北师大版高中数学2-2第二章《变化率与导数》导数的概念 课件

y′ |x= x0, 即 f ′( x0 ) = lim f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) . 或 ∆x →0 ∆x
(1). f ′( x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同; f ′( x0 )与∆x的具体取值无关。
(2).瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
定义: 定义
v
就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度 因此 运动员在 t = 2 时的瞬 时的瞬时速度. 时的瞬时速度 因此,
h(2 + ∆t ) − h(2) lim = −13.1 ∆t →0 ∆t
表示“ 趋近于0时 趋近于确定值– 表示“当t =2, △t趋近于 时, 平均速度 v 趋近于确定值 13.1”. 趋近于
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆f = lim lim ∆x →0 ∆x→0 ∆ x ∆x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
或 y′ | x = x0, 即
f ′( x0 )
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) f ′( x0 ) = lim . ∆x →0 ∆x
探 究:
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示 运动员在某一时刻 的瞬时速度怎样表示? 2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示 函数 处的瞬时变化率怎样表示? 在
h(t0 + ∆t ) − h(t0 ) lim ∆t →0 ∆t 2 − 4.9(∆t ) − (9.8t0 − 6.5)∆t = lim ∆t →0 ∆t = lim (−4.9∆t − 9.8t0 + 6.5)
x0 → 0
y x
习题2 作业： 作业：课本 P37 习题2-2中A组2、3 五、教后反思： 教后反思：
△t △t
v = −4.9∆t −13.1Biblioteka Baidu
当△t = 0.01时, v = −13.149 当△t =0.001时, v = −13.1049
△t
当△t = –0.0001时, v = −13.09951 当△t =0.0001时, v = −13.10049 = – 0.00001, v = −13.099951 = 0.00001, v = −13.100049 = – 0.000001, v = −13.0999951 △t =0.000001, v = −13.1000049
f ′( 3 ) = 3 . 5
表示该工人上班后工作3h的时候， 表示该工人上班后工作3h的时候，其生 3h的时候 产速度为3.5kg/h 也就是说， 3.5kg/h， 产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产 速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。 3.5kg/h的食品 速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。 例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度y 服药后，人体血液中药物的质量浓度y 单位：μg/mL）是时间t 单位：min） （单位：μg/mL）是时间t（单位：min）的函数 t=10和t=100处的 y = f (t ) ，假设函数 y = f (t ) 在t=10和t=100处的 导数分别为 f ′(100 ) = − 0 .6 和 f ′(10) = 1.5
，试解释它们的实际意义。 试解释它们的实际意义。
f 解： ′(10 ) = 1 .5 表示服药后10min 10min时 表示服药后10min时，血液中药物 的质量浓度上升的速度为1.5μg/ mL·min 1.5μg/（ min）。 的质量浓度上升的速度为1.5μg/（mL min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min 1min， 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min， 血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/ mL·min 1.5μg/（ min）。 血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/（mL min）。
课堂练习: 、 课堂练习 1、
2、课本
P33
练习： 练习：1、2.
小结： 、瞬时速度的变化率的概念； 小结：1、瞬时速度的变化率的概念； 2、导数的概念； 、导数的概念； 3、利用导数的定义求函数的导数的方法步 、 骤：
1、 求 函 数 的 变 化 率 y = f ( x0 + y x x ) − f ( x0 ) 2、 求 函 数 的 平 均 变 化 率 3 、 求 极 限 li m
……
……
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 到 △ 这段时间内平均速度
∆h v= = −13.1 − 4.9∆t ∆t 趋近于0时 从小于2的一边 还是从大于2 的一边, 当△ t 趋近于 时, 即无论 t 从小于 的一边 还是从大于
的一边趋近于2时 的一边趋近于 时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 无限变小时, 从物理的角度看 时间间隔 |△t |无限变小时 平均速度 △ 无限变小时 时速度是 –13.1.
