《结构力学》结构动力学(2)
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图14-10
（a）
简谐荷载的一般式可表示为
F(t) F sint
（14-19）
微分方程（14-18）为：
y 2 y 2 y F sint
m
设式（14-20）有一个特解
（14-20）
y C1 sint C2 cost
（b）
代入式（14-20）可求出C1、C2，再由初始条件确定出B1、B2后，
（3）当ξ=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的 值称为
临界阻尼系数，用cr 表示，则
cr 2mk 2m ，
k 2mk 2m cr
阻尼比 即为阻尼系数 与临界阻尼系数 cr 之比。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当干扰力 F(t) 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，
公式 k11 m，可广义性理解。
1、体系作平动，m为体系的质量，k11 为体系产生单位位移
时需施加的弹性力。
2、体系作定轴转动，m为体系的转动惯量，k11 为体系产生
单位转角时需施加的力偶矩。
2．考虑阻尼时的自由振动
粘滞阻尼力的分析比较简单，表达式为： FR=－ y。其它形式
的阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析， 质点上受到的力如
一、单自由度结构自由振动时运动微分方程。
my k11 y 0
(刚度法）
y
（
11
my )
(柔度法）
二、单自由度结构自由振动时运动方程。 A
y( t ) A sin（ t )
y02
三、单自由度结构自振频率。
tg
y 02
2
y0
y 0
k11 m (刚度法） 1 11m (柔度法）
单自由度体系自振频率公式应用说明。
且 y( t )与FP ( t ) 同步。
2.0
（3） 1 时， 1.0
, ymax ( t ) , 共振。
（4）1 时，
1.0 2 2.0
3.0
随着 增加 减小，且 y( t )与 FP ( t ) 反向。
（5） 时， 0, 在静平衡位置附近作微小
振动 。
有阻尼体系的自由振动不再是简谐振动，但仍是周期运动，振幅 随时间的增长而按指数规律衰减（图14-9）。
y
be -kt
y m y m+1
b
o
t
2 T=
b
图14-9
体系的阻尼比
ln yn T 2 2
yn1
'
称为振幅的对数递减量 。同理，当经过j个周期后，有
ln yn 2 j
yn j
（2）ξ>1为大阻尼，体系不具有振动的性质，在实际问题中很少 遇到。
60
动力系数为
1
1
2 2
1 1 (52.3)2 62.3
3.4
梁中点的最大弯矩为
M max
MG
M
F st
35 4 4
3.4 10 4 4
69kN .m
梁中点的最大挠度为
ymax
st
ysFt
Gl 3 48EI
Fl 3 48EI
(35 3.410) 103 43 48 210109 8.8105
y(t) F sint m(2 2 )
最大的动力位移（即振幅）为
（14-22）
即 式中
A
F
m(2 2 )
1
1
2 2
F
m 2
A
1
1
2 2
F11
yst
（14-23） （14-24）
yst F11 代表将振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上
时所引起的静力位移，而
1
1
2 2
A yst
（14-25）
二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其 频率与体系的自振频率 ' 一致，称为伴生自由振动。随时间的
推移而很快衰减掉，最后只剩下按干扰力频率 而振动的第三部分，
称为纯强迫振动或稳态强迫振动（图14-11）。
y
2
o
t
2
图14-11 1. 不考虑阻尼的纯受迫振动 无阻尼体系平稳阶段的动位移
动力平衡方程为
FI FR Fe F (t) 0
即
my y k11 y F (t)
或，
y( t ) ( FI FR FP )
y 2 y 2 y 1 P(t)
m
（14-18）
齐次方程的通解为
y0 et (B1 cos 't B2 sin 't)
FR Fe m FI F(t)
图14-8所示。 结构自由振动时的动力平衡方程为
FR Fe
FI FR Fe 0
即，
my y k11 y 0
m FI
或，
y( t ) ( FI FR )
令， 则有，
2 k11 ， 2k
m
m
y 2ky 2 y 0
（1）在小阻尼（ k ）的情况下，微分方程的解为
yBaidu Nhomakorabea
bekt
例14-2 重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上（图14-14），
并知梁的惯性矩 I 8.8105 m4，E=210GPa，发电机转动时其
离心力的垂直分量为 F sint，且F=10kN。若不考虑阻尼，试求
当发电机每分钟的转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（梁
的自重可略去不计）。
Fsin t
m
G
2m
2m
图14-14
解：在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为
st
Gl 3 48EI
35103 43 48 210109 8.8105
2.53103 m
故自振频率为
干扰力的频率为
g st
9.81 2.53103
62.3s1
2 n 23.14500 52.3s1
60
为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。
简谐荷载作用下， 与 之间关系曲线分析。
1、无阻尼条件
（1） 0 时， 5.0
1, ymax ( t ) yst。
4.0
（2）0 1 0 时，
随着 增加 增大，
3.0
0
FP ( t ) FP sint。 y( t ) yst sint。
可得
y
et [ y0
cos
't
y0
y0 '
sin
't]
et
F
[2 cos 't 2 22 (2 2 ) sin 't]
m[(2 2 )2 4 22 2 ]
'
F
[(2 2 ) sint 2 cost]
m[(2 2 )2 4 22 2 ]
（14-21）
振动由三部分组成：第一部分是由初始条件决定的自由振动；第
y0
cos 't
y0
ky0
'
sin
't
y bekt sin( 't ')
其中
b
y02
(
y0
ky0
'
)2
tan ' ' y0
