2021高考数学浙江专用一轮习题：专题6+第43练+数列小题综合练

A．0 B．1 C．2 D．3
15．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作
用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，….即 F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，
A．25 B．50 C．75 D．100
12．已知 an＝f(0)＋f
1 n ＋f
2 n ＋…＋f
n－1 n ＋f(1)(n∈N*)，又函数 F(x)＝f
x＋1 2
－1
是
R
上
的奇函数，则数列{an}的通项公式为( )
A．an＝n
B．an＝2n
C．an＝n＋1
D．an＝n2－2n＋3
13．已知函数 f(x)＝x2＋2x(x>0)，若 f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则 f2 019(x)在[1,2]上
的最大值是( )
A．42 018－1
B．42 019－1
C．92 019－1
D．322 019－1
14．(2020·杭州市学军中学质检)已知数列{an}满足
a1＝－12，an＋1＝a2n＋3an＋1，若
bn＝ 1 ， an＋2
设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，则使得|S2 019－k|最小的整数 k 的值为( )
5来自百度文库
1 n－1
1n－1 2
1n＋1 2
1
＝[f(0)＋f(1)]＋ f n ＋f n ＋…＋ f n ＋f n ＋f 2
＝2×n＋1＝n＋1， 2
12
n－1
1 n－1
当 n 为奇数时，an＝f(0)＋f n ＋f n ＋…＋f n ＋f(1)＝[f(0)＋f(1)]＋ f n ＋f n ＋…
3
n－1 n＋1
12．C
[F(x)＝f
x＋1 2
－1
在
R
上为奇函数，
故 F(－x)＝－F(x)，
代入得 f
1－x 2
＋f
1＋x 2
＝2，x∈R，
1 当 x＝0 时，f 2 ＝1，令 t＝1－x，
2
则1＋x＝1－t，上式即为 f(t)＋f(1－t)＝2， 2
12
n－1
当 n 为偶数时，an＝f(0)＋f n ＋f n ＋…＋f n ＋f(1)
1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当 Sn 取最小值时，n 等
于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．在等比数列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5，则aa1180等于(
)
A．－2或－3
B.2
32
3
C.3
D.2或3
2
32
3．已知等差数列{an}(n∈N*)的公差为 d，前 n 项和为 Sn，若 a1>0，d<0，S3＝S9，则当 Sn 取
大自然数 n 等于 198.其中正确的结论是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．(2019·杭州期末)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1>0，S50＝0.设 bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，
则当数列{bn}的前 n 项和 Tn 取得最大值时，n 的值为( )
A．23
2
答案精析
1．A 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.D
3 8．D 9.2－ 2 n 10.4 85
11．D [由于 f(n)＝sin nπ的周期 T＝50， 25
由正弦函数的图象可知 a1，a2，…，a24>0，a25＝0，a26，a27，…，a49<0，a50＝0，
且 sin 26π＝－sin π ，
25
25
Sin 27π＝－sin 2π，….
25
25
但是 f(n)＝1n单调递减，a26，…，a49 都为负数， 但是|a26|<a1，|a27|<a2，…，|a49|<a24. ∴S1，S2，…，S25 都为正，且 S26，S27，…，S50 都为正， 同理 S1，S2，…，S75 都为正，且 S75，…，S100 都为正， 即正数个数为 100.]
