元二次方程的解时，一定要保证等 号的右边化为0，否则易出现错误； (3)如果一元二次方程的常数项为0，不能在方程两边同时除 以未知数，否则会漏掉x＝0的情况； (4)对于含有不确定量的方程，需要把求出的解代入原方程 检验，避免增根．
A．4
B．－4
C．3
D．－3
【分析】直接利用根与系数的关系得出x1＋x2＝－b， x1x2＝－3，进而求出答案． 【自主解答】∵x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根， ∴x1＋x2＝－b，x1x2＝－3， 则x1＋x2－3x1x2＝5， 即－b－3×(－3)＝5，
解得b＝4.故选A.
7．(2018·四川眉山中考)若α，β是一元二次方程3x2＋2x
考点二 一元二次方程的解法
例2(2017·浙江嘉兴中考)用配方法解方程x2＋2x－1＝0
时，配方结果正确的是( )
A．(x＋2)2＝2
B．(x＋1)2＝2
C．(x＋2)2＝3
D．(x＋1)2＝3
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数， 判断出配方结果正确的是哪个即可． 【自主解答】x2＋2x＝1，x2＋2x＋1＝1＋1， (x＋1)2＝2.故选B.
个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
解：由mx2＋(1－5m)x－5＝0(m≠0)得
(－mx－1)(x－5)＝0，
此方程的两根为x1＝－
1 m
，x2＝5.
若x1≠x2，则x1＝12，此等腰三角形的三边分别为12，12， 5，周长为29； 若x1＝x2＝5，等腰三角形的三边分别为5，5，12，不存在 此三角形， ∴这个等腰三角形的周长为29.