不动点的性质与应用(教师版)

不动点的性质与应用

一、不动点：

对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.

例1：求函数12)(-=x x f 的不动点.

例2：求函数12)(2

-=x x g 的不动点.

二、稳定点：

对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与

y x =图像交点的横坐标.

很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点.

证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.

例4：求函数12)(2

-=x x g 的稳定点.

例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。把使得f (f (x ))=x 成立的x 称为函数的f (x )的稳定点，函数f (x )的不动点和稳定点构成集合分别记为A 和 B. 即A ={x |f (x )=x },B ={x |f (f (x ))=x }，

（1）请证明：A ⊆B ；（2）2

()(,)f x x a a R x R =-∈∈，且A =B ≠∅，求实数a 的取值范围.

例6、已知函数(),y f x x D =∈，若存在0x D ∈，使得00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点；若存在0x D ∈，使得00[()]f f x x =，则称0x 为函数()f x 的稳定点，则下列结论中正确的是_________(填上所有正确结论的序号).

①112

-、是函数2

()21f x x =-的两个不动点；

②若0x 为函数()y f x =的不动点，则0x 必为函数()y f x =的稳定点； ③若0x 为函数()y f x =的稳定点，则0x 必为函数()y f x =的不动点； ④函数2

()21f x x =-共有三个稳定点；

⑤()f x =

例7、设函数())f x a R =

∈.若方程f (f (x ))=x 有解,则a 的取值范围为( )

A.1(,]4-∞

B. 1[0,]8

C. 1(,]8

-∞ D.[1,+∞)

例8：已知()bx x x f -=3

，若()x f 在[1,)+∞上单调．

（1）求b 的取值范围；

（2）已知()bx x x f -=3

，若设001,()1x f x ≥≥，且满足00[()]f f x x =，求证：00()f x x =．

例9：已知()()2

0f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实根。现有四个命题①方程()f f x x =⎡⎤⎣⎦也

一定没有实数根；②若0a >，则不等式()f f x x >⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立；③若0a <，则必存在实数0x 使不等式()00f f x x >⎡⎤⎣⎦成立；④若0a b c ++=，则不等式()f f x x <⎡⎤⎣⎦对一切x R ∈成立。其中真命题的个数是（ ）

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

【课后练习】

1、对于函数()x f ，若()00x x f =，则称0x 为函数)(x f y =的不动点；若00))((x x f f =，则称0x 为函数)(x f y =的稳定点. 如果()()R a a x x f ∈+=2

的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么a 的取值范围

是（ ）

A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,

B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,43

C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,43

D 、⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-41,43

2、方程()x x f =的根称为函数)(x f 的不动点，若函数()()

2+=

x a x

x f 有唯一不动点，且10001=x ，

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=

+n n x f x 11

1，1=n ，2，3，……，则=2017x —— —.

3、对于函数()y f x =,若0x 满足00()f x x =,则称0x 为函数()f x 的一阶不动点,若0x 满足00[()]f f x x =,则称0x 为函数()f x 的二阶不动点， （1）设f (x )=2x +3,求f (x )的二阶不动点。

（2）设(),x

f x e x a a R =++∈,若f (x )在[0,1]上存在二阶不动点0x ，求实数a 的取值范围.

4、已知函数x x x f 66)(2

+-= ，设函数,)],([)()],([)(),()(23121Λx g f x g x g f x g x f x g ===

Λ

)],([)(1x g f x g n n -=

（1）求证:如果存在一个实数0x ，满足 001)(x x g =，那么对一切00)(,x x g N n n =∈*都成立都成立；

（2）若实数0x 满足00)(x x g n =，则称0x 为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；

（3）设区间),0(+∞=A ，对于任意A x ∈，有0)0()]([)(,0)()(121<==<==f x g f x g a x f x g ，且

2≥n 时，0)(

0)(