山西省长治市第二中学校2019-2020学年高一下学期摸底考试数学试题(理科)

8．已知
f
(x)
=
(2a −1) x + 3a，x
ax，x 1
1
，若
f
(x)
在R
上单调递减，那么 a
的取值范围是
A． (0，1)
B．
0，1 2
C．
14，1
D．
1，1 42
9．将函数
f
(
x)
=
cos
(
x
+
)
2
图象上各点的横坐标伸长到原来的
2
倍（纵坐标不
变），再把得到的图象向左平移 个单位长度，所得函数图象关于 x = 对称，则 sin 等
则
=
2 T
=
2 4
=
1 2
，所以 y
=
3sin
1 2
x
+
，将点
0,
3 2
代入该式，
得3 2
= 3sin ，又
2
，故解得
= 6
，所以
y
=
3sin
1 2
x
+
6
；.................6
分
（2）由（1），令
3
sin
1 2
x+
6
= 3 ，解得 x
=
2 3
+ 4k (k
Z)，
2 三、解答题：本大题共 70 分 17．(本题满分 10 分)
已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数，当 x 0, + 时， f (x) = x2 − 2x . （1）写出函数 f ( x) 的解析式； （2）若方程 f ( x) = a 恰有 3 个不同的解，求实数 a 的取值范围.
18．(本题满分 12 分)
D．
3 8
,
3
13．已知角 的终边经过点 P (3, −4) ，则 sin + cos 的值为__________．
14 ．已知 平面向量 a,b 满 足 | a |=| b |= 1 ， 若 | 3a + 2b |= 7 ，则 向量 a 与 b 的 夹角 为
__________．
( ) 15．幂函数 f ( x) = m2 − 6m + 9 ( ) xm2 −3m+1 在 0, + 上单调递减，则 m 的值为__________．
实根，求实数 的值；
（3）在(2)的条件下,若不等式
f
(
x
)
+
t
＜1
在
x
0，3
内恒成立，求实数
t
的取值范
围.
22．(本题满分 12 分)
已知函数
f
(x)
=
log2[k
4x
−
(k
− 1)2 x
+
k
+
1] . 2
（1）当 k = 0 时，求函数的值域；
（2）若函数 f (x) 的最大值是 −1，求 k 的值；
（2）估计平均分为：
55 0.08 + 65 0.28 + 75 0.4 + 85 0.16 + 95 0.08 = 73.8 ..................................8 分
（3）由已知得80,100) 的人数为：（0.16+0.08）（0.16 + 0.08） 25 = 4 + 2 = 6 .
x2 − 2x, x…0
f
(
x)
=
−
x2
−
2x,
x
0
．...............................................................................5
分
（2）作出函数 f ( x) 的图象，如图所示，
根据图象，若方程 f ( x) = a 恰有 3 个不同的解，则 −1 a 1，即实数 a 的取值范围是
(−1,1) ．..........................................................................................................................10 分
18．解：（1）显然 A=3，根据正弦函数的图象与性质， T = 2(x0 + 2 − x0 ) = 4 ，
设分数在80, 90) 的试卷为 A ， B ， C ， D ，分数在90,100 的试卷为 a ， b .
则从 6 份卷中任取 2 份，共有15 个基本事件， 分别是 AB ， AC ， AD ， Aa ， Ab ， BC ， BD ， Ba ， Bb ， CD ， Ca ， Cb ， Da ， Db ， ab ， 其中至少有一份优秀的事件共有 9 个， 分别是 Aa ， Ab ， Ba ， Bb ， Ca ， Cb ， Da ， Db ， ab ， 在抽取的 2 份试卷中至少有1份优秀的概率为 P = 9 = 3 ...............................12 分
uuur uuur uuur
16．已知 ABC 的外接圆圆心为 O ， | AB |= 6,| AC |= 8 ， AO = AB + AC( , R) ，若
2/8
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
sin2 A (t + − 1) （ t 为实数）有最小值，则参数 t 的取值范围是______.
D． x2 x3 x1
① AB − AC = BC ； ② AB + BC + CA = 0 ； ③ 点 O 为 ABC 的 内 心 ， 且
( ) ( ) OB − OC OB + OC − 2OA = 0 ，则 ABC 为等腰三角形；④ AC AB 0 ，则
ABC 为锐角三角形．
A．1
B．2
14. 120
三、解答题：
15. 2.
16. (− 33 , 15) 16 16
17. （1）当 x (−, 0) 时， −x (0, +) ，
函数 f ( x) 是奇函数，
f (x) = − f (−x) = − (−x)2 − 2(−x) = −x2 − 2x ，
4/8
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
且 f ( x) 是定义在 (0，+ ) 上的单调递增函数，
x2 − 3x 4
∴
x
0
，解得 3 x 4 ，
x − 3 0
故原不等式的解集是 (3, 4 ．......................................12 分
20.解：（1）频率为 0.08 ，频数=2，所以全班人数为 2 = 25 ..............................4 分 0.08
B． M = {2,3} ， N = {3, 2}
C． M = {(x, y) | x + y = 1}， N = {y | x + y = 1}
D． M = {1, 2} ， N = {(1, 2)}
2．
sin
4 3
cos
−
tan 15
6
=
4
A． 3 4
B． 3 4
C． − 3 4
D． − 1 4
已知函数 f ( x) = Asin (x + )（ A 0 ， 0 ，
2
）的图像与
y
轴交于点
0,
3 2
，
它在 y 轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为 M ( x0 ,3) 、N ( x0 + 2 , −3) ，点 P 是
f ( x) 图像上任意一点.
