量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第5章-1

第五章： 对称性及守恒定律P248设粒子的哈密顿量为 )(2ˆˆ2r V p H+=μ。

（１） 证明V r p p r dtd ∀⋅-=⋅μ/)(2。

（２） 证明：对于定态 V r T ∀⋅=2（证明）（１）z y x p z p y p xp r ˆˆˆˆˆˆ++=⋅，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律：]ˆ,ˆˆ[1)ˆˆ(H p r i p rdt d⋅=⋅]ˆ,ˆˆ[H p r =⋅=)],z y （２） ˆ[r⋅ x x x x p x p p x p p xˆˆˆˆˆ]ˆ,ˆˆ[232-= x x x x x x p x p p x p p x p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ2223-+-= x x x x x p p x p p p xˆ]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[2+= 222ˆ2ˆˆx x x p i p i p i =+= （４）],ˆ[ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ],ˆˆ[V p x p V x V p x p x V V p x V p xx x x x x x =-=-=xV x i ∂∂=ˆˆ （５） 将（４）（５）代入（３），得：}{)ˆˆˆ(]ˆ,ˆˆ[222zV z y V y x V x i p p p i H p rz y x ∂∂+∂∂+∂∂+++=⋅ μ }ˆ{2V r pi ∀⋅+=μ代入（１），证得题给公式：V r pp r dt d ∀⋅-=⋅ μ2ˆ)( （６） 的平均值，按前述习题２的结论，其 则=⋅p r dt d 由前式P249 ） （２）库仑场 T V 2-= （３）T V n Cr V n2,==（解）先证明维里定理：假设粒子所在的势场是直角坐标),,(z y x 的n 次齐次式，则不论n 是正、负数，势场用直角坐标表示的函数，可以表示为以下形式，式中Ｖ假定是有理函数（若是无理式，也可展开成级数）：∑=ijkkj i ijk z y x C z y x V ),,( （１）此处的k j i ,,暂设是正或负的整数，它们满足：n k j i =++ （定数）ijk C 是展开式系数，该求和式可设为有限项，即多项式。

