第四章平面一般(任意)力系

X 0 Y 0 mA 0
XA 0
YA P
C
M A P 1 1
E
P D
拆开CD：
SCB
P
MA
C
E
M E 0 SCB 2P
D XA
A
YA
例3 ：图示结构受水平力P作用，ACB与ED两杆在C点用销钉连接， ED与BD两杆在D点绞接并放在光滑斜面上，各杆自重不计，AB水 平，ED铅直，BD⊥AD。AC=1.6m、 BC=0.9m、 EC=CD=1.2m、 AD=2m。求A、D两处的反力及杆BD的内力。
dx
2
l
分布载荷合力Q的作用位置： 利用合力矩定理，设合力Q的作用点
到原点的距离为C，向O点取矩有：
Qc
qxdx x
l q1 0l
x2dx
1 3
q1l 2
而Q q1l c 2 l
2
3
作用在分布载荷的形心——图形的几何中心
§5.平面平行力系的平衡方程 y
Fi∥y轴
X 0 Y 0
0=0
mo 0
平面平行力系的平衡方程为
o
Y 0
m o
0
或
mA 0 mB 0
AB ∥ Fi
x
注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平
衡方程的个数只有两个，对一个物体来讲,只能解
两个未知量,不得多列！
§6.静定与超静定问题, 物系的平衡 静定问题: 未知数全部能够由平衡方程来求得的问题 静不定问题: 未知数的个数多于(独立的)平衡方程的个数, 不能够由
B
q
Y 0
YA-YB=0
C
m0
A
MA+M-YBl=0
列平衡方程
X 0 XB=0
Y 0
YB+NC-ql=0
m0
B
NCl-ql2/2=0
联立求解即可。
请同学们研究整体ABC,与上 述结果比较.
例2 ：图示构架，P=1kN，AE=BE=CE=DE=1m，求A处的反力及BC
的内力。
B
解：先整体求A处反力：
平衡方程来求得全部的未知数的问题,也称之为超静定
问题. 超静定次数 = 未知量的总数－平衡方程的个数
例:
物系的平衡: 物系: 由若干个物体所组成的物体系统
内约束, 内力, 外力 物系平衡时,构成物系的每一个物体都必然平衡. 设一物系由 n 个物体构成,则每个物体可列出3个独立的平衡方 程,整个物系则可列出3n个平衡方程,也即可解出3n个未知量.
合力矩定理：当平面一般力系具有合力时，合力对平面内任一点的
矩就等于该力系的各分力对同一点的矩的代数和。
④ F’R＝0, MO = 0, 原力系为一平衡力系。.
§4.平面一般力系的平衡方程及其应用
一.平衡方程的基本形式
平面一般力系 平 衡
FR＝0, MO = 0
平面一般力系的平衡方程: X 0 T Gsin 0
解：先研究整体：
M B 0 YA 0.48P M A 0 N D 1.44P
E
P
X 0 X A 1.36P
再拆开ACB： XA A
A
XA
C
B
C
B
XC
YA
YA
YC
D
SBD
M C 0 SBD 1.06 P(拉力) ND
讨论：拆开时若不研究ACB，而研究ECD，则受力如下：
此时，ND与SBD共线，是不是SBD就直接等 于ND呢？
y
A
B
l
lБайду номын сангаас
解：研究AB，受力如图：XA A 建坐标如图
x q1
q2
B
YA
X 0 XA=0
NB
Y 0
m 0
Ao
YA+ NB -
q1l 2
q2l
=0
NB
2l
1 2
q1l
2 3
l
q2l
(l
l) 2
0
下面O讨论分xc布载qx荷Q 合q力1 Q的大x Q小：qqx1lq=x分dql布1x载x荷的0面l q积l1 xdx
第四章 平面一般（任意）力系
§1.力线平移定理
∥ F`=F``= F
F` F`
O.
F
O.
.
A
F``
结论: 力的作用线可以平行移动,移动后必须附加一个力偶,附加力偶 的力偶矩等于原来的力对所移动点的力矩。
M=mo（F）
§2.平面一般力系的简化
.O
O——简化中心
FR
F’R——主矢 FR=ΣFi 与简化中心无关 MO——主矩 MO =Σmo(Fi) 与简化
基本形式
X 0 一矩式 Y 0
m o
0
种形式的平衡方程， 其独立的平衡方程 的个数只有三个， 对一个物体来讲,只
二矩式
X 0 mA 0 mB 0
AB⊥x轴 能解三个未知量,不 得多列！
三矩式
mA mB
0 0
m C
0
A、B、C不共线
例：图示简支梁，求A、B两处的约束反力。
q1
q2
MO
.O
中心有关
FR——主矢 FR=ΣFi 与简化中心无关 MO——主矩 MO =Σmo(Fi) 与简化
中心有关
讨论 :主矢 FR=ΣFi
其大小 Rx Fx X Ry Fy Y
FR Rx2 R2y ( X )2 ( Y)2
arctg Y X
y
MO
. Oα
FR
x
作为平面一般力系简化结果的一个应用,我们来分析另一种常见约束 ------固定端约束的反力。
简图： F
固定端约束反力有三个分量： 两个正交分力，一个反力偶
§3.简化结果分析.合力矩定理
F’R——主矢 F’R =ΣFi 与简化中心无关
MO——主矩 MO =Σmo(Fi) 与简化中心有关 ①. F’R ＝0, MO ≠ 0 原力系为一力偶系,与简化中心位置无关; ②. F’R ≠ 0, MO ＝0 原力系为一作用在简化中心的合力,与简化中心
例:求A、B两处的约 束反力及绳子的拉力
Y 0 NA NB G cos 0
m 0
oC
NB b NA a 0
G
G
T
C
B
y
x
A
α
解:①.取研究对象——小车 ②.做受力图 ③.建立适当的坐标轴 ④. 判断力系类型，列出对应的平衡方程 平面一般力系
⑤.解方程
二.平衡方程的其它形式
注意：不论采用哪
若物系的未知量多于3n个,则为超静定系统.
本课程不讨论超静定系统.
解决物系的平衡问题的基本方法是将物系拆开成若干个单个物体,对 每个物体列平衡方程,联立求解.
例1:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。
M
q 再研究AB：（或整体ABC）
A
B
C
l
l
M
A
B
解：先以BC为研究对象，做受力图 X 0 XA-XB=0
位置有关;
③. F’R ≠ 0, MO ≠ 0 为普遍情形,还可继续简化为一作用在 O点 的
合力 FR，即为原力系的合力；
F’R
MO . O
F’R
FR
.d
O
FR
FR
.O
d
.
O
FR
.O
d
.
O
d M0 M0 FR FR
FRd m0(FR) M0 m m0(Fi ) m0(FR) m0(Fi )