（1）求函数 f ( x) 的解析式；
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
数学试题（理科）
【满分 150 分，考试时间 120 分钟】 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．下列各组集合中，表示同一集合的是
A． M = {(3, 2)}， N = {(2,3)}
依题意， x0
=
2 3
，则 M
2 3
,
3
，
N
8 3
, −3 ，
设点
P
x, 3 sin
1 2
x
+
6
，则
MP
+
NP
=
(2x
−
10 3
, 6 sin( 1 2
x
+
6
))
，
( ) 所以 j
MP + NPLeabharlann =6sin
1 2
x
+
6
[−6,
6]
，
( ) 故 j MP + NP 的取值范围为[−6, 6] ...............................................12 分
19.解：（1）∵ f ( xy) = f ( x) + f ( y) ，令 x = y = 1 ，
5/8
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
∴ f (1) = f (11) = f (1) + f (1) ， ∴ f (1) = 0 ..........................................................6 分
（3）已知 0 k 1，若存在两个不同的正数 a, b ，当函数 f (x) 的定义域为[a, b] 时，
f (x) 的值域为[a + 1,b + 1] ，求实数 k 的取值范围.
理科数学试题答案
一、选择题：
1-5：BABBB 6-10:CBDDB 11-12:BC
二、填空题：
13． − 1 5
统计数据表：
收入 （万元）
支出 （万元）
根据上表可得回归直线方程
入为 15 万元家庭年支出为
A．11.4 万元
B．11.8 万元
8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
，其中
，据此估计，该社区一户收
C．12.0 万元 D．12.2 万元
1/8
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
( ) （2）己知 j = (0,1) ，求 j MP + NP 的取值范围．
19．(本题满分 12 分)
设 f (x) 是定义在 (0, +) 上的单调递增函数，满足 f (xy) = f (x) + f ( y), f (2) = 1 . （1）求 f (1) ； （2）解不等式 f (x) + f (x − 3) 2 .
3/8
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
分析学生得分情况，求在抽取的 2 份试卷中至少有1份优秀的概率.
21．(本题满分 12 分)
已知函数
f
(
x)
=
sin
2 x
+
3
−1，＞0.
（1）当 = 1 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间；
2
（2）对于 x (a，a + ，a 为任意实数，关于 x 的方程 f ( x) = −1 恰好有两个不等
6
2
于
A． 1 2
B． 3 2
C． − 1 2
D． − 3 2
10．已知函数 f ( x) = 3x + x, g ( x) = log3 x + x, h ( x) = sin x + x, 的零点依次为 x1, x2 , x3, 则
以下排列正确的是
A． x1 x2 x3 B． x1 x3 x2 C． x3 x1 x2 11．在 ABC 中，下列命题正确的个数是
（2）∵ f ( xy) = f ( x) + f ( y) ， f (2) = 1，
∴ f (4) = f (2 2) = f (2) + f (2) = 2 ， f ( x) + f ( x − 3) = f x ( x − 3) = f ( x2 − 3x) ， ∴由 f ( x) + f ( x − 3) 2 得 f ( x2 − 3x) f (4) ，
在丙地区有 20 个大型销售点，要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务等情况，记这
项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是
A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
5．设 a
=
20.5 ， b
= log0.5
3．若向量 a = (3, 2),b = (−1, m) ，且 a / /b ，则 m =
A． 2 3
B． − 2 3
C． 3 2
D． − 3 2
4．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150，120，180，150 个销售点．公司为了调查
产品销售情况，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本．记这项调查为①；
20．(本题满分 12 分) 某校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，某班的数学成绩的茎叶图和频率 分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（1）求该班数学成绩在50, 60) 的频率及全班人数；
（2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分；
（3）若规定 90 分及其以上为优秀，现从该班分数在 80 分及其以上的试卷中任取 2 份
C．3
D．4
12 ． 已 知 函数
f
(
x
)
=
x
+
1 2
，x
0，12
3x
2，x
1 2
，1
，若存在
x1
x2
，使得
f
( x1 ) =
f
( x2 )
，则
x1 f ( x2 ) 的取值范围为
A．
3 4
,1
B．
1 8
,
3 6
C．
3 16
,
1 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
0.6 ， c
=
tan
4 5
，则
A． a b c B． c b a C． b c a D． c a b
6．若函数 f (2x −1) 的定义域为[1,3] ，则函数 f ( x) 的定义域为
A．[1,3]
B．[1,2]
C．[1,5]
D．[3,5]
7．为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下