一元二次方程竞赛训练题

一元二次方程竞赛训练题

1．方程k k k x k x

(02)13(722

=--++-是实数)有两个实根α、β，

且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是（ ）

（A ）3＜k ＜4； （B ）－2＜k ＜－1； （C ）3＜k ＜4或－2＜k ＜－1 （D ）无解。

2．方程01)8)((=---x a x ，有两个整数根，则=a 3．方程012=--x x 的解是（ ）

（A ）

251±； （B ）25

1±-； （C ）

251±或251±-； （D ）2

5

1±-±． 4．已知关于x 的一元二次方程02

=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，

=+a

c

b 32 ． 5．若0x 是一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42

-=∆与平方式

20)2(b ax M +=的关系是( )

(A)∆>M (B)∆=M (C)∆

6．若方程k x x =--)4)(1(2

2

有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则

k =____________.

7．如果方程0)2)(1(2

=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）

（A ）10≤≤m ； （B ）43≥

m ； （C ）143≤

3

≤≤m 8．设21,x x 是二次方程032

=-+x x 的两个根，那么，1942

23

1+-x x 的值等于（ ）

（A ）;4- （B ）8； （C ）6； （D ）0. .

9．已知m ，n 是有理数，并且方程02

=++n mx x 有一个根是25-，那么m+n 的值是

______。

10．求所有正实数a ，使得方程042

=+-a ax x 仅有整数根。

11． 已知且，则＝________。

12．已知：a ，b ，c 三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+48

c 38c ab 8b a 2

，试求方程bx 2

+cx-a=0的根。

13．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95

-而小于37

，则m =____________．

14．已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，

2

)1(3)1(3+-=+b b .则b

a

a a

b b +的值为（ ）.

（A ）23 （B ）23- （C ）2- （D ）13- 15．如果x 和y 是非零实数，使得

3=+y x 和03=+x y x ，

那么x +y 等于（ ）. （A ）3 （B ）13 （C ）

2

13

1- （D ）134- 16．已知实数a 、b 、x 、y 满足2=+=+y x b a ，5=+by ax ，则

=+++)()(2222y x ab xy b a .

17．实数x 、y 、z 满足x+y +z =5，xy +yz +zx =3，则z 的最大值是 . 18．已知a ，b 是实数，关于x ，y 的方程组

⎩⎨

⎧+=--=b

ax y bx ax x y ,

23 有整数解),(y x ，求a ，b 满足的关系式.

19．已知b 2

-4ac 是一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）

(A) 18ab ≥

(B) 18ab ≤ (C) 14ab ≥ (D) 1

4

ab ≤ 20．在Rt ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC ，AC 之长是一元二次方程

2(21)4(1)0x m x m --+-=的两根，则m 的值是（ ）

A 、4

B 、-1

C 、 4或 -1

D 、-4 或 1

21．已知a 为实数，且使关于x 的二次方程2

2

0x a x a ++=有 实根，该方程的根x 所能取到的最大值是 。

18)8(2=-++-a x a x 22．设a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式

141622

2

2

++=+a a c b ① 及 542--=a a bc ， ② 求a 的取值范围．

一元二次方程竞赛训练题 (答案)：

1．解：记2)13(7)(22

--++-=k k x k x

x f

由124303)2(082)1(02)0(22

2-<<-<<⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-=<--=>--=k k k k f k k f k k f 或 2．8． 原方程整理为设x 1,x 2为方程的两个整数根，由x 1+x 2=a +8，知a 为整数，因此，x -a 和x -8都是整数。故由原方程知x-a=x-8(=±1) ∴所以a=8 3．（D ） 设0x 是方程的解，则—0x 也是方程的解，排除（A ）、（B ）；（D ）的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C ）．

将

)51(2

1

-代入方程，左边≠0，排除（C ）

． 4．６

设甲将a 看为a ′，由韦达定理得

．

于是 ．

　， 4

3

8'

6'-===-c b a c

a b

由于一次项系数b 的符号不改变判别式的值，因此，乙只能是看错a 或c 的符号．于是

a ’

．4=a

c

由①②得

．

．所以6126323=+-=+-=a

c

b b

a