高中数学：求圆锥曲线离心率的四种方法

高中数学：求圆锥曲线离心率的四种方法

离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。

一. 直接求出a、c，求解e

已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解。

例1. 过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）

A.

B.

C.

D.

分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。

解：易知A（-1，0），则直线的方程为。直线与两条渐近线和的交点分别为B、

C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，从而选A。

二. 变用公式，整体求出e

例2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）

A.

B.

C.

D.

分析：本题已知，不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式。

解：由（其中k为渐近线的斜率）。这里，则，从而选A。

三. 统一定义法

由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。

例3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）

A.

B.

C.

D.

解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则轴，知|MF|是通径的一半，则有。由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选B。

四. 构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值。

例4. 已知、是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.

B.

C.

D.

解：如图，设的中点为P，则点P的横坐标为，由，由焦半径公式，即

，得，有，解得

（舍去），故选D。

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