根据前一题的结论：V rT ∇⋅=ˆ2 （２） 现在试行计算本题条件下V r ∇⋅的式子及其定态下平均值。

zV z y V y x V xV r ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅直接看出=n z z y y x x 321μωμωμω⋅+⋅+⋅=V z y x 2)(232221=++=ωωωμV V r 2=∇⋅，由（３）式可知V T =（２）库仑场 2221zy x V ++=直接看出Ｖ是z y x ,,的1-=n 次齐次式，按（３）式有： V T -=2但这个结论也能用（３）式验证，为此也利用前一题结论（２）有：zV z y V y x V x V r ∂∂+∂∂+∂∂=∇⋅2/32222/32222/3222)()()(z y x zz z y x y y z y x x x ++-⋅+++-⋅+++-⋅=V z y x -=++-=2221 V V r -=∇⋅V r =∇⋅x =)2()1222z z y n⋅++-n =由（２）得P260（解）根据海森伯表象（绘景）的定义可导得海森伯运动方程式，即对于任何用海氏表象的力学算符)(ˆt A应满足：]ˆ,ˆ[1ˆH A i dt A d = （１） 又对于自由粒子，有μ2ˆˆ2p H =（p ˆ 不随时间t 变化）令)(ˆ)(ˆt x t A=为海氏表象座标算符；代入（１）]2ˆ),(ˆ[1)(ˆ2μpt x i dt t x d =]ˆ),(ˆ[21)(ˆ2p t xidt t x d μ= （２） 但 x p p x p t xˆˆˆˆ]ˆ),(ˆ[222-= x p p p x p p x p p p xˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ-+-= p i p x p p p xˆ2]ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ[ =+= （３）代入（２）积分得 将初始条件tP260]2)(ˆ2)(ˆ),(ˆ[1)(ˆ222t x t p t x i dt t x d μωμ+= （２） 将等式右方化简，用前一题的化简方法：μμωμμωμ)(ˆ]ˆ,ˆ[2]ˆ,ˆ[21]2,ˆ[1222222t p x x i p x i x p x i =+=+∂)(ˆ1)(ˆt pdt t xd μ= （３）但这个结果却不能直接积分（与前题不同，p ˆ与t 有关），为此需另行建立动量算符的运动方程式：]2)(2)(ˆ),(ˆ[1)(ˆ222t x t pt p i dt t p d μωμ+= 化简右方}ˆˆˆˆ{2]2)(),([122222p x x p hit x t p hi -=μωμω =}ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ{22p x x x p x x x phi--μω =)(ˆ]}ˆ,ˆ[ˆˆ]ˆ,ˆ{[2222t x x p x x x phiμωμω-=-xi p x x∂∂== )0(ˆˆ)0(ˆc.f.P.Roman.Advanced Quantum Theory:§1.1.p.47-48 Addison-Wesley5.1设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明[][]H H A A dt d ,,222=-证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1=,令[]C H A =, 则[][]H C H C i dt C d i dt A d ,1,11222 -===, [][]H H A A dtd ,, 222=-∴5.1证明力学量Aˆ（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]ˆ],ˆ,ˆ[[222H H A A dtd -= （H ˆ是哈密顿量）此式遍乘25.2ψ态中的平均值，有： ⎰⎰⎰-≡=ττψψd A H H A i H A i dt A d )ˆˆˆˆ(*]ˆ,ˆ[ （１） 今ψ代表Hˆ的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H=ˆ （E 为本征值） （２） 又因为Hˆ是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积分存在）τψψτψψτd AHd A H ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=)ˆ(*)ˆ()~(ˆ* （３）（题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量）（２）（３）代入（１）得：τψψτψψd A H id H A i dt A d )ˆ(*)ˆ(1)ˆ(ˆ*1⎰⎰⎰⎰⎰⎰-= ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=τψψτψψd A iE d A i E ˆ**ˆ* 因*E E =，而0=dtAd 5.2dt dA ===5.3证明，对于一维波包有：)(12px xp x dt d +=μ（解）一维波包的态中，势能不存在故μ2ˆˆ2x p H = （自由波包） 依据力学量平均值时间导数公式：]2ˆ,ˆ[1]ˆ,ˆ[12222μx px i H xi x dt d == ]ˆ,ˆ[2122x p x iμ=（２）但 222222ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[x p p x p xx x x -= )ˆˆˆˆˆˆˆˆ()ˆˆˆˆˆˆˆˆ(x p p x p x p x p x p x p p x xx x x x x x x x -+-= )ˆˆˆˆˆˆˆˆ()ˆˆˆˆˆˆˆˆ(x x p p x p x p x p x p x p p xx x x x x x x x -+-+ x p x p x p p x p x p x p p x xx x x x x x x x ˆ]ˆ,ˆ[ˆˆˆ]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[ˆˆˆ]ˆ,ˆ[ˆ+++= （３） 因p xx ˆ,ˆ[ˆ,ˆ[2p x5.4 /]j ⑴ ⑵=[i∑=])ˆˆˆ(21)ˆˆˆ(21,ˆˆˆ[2z 222z 1212121⋯+++⋯+++⋯⋯+i iy ix iy x i x x x p p p m p p p m p p pi +]/)(//)(/ /)(/,ˆˆˆ[322121⋯+-⋯-+-⋯⋯+j i x x x r r V r r V r r V p p pi ⑷第一个对易式中，因为：0]ˆ,ˆ[2x =j ix p p， 0]ˆ,ˆ[2x =jy i p p ，0]ˆ,ˆ[2jz =p p ix 故整个 0]ˆ21,ˆ[2=∑∑ii iiix p m p至于第二个对易式中，其相互势能之和有以下的形式∑∑<---=-ji ji j i j i j i j ji i z z y y x x V r r V ,,),,(/][/=)},,(),,({21,j i j i j i ji j i j i j i z z y y x x V z z y y x x V ---+---∑ 又⑷式的第二对易式又能用分配律写成许多对易式之和，由于不同粒子的坐标算符和动量算符永远能够对易，⑷式又能简化成：]),,(ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[∑∑---=jji j i j i iix x z z y y x x V p H p =∑∑---+---iij i j i j j i j i j i jixz z y y x x V z z y y x x V p)}],,(ˆ),,(ˆ{21,ˆ[ ⑹ 再运用对易式（第四章11题） ii i i i ix x x V i x F x i x F p∂∂=∂∂=)()](,[)](,ˆ[ 代入上式得：])],,(ˆ[21,ˆ[)],,(ˆ[21,ˆ[[]ˆ,ˆ[∑∑∑∑---+---=i i i j i j i j jixj i j i j i j ix x z z y y x x V p z z y y x x V p H p=022=∂∂-∂∂∑∑∑∑ii j i x V i x V i 满足⑶式，故⑵式得征。

