高中数学：分段函数的四大类型

高中数学：分段函数的四大类型

函数是高中数学的核心内容，分段函数是其中重要的一类，它能有效的考查函数的概念、符号及性质，分段函数也有自己的特点并在生活实际中有着广泛的应用。下面就分段函数常见的形式进行归纳整理。

一、常数型

常数分段函数就是指所给的每段上都是常数，这看似简单却有着自己特殊的功能。

例1、已知则不等式的解集是__________。

分析：对于要解的不等式，关键是要解决的问题。原分段函数实际上是对x的一种分类讨论。原不等式等价不等式组：

，原不等式的解为：

二、解析型

所谓分段函数中最常见的形式，它在不同的范围内定义了不同的解析式，这类问题的解决，主要是要求要逐段的思考分析。

例2、设函数则使得的自变量x的取值范围为（）

A.

B.

C.

D.

分析：此题涉及两个不等式，它已知了解析式，我们可以分段来求解。等价于不等式组：

，解得：，故选A。

三、关系型

所谓关系型分段函数就是所给的某个区间是一个确定的关系式，但同时在其他区间上是一组关系式，解决它的问题需要不同区间上的关系互相转化。

例3、设，若有且只有两个实数解，则实数a的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

分析：由于问题涉及参数的问题，又是一个周期模型，所以我们用草图1来分析。根据条件：

时，将图像进行上下的平移，而在上是一周期为1的周期函数，且函数在（0，1）与（－1，0）的图像相同。注意图像特点恰好经过A、B两点，结合直线可将点（0，1）下移至（0，－1）即可。解得：

。故选A。

四、情景型

有些分段函数例4、某服装厂生产一种服装，每件服装成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件。

（1）设一次订购量为x件，服装的实际出厂价为p 元，写出函数的表达式；

（2）当销售商一次订购450件时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件的利润＝实际出厂价－成本）

分析：（1）当时，；当时，

所以，

（2）设销售商的一次购量为x（）件时，工厂获得利润L元，则，那么，

，当时，L＝5850。

因此，当销售商一次订购450件时，该服装厂获得的利润是5850元。

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