分数拆分 学生版

知识要点

一、比较分数的大小

1. 通分比较分数大小（包括通分母与通分子）

2. 化为小数比较大小

3. 倒数法（倒数大的分数反而小）

4. 作差法——和0比较大小

5. 放缩法与标准数法（利用不等式的传递性）若a b >，c b a c <⇒>

6. 性质法：(0,0,0)n n k n p

m k p m m k m p ⨯÷=

=≠≠≠⨯÷ 如果n m 为真分数，则()12012n n n n k k m m m m k

+++<<<<>+++ （假分数则相反）

a c a a c c

b d b b d d

+<⇒<<+ (),,,a b c d 均为正数 二、分数的拆分及其运用

1）约数法:如果将一个分数单位拆分成两个分数单位之和，也就是111

A B C

=+的表达式

（A 、B 、C 均为非零自然数）

，需经过以下步骤： 分解——将A 分解质因数，从中找出A 的任意两个约数1a 、2a ；

扩分——把

1

A

的分子、分母同时乘以12()a a +，得到：12121()a a A A a a +=+；

拆分——把扩分后的分数拆成两个分数之和：1212121

()()

a a A A a a A a a =+++；

约分——把所得的两个分数约分，得到最后结果：

1212

12

111

()()

A A A a a a a a a =+

++。 2）裂项法：111

1(1)

n n n n =+++，(0)n > 111

(1)1

n n n n =-++，(0)n >

1()n n k +=1k

()()n k n

n n k +-+=111k n n k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ ，()0,0n k >> 分数拆分

拆分裂项

1. 在

111

6=+

的方框里填入不同的非零自然数，使等式成立。

2. 在括号中填入不同的数字使等式成立

1）()()1113=+ 2）()()1118=+ 3）()()()1111

6=++

3. 如果411

15A B

=+，其中A 、B 为不同的非零自然数，那么，满足条件的A 、B 分别是多少？ 三、分数的裂项

整数的运算在有些情况下也可以借用分数裂项的思想，同样也可以通过裂项来构造出相同的项，再通过抵消进而求解。它们运用的公式为：

[]{}[]11

(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)(1)33

n n n n n n n n n n n n +=

+⨯+--=++--+ []{}[]11

(1)(2)(1)(2)(3)(1)(1)(2)(3)(1)(1)(2)44

n n n n n n n n n n n n n n n n ++=++⨯+--=+++--++

四、分数的估算

在数学中，精确计算非常必要，但有时只需要对某些数量作一个大致的估计，当然，这里所说的“大致”是指误差很小的估算，也就是根据实际需要，对一些数量进行粗略运算。本将所运用的估算方法为放缩法，其基本原理为：若12n a a a <<< ，则121

111n n n n a a a a a <+++< ，（12,n a a a 为不同的非零自然数）。在小学阶段，分数的估算通常不会单独考察，一般贯穿于分数计算的应用之中。

4. 计算：111

1232349899100

+++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯

5. 计算：45611

1232343458910

++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

1. （第三届“走进美妙数学花园”试题）5个分数中

37，49，1735，101203，203

405

中最大数与最小数差是多少？

2. （第五届小学希望杯六年级第1试）在横线上分别填入两个相邻的整数，使不等式成立。

10111819__________11121920

<++++< .

3. （第六届“中环杯”思维能力训练六年级复赛）试比较

1239

22323423410

++++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 与1的大小

4. 已知135********

A =⨯⨯⨯⨯ ，试比较A 与1

10的大小

5. 分母是2009，且小于1的最简分数有（ ）个

6. 按要求填空，使不等式成立。

1)同分子：()()()()()()1154<<<< 2)同分母：()(

)()()()()1154<<<<

3)任意自然数：()(

)()()()()1154

<<<<

巧算

1. 计算：11111111

_______36101521283645+++++++=

2. 计算：

35791113________2612203042

-+-+-=

3. 1111102451232168421_______245121024

---------

----=

4. 计算111111

19931992199119901__________232323

-+-++-=