h(t ) = −4.9t + 6.5t + 10
2
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间 时 这段时间 内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 时 这段时 间内
v = −4.9∆t −13.1
当△t = – 0.01时, v = −13.051 当△t = – 0.001时, v = −13.0951
f 解： ′(1) = 4 表示该工人工作1h的时候， 1h的时候 表示该工人工作1h的时候，其生产速 即工作效率） 4kg/h，也就是说， 度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持 这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。 4kg的食品 这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。
f ′(100 ) = − 0 .表示服药后100min 6 100min时 表示服药后100min时，血液中药物的
质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL min min）。 质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL·min）。 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min 1min， 也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液 中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL·min min）。 中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL min）。
一差、二化、 一差、二化、三极限
单位： 例1、一条水管中流过的水量y（单位： m ）是时 、 间x（单位：s）的函数 y = f ( x ) = 3 x 。求函数 （单位： ）
3
y = f ( x ) 在x=2处的导数 f ′( 2 ) ，并解释它的 =2处的导数
实际意义。 实际意义。 变到2＋ 时 函数值从3× 变到 变到3（ 解：当x从2变到 ＋∆x时，函数值从 ×2变到 （2 从 变到 ），函数值 关于x的平均变化率为 ＋∆x），函数值 关于 的平均变化率为 ），函数值y关于
h(t ) = −4.9t 2 + 6.5t + 10
求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 到 △ 这段时间内平均速度
∆h v= ∆t h(2 + ∆t ) − h(2) = = −13.1 − 4.9∆t ∆t
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢
∆t →0
= −9.8t0 + 6.5
定义: 定义
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆f = lim lim ∆x →0 ∆x→0 ∆ x ∆x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f ′( x0 )
由导数的定义可知, 的导数的一般方法: 由导数的定义可知 求函数 y = f (x)的导数的一般方法 的导数的一般方法 1. 求函数的改变量 ∆f = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ); f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆f = ; 2. 求平均变化率 ∆x ∆x ∆f lim . 3. 求值 f ′( x0 ) = ∆x→0 ∆x
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北师大版高中数学选修2 北师大版高中数学选修2-2第二章 变化率与导数》 《变化率与导数》
一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的 教学目标： 、知识与技能： 分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程， 分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程， 了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、 、过程与方法： 通过动手计算培养学生观察、分析、 比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、 比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、 以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 、 以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、 情感、态度与价值观： 情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内 使学生掌握导数的概念不再困难， 涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生 学习数学的兴趣. 学习数学的兴趣 教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。 二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。 教学难点： 教学难点：理解导数概念的本质内涵 教学方法：探析归纳， 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（
m
f (2 + ∆ x) − f (2) 3(2 + ∆ x ) − 3 × 2 3∆ x = = = 3 ∆x ∆x ∆x 3
/s）. ）
趋于2， 趋于0时 平均变化率趋于3， 当x趋于 ，即∆x趋于 时，平均变化率趋于 ， 趋于 趋于
所以
f ′( 2 ) = 3 （ m /s）. ）
3
=2s时水流的瞬时变化率 时水流的瞬时变化率， 导数 f ′( 表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水 2) 流的瞬时速度。 =2s时 流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时 的瞬时速度流动的话，每经过1s 1s， 的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水 3 量为3 量为3 m。 例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作， 、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作， 生产的食品量y（单位： ）是其工作时间x 生产的食品量 （单位：kg）是其工作时间 单位： ） （单位：h）的函数 y = f ( x ) 。假设函数 y = f ( x ) x=1和x=3处的导数分别为 在x=1和x=3处的导数分别为 f ′(1) = 4 和 f ′(3) = 3 .5 试解释它们的实际意义。 ，试解释它们的实际意义。
导数的概念
• 在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映运 在高台跳水运动中 平均速度不一定能反映运 动员在某一时刻的运动状态， 动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速 度描述运动状态。 度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的 速度称为瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