空间运动学2010讲解

p A p p
结论：对于任意两个基存在一个矢量，它在 两基的坐标阵相等
推论：对于刚体的两个姿态总存在一个矢量，绕该 矢量过一个有限角度后，刚体由一个姿态到达的另 以个姿态
2018年10月12日 理论力学CAI 刚体动力学
A13 A23 A33
3 (tr A)2 (tr A) 1 0
j 1,2,3
A A A11 A12 A21 A22 A31 A32 0 rT r A2 A3 A12 A13 A22 A23 A32 A33 0 A3rT A1r A13 A11 A23 A21 A33 A31 0
b e3 A13 A23 A33
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刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述 方向余弦阵 的 9个元素 刚体的姿态
r z
b z
b y
方向余弦阵九个元素应满足六个的代数方程
b b ej ej 1
单位基矢量
r 2 2 2 ArT A A A A j j 1j 2j 3j 1
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刚体空间运动学/刚体的定点运动/有限转动欧拉定理 b
刚体绕定点的任意有限转动可 由绕过该点的某根轴一次有限 转过某个有限角度实现
转轴的单位矢量 b 的到姿态 e 的一次转动矢量 刚体由姿态 限角称为一次转动角 g
z
r z
r z
b y
p
r p 称为刚体由姿态 e
转过的有
欧拉定理
b z
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刚体空间运动学/刚体的定点运动
刚体的定点运动
• 刚体的有限转动 • 刚体姿态的描述 • 角速度矢量与角加速度矢量 • 连体基姿态的变化 • 刚体上给定点的速度与加速度 欧拉定理
• 刚体绕汇交轴转动的合成
• 刚体定点运动运动学方程
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刚体空间运动学/刚体的定点运动/有限转动欧拉定理
• 刚体的有限转动
刚体的有限转动 欧拉定理 r
z
连体基
r 过定点O建立参考基 e
姿态描述
A11 rb A A21 A 31 A12 A22 A32
将刚体上的不动点记为O
b e
b z
b y
刚体与其连体基相对参考基的姿态一致
理论力学 CAI
刚体空间运动学
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刚体空间运动学
• 前言
• 刚体的定点运动
• 刚体的一般运动
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刚体空间运动学/前言
前言
• 将考虑刚体运动更一般的情况，即刚体的空 间(三维)运动 • 刚体的空间一般运动可以分解为刚体三维的 平移运动和刚体的定点运动
r x
O b x
r y
刚体当前的姿态是以前某一姿态的改变，这种改变称为刚体绕定点O
的有限转动
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刚体空间运动学/刚体的定点运动/有限转动欧拉定理
• 欧拉定理
定义刚体的当前姿态为 刚体的上一姿态为 本征根方程
rb
b e r e
b z
A
rb
p
r b 的到姿态 e e
p
r x
r x
O
b px
p
p
r y
p
b y r y
姿态
A11 rb A A21 A 31 A12 A22 A32 A13 A23 A33
b x
p, g
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2018年10月12日 理论力学CAI 刚体动力学
刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述
b r r r e j A1 j e1 A2 j e2 A3 j e3
方向余弦阵 的 9个元素
j 1,2,3
刚体的姿态
r x
r e1 r e2 r e3
O b x
r y
可以定义方向余弦阵的9个元素为定点运动 刚体的姿态坐标
b e1 A11 A21 A31
b e2 A12 A22 A32
连体基
b e
A13 x r x b r b A23 y x r b z A33 x
xr yb yr yb z r yb
xr z b r b y z zr zb
r x
O b x
b y
r y
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刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述
b r 列阵是基 e 的基矢量在基 e 下的坐标阵 r b e T 基矢量 e j Arj A1 j A2 j A3 j
坐标阵
r z
b z
b y
A13 x r x b r b A23 y x r b z A33 x xr yb yr yb z r yb xr z b r b y z zr zb
姿态的描述
• 姿态坐标 欧拉角
• 刚体上给定点的位置
• 姿态计算的反问题
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刚体空间运动学/刚体的定点运动/姿态的描述
姿态坐标 欧拉角
b z
r z
r 过定点O建立参考基 e
刚体姿态的基本描述
A11 rb A A21 A 31 A12 A22 A32
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刚体空间运动学/前言
• 刚体上存在某一点，在刚体运动时该点相对参考 基始终保持不动，称这种运动为刚体的定点运动
• 在工程与生活中经常可以遇到此类运动
– – – – 雷达跟踪天线 陀螺仪中的转子 行星齿轮系中动锥齿轮 玩具陀螺等
• 首先介绍刚体的定点运动，然后介绍刚体的 空间一般运动 • 在此基础上给出刚体上给定点和相对刚体运 动任意点的运动学分析方法
r z
p
r z
A I 0
至少存在一个 = 1 的根
p zb
b e :
本征根 = 1的本征矢量
pb
本征方程
b rb
A
b
p
rb
I p
r
O
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p
p
A11 A rb A21 A 31 A12 A22 A32
py r y
r y
b b y
0
r r px x bp xb x