得最大值时，n 等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7 4．(2020·绍兴柯桥区调研)已知等比数列{an}中有 a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且 a7＝
b7，则 b5＋b9 等于( )
A．2 B．4 C．8 D．16
5．已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，(n＋1)Sn＝(6n＋18)Tn.若abnn∈Z，则 n
B．25
C．23 或 24
D．23 或 25
8．已知数列{an}满足 a1＝1，a2n＝a2n－1＋(－1)n，a2n＋1＝a2n＋3n(n∈N*)，则数列{an}的前 2 017
项的和为( )
1
A．31 003－2 005
B．32 016－2 017
C．31 008－2 017
D．31 009－2 018
15．3
解析 记“兔子数列”为{an}，则数列{an}每个数被 4 整除后的余数构成一个新的数列{bn}
4
为 1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，…， 可得数列{bn}构成一个周期为 6 的数列， 由题意得数列{cn}为 1,1,1,1，－2，－1,1,0,1,1，－2，－1，1,0,1,1，－2，－1，…， 观察数列{cn}可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一个周期为 6 的数列，且每一个 周期的所有项的和为 0， 所以 c1＋c2＋c3＋…＋c2 019＝(c1＋c2)＋(c3＋…＋c2 018)＋c2 019＝1＋1＋1＝3. 16．[－3,8] 解析 因为 an＋1－2an－1＝0， 所以 an＋1＋1＝2(an＋1)， 所以数列{an＋1}是以 a1＋1＝2 为首项，公比为 2 的等比数列， 所以 an＋1＝2n，an＝2n－1. 因此 Sn＝211－－22n－n＝2n＋1－2－n. 所以(－1)nλ≤Sn＋2n 对任意 n∈N*恒成立，可化为(－1)nλ≤2n＋1＋n－2 对任意 n∈N*恒成立． 当 n 为奇数时，－λ≤(2n＋1＋n－2)min， 所以 －λ≤3，即λ≥－3； 当 n 为偶数时，λ≤(2n＋1＋n－2)min， 解得λ≤8. 综上，实数λ的取值范围是[－3,8]．
同理 f3(x)max＝f(f2(x)max)＝f(34－1＋1)2－1＝38－1＝323－1，且 f3(x)>0，
依此类推 f2 019(x)max＝f(f2 018(x)max)＝322 019－1.]
14．C [因为 an＋1＝a2n＋3an＋1，
所以 an＋1－an＝a2n＋2an＋1＝(an＋1)2≥0，
9．记数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝3an＋2n－3，则数列{an}的通项公式为 an＝________. 10．(2019·舟山期末)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝5，an＋1＝3Sn＋1，n∈N*，则 a2＝
________，S4＝______.
11．设 an＝1sin nπ，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在 S1，S2，…，S100 中正数的个数是( ) n 25
所以{an}为递增数列，而 an＋1＋1＝a2n＋3an＋2
＝(an＋1)(an＋2)，
所以 1 ＝
1
an＋1＋1 an＋1an＋2
＝1－1， an＋1 an＋2
所以 bn＝an＋1 2＝an＋1 1－an＋11＋1，
因为数列{bn}的前 n 项和为 Sn，a1＝－12，
所以
S2
019＝a1＋1 1－a2＋1 1＋a2＋1 1－a3＋1 1＋…＋a2
此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被 4 整除后的余数
构成一个新的数列{bn}，又记数列{cn}满足 c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn－bn－1(n≥3，n∈N*)，则
c1＋c2＋c3＋…＋c2 019 的值为______．
16．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，首项 a1＝1 且 an＋1－2an－1＝0，若(－1)nλ≤Sn＋2n 对任 意 n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是__________．
1－ 019＋1 a2
1 020＋1
＝2－ a2
0210＋1.
而 a2＋1＝(a1＋1)(a1＋2)＝34，
a3＋1＝(a2＋1)(a2＋2)＝2116，
所以 a2 020＋1>a3＋1＝21， 16
从而得到
2－ a2
1∈ 020＋1
26，2 21
，
所以|S2 019－k|要取最小，k 的整数值为 2.]
的取值集合为( )
A．{1,2,3}
B．{1,2,3,4}
C．{1,2,3,5}
D．{1,2,3,6}
6．设等比数列{an}的公比为 q，其前 n 项的积为 Tn，并且满足条件 a1>1，a99·a100－1>0，a99－1 <0. a100－1
给出下列结论：①0<q<1；②a99·a101－1>0；③T100 的值是 Tn 中最大的；④使 Tn>1 成立的最
2
2
＋ f n ＋f n
＝2×n＋1＝n＋1，综上所述，an＝n＋1.] 2
13．D [∵f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1 在(0，＋∞)上为增函数，且 f(x)>0，
∴f1(x)＝f(x)＝x2＋2x 在[1,2]上为增函数，
即 f1(x)max＝8＝32－1，且 f1(x)>0，
同理 f2(x)max＝f(f1(x)max)＝f(32－1＋1)2－1＝34－1＝322－1，且 f2(x)>0，