5.5多粒子系如所受外力矩为0，则总动量∑=il L ˆˆ 为守恒。

证明：与前题类似，对粒子系，外力产生外力势能和外力矩，内力则产生内力势能)(j i r r V-，但因为内力成对产生，所以含内力矩为0，因此若合外力矩为零，则总能量中只含内势能：][ˆ21ˆ,2j ji i i ir r V p H-+=∑μ ⑴要考察合力矩是否守恒，可以计算]ˆ,ˆ[HL 的分量看其是否等于零。

]][ˆ21),([]ˆ,ˆ[,2∑∑∑-+-=i j ji i i i i iy i iz i x r r V pp z p y H L μ )])(,,(),,()[()])(ˆˆˆ()ˆˆˆ()[(21222222iy i ix i j i j i j i ij i j i j i jiy i iz i iy i iz i iz iy ix iz iy ix i iy i iz i ip z p y z z y y x x V z z y y x x V p z p y p z p y p p p p p pp z p y ---------+-++-++-=∑∑∑μ])()[()]ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ[(212222y 22222222∑∑∑-+-+-+-+-+-+-+-=i j iy i iy i ix i ix i iz iy i iy i iz iy iy i iy i i ix iy i iy i ix iz i iz iz iz i iz i iy iy iz i i iz i ix ix iz i iV p z p Vz p Vy V p y p p z p z p p p z p z p p p z p z pp y p p p y p y p p p y p y p p p y μ ⑶因为 0],[],[],[],[2222====iy iz ix iz iz iz iy ix p p p p p p p p因而⑶可以化简：]ˆ,ˆ[=x H L ]ˆ,ˆ[H L x = = ]ˆ,ˆ[x H L 同理可证 因此L ˆ5.6 [证明], i=1,2,3,…）ii i i i q B p A p B q A B A ∂∂∂∂-∂∂∂∂≡∑},{ 在经典力学中，力学量A 随时间守恒的条件是 0},{=i i q p A dtd 或写作：0=∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=∑t p p A tq q A t A dt dA i i i i i将哈密顿正则方程式组：i i p H dt dq ∂∂= ii q H dt dp ∂∂-= 代入前一式得 0},{=+∂∂=∂∂∂∂-∂∂∂∂+∂∂=∑H A t A q H p A p H q A t A dt dA ii i i i 因此，若力学量A ，B 不显示含时间t,则这两涵数随时间守恒的条件是：0},{=H A ⑵0},{=H B ⑶假定以上两条件都适合，我们来考察{A ，B}是否也是守恒的？为此只需要考察下式能否成立： 0}},,{{=H H A ⑷∑≡i I - 式中F F 与H 无关)，前式中},{i p B 的值可在⑴中，作替代A —>B ，B —>i p 得到，},{i p A 求法类似。