/ 为有阻尼自振频率。
y0 ky0
令 k ，称为阻尼比。
' 2 k2 1 ( k )2 1 2
通常当ξ<0.1时，则 ' 和 的差别很小。
（a）
简谐荷载的一般式可表示为
F(t) F sint
（14-19）
微分方程（14-18）为：
y 2 y 2 y F sint
m
设式（14-20）有一个特解
（14-20）
y C1 sint C2 cost
（b）
代入式（14-20）可求出C1、C2，再由初始条件确定出B1、B2后，
（3）当ξ=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的 值称为
临界阻尼系数，用cr 表示，则
cr 2mk 2m ，
k 2mk 2m cr
阻尼比 即为阻尼系数 与临界阻尼系数 cr 之比。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当干扰力 F(t) 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，
公式 k11 m，可广义性理解。
1、体系作平动，m为体系的质量，k11 为体系产生单位位移
时需施加的弹性力。
2、体系作定轴转动，m为体系的转动惯量，k11 为体系产生
单位转角时需施加的力偶矩。
2．考虑阻尼时的自由振动
粘滞阻尼力的分析比较简单，表达式为： FR=－ y。其它形式
的阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析， 质点上受到的力如
一、单自由度结构自由振动时运动微分方程。
my k11 y 0
(刚度法）
y
（
11
my )
(柔度法）
二、单自由度结构自由振动时运动方程。 A
y( t ) A sin（ t )
y02
三、单自由度结构自振频率。
tg
y 02
2
y0
y 0
k11 m (刚度法） 1 11m (柔度法）
单自由度体系自振频率公式应用说明。
且 y( t )与FP ( t ) 同步。
2.0
（3） 1 时， 1.0
, ymax ( t ) , 共振。
（4）1 时，
1.0 2 2.0
3.0
随着 增加 减小，且 y( t )与 FP ( t ) 反向。
（5） 时， 0, 在静平衡位置附近作微小
振动 。
有阻尼体系的自由振动不再是简谐振动，但仍是周期运动，振幅 随时间的增长而按指数规律衰减（图14-9）。
y
be -kt
y m y m+1
b
o
t
2 T=
b
图14-9
体系的阻尼比
ln yn T 2 2
yn1
'
称为振幅的对数递减量 。同理，当经过j个周期后，有
ln yn 2 j
yn j
（2）ξ>1为大阻尼，体系不具有振动的性质，在实际问题中很少 遇到。
60
动力系数为
1
1
2 2
1 1 (52.3)2 62.3
3.4
梁中点的最大弯矩为
M max
MG
M
F st
35 4 4
3.4 10 4 4
69kN .m
梁中点的最大挠度为
ymax
st
ysFt
Gl 3 48EI
Fl 3 48EI
(35 3.410) 103 43 48 210109 8.8105
y(t) F sint m(2 2 )
最大的动力位移（即振幅）为
（14-22）
即 式中
A
F
m(2 2 )
1
1
2 2
F
m 2
A
1
1
2 2
F11
yst
（14-23） （14-24）
yst F11 代表将振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上
时所引起的静力位移，而
1
1
2 2
A yst
（14-25）
二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其 频率与体系的自振频率 ' 一致，称为伴生自由振动。随时间的
推移而很快衰减掉，最后只剩下按干扰力频率 而振动的第三部分，
称为纯强迫振动或稳态强迫振动（图14-11）。
y
2
o
t
2
图14-11 1. 不考虑阻尼的纯受迫振动 无阻尼体系平稳阶段的动位移
动力平衡方程为
FI FR Fe F (t) 0
即
my y k11 y F (t)
或，
y( t ) ( FI FR FP )
y 2 y 2 y 1 P(t)
m
（14-18）
齐次方程的通解为
y0 et (B1 cos 't B2 sin 't)
FR Fe m FI F(t)
图14-8所示。 结构自由振动时的动力平衡方程为
FR Fe
FI FR Fe 0
即，
my y k11 y 0
m FI
或，
y( t ) ( FI FR )
令， 则有，
2 k11 ， 2k
m
m
y 2ky 2 y 0
（1）在小阻尼（ k ）的情况下，微分方程的解为
yBaidu Nhomakorabea
bekt
例14-2 重量G=35kN的发电机置于简支梁的中点上（图14-14），
并知梁的惯性矩 I 8.8105 m4，E=210GPa，发电机转动时其
离心力的垂直分量为 F sint，且F=10kN。若不考虑阻尼，试求
当发电机每分钟的转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度（梁
的自重可略去不计）。
Fsin t
m
G
2m
2m
图14-14
解：在发电机重量作用下，梁中点的最大静力位移为
st
Gl 3 48EI
35103 43 48 210109 8.8105
2.53103 m
故自振频率为
干扰力的频率为
g st
9.81 2.53103
62.3s1
2 n 23.14500 52.3s1
60
为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。
简谐荷载作用下， 与 之间关系曲线分析。
1、无阻尼条件
（1） 0 时， 5.0
1, ymax ( t ) yst。
4.0
（2）0 1 0 时，
随着 增加 增大，
3.0
0
FP ( t ) FP sint。 y( t ) yst sint。
可得
y
et [ y0
cos
't
y0
y0 '
sin
't]
et
F
[2 cos 't 2 22 (2 2 ) sin 't]
m[(2 2 )2 4 22 2 ]
'
F
[(2 2 ) sint 2 cost]
m[(2 2 )2 4 22 2 ]
（14-21）
振动由三部分组成：第一部分是由初始条件决定的自由振动；第
y0
cos 't
y0
ky0
'
sin
't
y bekt sin( 't ')
其中
b
y02
(
y0
ky0
'
)2
tan ' ' y0
/ 为有阻尼自振频率。
y0 ky0
令 k ，称为阻尼比。
' 2 k2 1 ( k )2 1 2
通常当ξ<0.1时，则 ' 和 的差别很小。