等腰三角形性质案例及分析

等腰三角形的性质案例及分析
【主题】：使学生在实验中提出问题，解决问题的途径，而不知不觉地进入学习氛围，把学生从被动学习步入主动想学的习惯。

【背景】：等腰三角形的性质是八年级数学的内容，它是在认识了轴对称性以及了解了全等三角形的判定的基础上进行的。

主要学习等腰三角形的“等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后学习等边三角形的预备知识，还是今后证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的依据，因此本节课具有承上启下的重要作用。

【关键词】：等边对等角性质三线合一思维解决问题
【问题】1、三线合一这一性质前提是该三角形是等腰三角形，如果已知“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”中的一个可以得到其它两个，但是不少同学在证明几何问题时只要看见条件中出现高线、中线、角平分线中的某两条重合，认为该三角形为等腰三角形，其理由就是等腰三角形“三线合一”显然这种说法是错误的。

2、在解等腰三角形有关边、角的计算问题时，在条件不明确的情况下，应根据题目特点，等腰三角形的性质，三角形的三边关系及三角形的内角和定理进行分析讨论，否则极易造成漏解或错解。

一、教学目标
1、使学生掌握等腰三角形性质定理及推论。

2、使学生掌握等腰三角形性质定理及理论的证明方法，并能运
用性质解题。

3、发展学生探索知识的能力。

二、教学重点和难点
1、重点：(1)等腰三角形的性质及推论的发现和推理过程；(2)性质定理及推论的运用。

2、难点：推论1的运用。

3、疑点：等腰三角形“三线合一”性质的正确运用。

要注意分清题设和结论，应用时语言要准确，如不要把“顶角平分线”说成“角平分线”。

三、教学方法
引导发现法
四、教学手段
可折叠的等腰三角形纸板、投影仪或多媒体教具。

五、教学过程
（一）复习提问
1、什么叫等腰三角形？它各部分的名称是什么？（老师在黑板上画一个等腰三角形△abc，让学生指出腰、底、顶角、底角）。

2、等腰三角形具备一般三角形的性质吗？它的三条边之间有什么关系，内角和是多少？
（二）引入新课。

由于等腰三角形有两条边相等，内角和也是180°，那么同学们想一想等腰三角形角与角之间、边与角之间还有没有其它的关系呢？这就是我们今天要研究的问题。

板书课题：等腰三角形的性质
演示：把准备好的等腰三角形纸板对折如图3-68先把两腰叠在一起，让学生观察发现“两个底角互相重合”，从而得到“等腰三角形两底角相等”的命题，命题的真实性还需进一步的推理论证。

（三）讲解新课
1、等腰三角形性质定理：等腰三角形两底
角相等（简写成“等边对等角”）。

已知：如图3-68，△abc中，ab=ac
求证：∠b=∠c
注：等腰三角形规范写法：△abc中，ab=ac以示这两边为等腰继续引导学生观察：启发学生看出纸板展开后，折痕ad与两腰成等角，即折痕是顶角平分线（也是bc边上的中线和高），且折痕两侧是全等形，故可探得定理的证明方法。

学生可探索出三种不同的添辅助线的证明方法：
方法1：作∠a的平分线ad，则用sas证全等。

方法2：作ad⊥bc于d，则用hl证全等。

方法3：作bc边中线ad，则用sss证全等。

让学生自选一个方法证明定理，老师可把三种不同证法用投影展示出来。

从上面的过程中可知：bd=dc，∠adb=∠adc=90°，ad平分bc，故得推论1。

2、推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。

即：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底
边上的高线互相重合，“三线合一”。

如图3-69：△abc边等边三角形，ab=bc=ca，
由等边对等角知：∠a=∠b=∠c，由三角形
内角和定理得推论2
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每个内角为60°
点拨：等腰三角形的性质有重要作用，利用性质定理可证两角相等，利用推论1可证两线段相等、两个角相等及两线互相垂直。

用推论2可证明一个角是60°或通过作等边三角形作出一个60°的角。

3、等腰三角形性质的应用
例1已知：如图3-70，房屋的顶角∠abc=100°
过屋顶a的立柱ad⊥bc，屋椽ab=ac，
求：顶架上∠b、∠c、∠bad、∠cad的度数。

这是一道几何计算题，通过引导学生分析
规范解题过程，使学生熟悉解计算题的步骤，提高运用知识解决实际问题的能力。

补充练习：（用投影展出）
（1）已知等腰三角形一个角为130°，求另外两角的度数。

（2）已知等腰三角形一个角为70°，求另外两角的度数。

（1）等腰三角形中顶角与底角的关系。

△abc中ab=ac，则∠a=180°-2∠b=180°-2∠c
（2）已知等腰三角形一个角的度数，求其它两角时，若已知角
为钝角或直角，则它一定是顶角，若已知角为锐角，它可能是顶角也可能是底角。

（3）等腰三角形性质定理及推论的内容和应用。

（四）练习。

教材p．67中1、2、3
（五）作业。

教材p．72中、2、3、4、5
（六）板书设计
1、观赏生活中的图片引入课题（观察图片中等腰三角形，引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，发展形象思维）
2、剪纸活动引出等腰三角的概念（1）按要求剪纸
（2）观察得到的三角形形的特点
（3）等腰三角形的概念
3、折纸、观察、分析、探究等腰三角形的性质
（1）折叠等腰三角形、同时观察有哪些现象
（2）小组讨论、汇报结论
（3）分析结论、猜想性质
4、论证等腰三角形的性质
（1）分析证明性质1的方法
（2）书写证明过程并展示
（3）在证明性质1的基础上说明性质2的证明并简要说明其他证法。

5、运用等腰三角形的性质进行简单的推理和计算（通过运用等
腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。

）
（1）巩固练习：口答题
（2）例题：教师分析、引导学生共同完成
6、课堂小结、布置作业
评价：本节课是在学生掌握了一般三角形基础知识和初步推论证明的基础上进行学习的，担负着训练学生会分析证明思路的任务，等腰三角形两底角相等的性质是今后论证两角相等的依据之一，及针对学生的特点，在上节课例掌握好的情况下，让学生自己去发现、去联想，能充分地发挥学生主观能动性。

因此案例设计时，分别从几个方面作了精心策划：
1、创设丰富的旧知环境，有利于帮助学生找准新旧知识的连接点，唤起与形成新知相关的旧知，从而使学生的原认知结构对新知的学习具有某种“召唤力”。

2、提供可探索性的问题，合理的设计实验过程，创造出良好的问题情境，不断地引导学生观察、实验、思考、探索，使学生感到自己就象科学家那样提出问题、分析问题、解决问题，去发现规律，证实结论。

发挥学生学习的主观能动性，培养学生的探索能力、科学的研究方法、实事求是的态度。

同时通过学生自己动手实验得到两个定理的内容，可以使他们比较好的掌握知识、提高学习数学的兴趣，达到了事半功倍之效。

3、在巩固应用时，训练题组的设计具有阶梯性，加强了变式训
练，便于及时反馈。

实际应用充分体现了数学解决实际问题的作用，培养学生的应用意识，提高数学修养。

4、在整个教学过程中，本设计利用多种教学方法，使学生在实验中提出问题，解决问题的途径，而不知不觉地进入学习氛围，把学生从被动学习步入主动想学的习惯。

总之，在本节教学中，始终坚持以学生为主体，教师为主导，致力启用学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中，在整个教学过程中以启发学生，挖掘学生潜力，让他们展开联想的思维，培养其能力为主旨而发展的。