物理-经典力学和量子力学中地谐振子

目录

摘要（关键词） (1)

Abstract（Key words） (1)

前言 (1)

1.经典力学中的谐振子 (1)

1.1简谐振子 (1)

1.2受驱谐振子 (2)

1.3阻尼谐振子 (3)

1.4受驱阻尼谐振子 (3)

1.5数学描述 (3)

1.6经典谐振子的计算 (4)

2.量子力学中的谐振子 (5)

2.1一维谐振子 (5)

2.1.1哈密顿算符和能量本征态 (5)

2.1.2 阶梯算符方法 (6)

2.1.3自然长度和自然能量 (8)

2.2三维谐振子 (8)

2.3谐振子的相干态 (9)

2.3.1降算符的本征态 (9)

2.3.2相干态的性质 (10)

3.经典谐振子和量子谐振子的比较 (10)

3.1能级 (10)

3.1.1能级取值点 (10)

3.1.2零点能 (10)

3.2波函数 (11)

参考文献 (13)

致谢 (13)

经典力学和量子力学中的谐振子

摘要：谐振子在经典力学和量子力学中都是比较重要的问题，原因在于简谐振动广泛存在于自然界中，而许多体系都可以看成谐振子。本文着重介绍了经典力学中谐振子的的几种类别及其相关物理量的求解和量子力学中一维谐振子、三维谐振子以及相干态的相关知识，最后对经典和量子两个范畴内的谐振子进行了比较。 关键字：谐振子；经典力学；量子力学；相干态 Abstract ：Harmonic oscillator is important in both classical and quantum mechanics. The reason is that simple harmonic oscillation widely exists in nature, and many systems can be viewed as harmonic oscillator system. In this paper, we mainly introduce the solution of the several categories and their relating physics terms of oscillator in classical mechanics and the relevant property of one-dimensional harmonic oscillator, the three dimensional harmonic oscillator, and its coherent state in quantum mechanics, finally compare harmonic oscillator in classical mechanics with that in quantum mechanics. Key words ：Harmonic oscillator ；Classical mechanics ；Quantum mechanics ；Coherent states

前言

何为谐振？在运动学就是简谐振动，该振动是物体在一个位置附近往复偏离该振动中心位置（即平衡位置）进行运动，在这个振动形式下，物体受力的大小总是和他偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。何为谐振子？把振动物体看作不考虑体积的微粒或者质点的时候，这个振动物体就叫谐振子。

1.经典力学中的谐振子

经典力学中，一个谐振子就是一个系统，当其从平衡位置发生位移，就会受到一个正比于位移x 的恢复力F ，并遵守胡克定律：

kx F -=

其中k 是一个大于零的常数，由系统决定。

如果F 是系统所受到的唯一的力，则系统被称作简谐振子。而其进行的往复运动称作简谐运动——正中央为平衡点的正弦或余弦的振动，且振幅与频率都是常数。

若同时存在一个正比于速度的摩擦力，则会存在阻尼现象，那么这种谐振子称为阻尼振子。在这种情况下，其振动频率小于无阻尼情况的振子，且振幅随着时间减小。

或者，若同时存在一个与时间相依的外力，该谐振子称为受驱振子。

1.1简谐振子

简谐振子没有驱动力，也没有摩擦，所以合力单纯为：

kx F -= (1.1.1) 利用牛顿第二定律，有： kx ma F -== (1.1.2)

而且加速度a

等于x 的二次微分导数，得： kx dt x

d m -=22 (1.1.3)

02

0=+x ω (1.1.4)

2

20=⋅+⋅=+dx x x x d x x dx x d ωω

ϕ

ωϕω+=+=t A

x

t A

00arccos arcsin

(1.1.8)

并有一般解为：

)cos(0ϕω+=t A x (1.1.9) 其中振幅以及相位可过初始条件来决定。 另外也可以将一般解写成： )(sin ϕω+=

t A x (1.1.10)

00 (1.1.11) 其中A 与B 为透过初始条件决定的常数，以替代前面形式的A 与ϕ。 其振动频率则为： ω0

=f (1.1.12) 动能为：以及势能为：

)(cos 22022

2ϕω+==t kA kx U (1.1.14) 所以系统总能为定值： 2

2

1kA E =

(1.1.15) 1.2受驱谐振子

0交流LC （电感L-电容C ）电路以及理想化的弹簧系统（没有内部力学阻力或外部的空气

阻力）。

，与初始条件相关；另一个为稳态解（非齐次常微分方程的特殊解），与初始条件无关，

)

ϕ

ω-t（1.4.2）

（1.4.3）

多数谐振子，基本上满足以下的微分方程：

)

cos(

2

2

2

t

A

x

dt

dx

m

b

dt

x

d

ω

ω=

+

+（1.5.1）