3.2.2函数模型的应用实例1
3.2.2_函数模型的应用实例(一)
3.2.2函数模型的应用实例（一）1、某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用( )A．一次函数B．二次函数 C．指数型函数D．对数型函数2、某种植物生长发育的数量y与时间A．y＝2x－1 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋23、如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1小时，骑摩托车者用了2小时，根据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时，晚到1小时；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5小时后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是( )A．①②③B．①③ C．②③D．①②4、长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少x2时面积最大，此时x＝________，面积S＝________.5、某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.6、某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？7、．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.8、有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？9、某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系.10、某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？11、该经营者准备下月投入12. 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).。
课件9：3.2.2 函数模型的应用实例
似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足于
1
15 + , (0 ≤ ≤ 10)
2
f(t)＝൞
(元)．
1
25 − , (10 < ≤ 20)
2
典型例题
类型3 分段函数模型的应用
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表
10−6
代入得Y＝10lg −12
10
＝10lg 106＝60，即声强级为60分贝．
(2)当Y＝0时，即为10lg
10−12
＝0，所以
I＝10－12 W/m2，
则能听到的最低声强为10－12 W/m2.
10−12
＝1，
典型例题
−7
5×10
(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lg −12
所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元
或150元．
名师指导
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实
际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别
式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，
从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
跟踪训练
1．某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池
即 S＝
2
－10x
＋1 200x－15 000，30<x≤75.
跟踪训练
因为当0＜x≤30时，S＝900x－15 000为增函数，
所以x＝30时，Smax＝12 000；
当30＜x≤75时，S＝－10x2＋1 200x－15 000
高中数学新人教A版必修1第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例
由题意:v2-v1=1,
2
1
1
− log3 1 = 1.
2
100 2
100
1
log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q 1.
2
1
1
即 log3
∴
故鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的 9 倍.
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
回到实际,检验问题结果.
【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所
示,那么图象所对应的函数模型是(
)
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
答案:A
【做一做 2】 已知大气压强 p(单位:百帕)与海拔高度 h(单位:
反比例函数模型
f(x) = (k 为常数,k≠0)
一次函数模型
f(x)=kx+b(k,b 为常数,k≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=a·bx+c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,b≠1)
对数函数模型
f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,
M(单位:亿元)和 N(单位:亿元),它们与投资额 t(单位:亿元)的关系有
经验公式:M=
1
3
1
6
,N= . 今该公司将用3 亿元投资这两个项目,若
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
3.2.2 函数模型的应用举例
教学目标
1 能够写出函数解析式，确定函数模型； 2 能利用数据表格、函数图像讨论模型 3 注意限制条件，选出正确的函数模型
教学重难点
1用函数思想解决实际问题 2确定函数模型及利用表格，图象等讨论 函数模型
教学方法
自主求学式
问题
王老师今天从市中心到梅中上课，来的时候坐了 出租车。我们知道无锡出租车的价格，凡上车起步 价为8元，行程不超过3km者均按此价收费，行程超 过3km，按1.8元/km收费。 市中心到梅中的路程是 25公里，问王老师今天坐 车用了多少钱？ 市中心到梅中的路程是 x公里，问王老师今天坐车 会用多少钱？
例3.为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形 ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园 POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保 护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？ 并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m， AE＝60m，AF＝40m． 120≤x≤160 解析：设PR＝x m，
0
A
时间
0
B
时间
0
C
时间
0
D
时间
c对应的参考事件：我出发后感到时间较紧，所以加速前进，后来发现 时间还很充裕，于是放慢了速度。
例题讲解
例1
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元， 每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价/元 日均销售量/桶
6 480
7
440
小结：
1.解题四步骤：设、列、解、答. 2.解题过程：从问题出发，引进数学符号，建立函数 关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的 实际意义做出回答. 即建立数学模型，并推理演算求出数学模型的解， 再结合实际做出回答.
3.2.2函数模型的应用实例(Ⅰ)
§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）一、学习目标：1. 初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.2．体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.二、学习重点与难点：1．重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.2. 难点：将实际问题转变为数学模型.三、 教学设想（一）问题衔接1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____线，当________时，一次函数在 上为增函数，当_______时， 一次函数在 上为减函数2.二次函数的解析式为_______________, 其图像是一条________线，当______时，函数有最小值为___________，当______时，函数有最大值为____________。
（二）结合实例，探求新知例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：(72.3102 p )（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象探索：本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式老师提示：路程S 和自变量t 的取值范围（即函数的定义域），注意t 的实际意义.例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？引导学生探索过程如下：1）本例涉及到哪些数量关系？2）应如何选取变量，其取值范围又如何？3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？4）“所获得的利润最大”的数学含义如何理解？例3 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价（元） 6 7 8 9 10 11 12日均销售量（桶）480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？课堂练习1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？课堂练习2 要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.（三）归纳整理，发展思维.网归纳一般的应用题的求解方法步骤：1）合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为函数模型问题：2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系.抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.（四）布置作业习题3.2（A组）第3 、4题：作业：教材P107。
3.2.2函数模型应用实例1
h (t )
1
(t 3 5 0 ) 1 0 0
2
,所以当
t 300
8 7 .5
综上,由 1 0 0 8 7 .5 可知, h ( t ) 在 [0, 3 0 0 ] 上可以取得最大值 100,此时 t =50,即二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益 最大.
中学数学网（群英 学科）提供
3.2.2 函数模型的应用实例
第一课时
y kx b(k 0) 直 1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条 ____线，
当________时，一次函数在 ( ,) 上为增函数，当_______时， 一次函数在 (,) 上为减函数。
2
y ax bx c(a 0) 2.二次函数的解析式为_______________________,
v
90 80 70
60 50 40 30 20 10
1 2 3 4 5
解(1)阴影部分的面积为 50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360
阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km (2)根据图形可得：
S
第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型） 予以解答，求得结果。 第四步：再转译为具体问题作出解答。
实际问题
抽象概括
数学模型 推理 演算
实际问题 的解
还原说明
数学模型的 解
布置作业 1 . (必做)课本第107页 习题1,2
2.（选做）甲乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模（产量）进行调查， 提供了两个方面的信息，如下图：
r6≈0.0223, r7≈0.0276, r8≈0.0222, r9≈0.0184. 可得,1951-1959年期间我国人口的平均增长率分为 r ( r1 r2 r9 ) 9 0 .0-1959年期间我国的人口增长模型为 0.0221 t y 55196 e , t N.
3.2.2 函数模型的应用实例
m≠0
a≠0，n≠1
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[小试身手]
结束
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．
(√ )
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调
性．
(√ )
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2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费
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分段函数模型
[例2] 某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水 量不超过4吨时，每吨1.80元；当每户每月用水量超过4吨 时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已 知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨．
(1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙 两户该月的用水量和水费．
为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普
通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数
关系式为
()
A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)
B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)
C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)
的函数关系式，可得 0＝5log210，解得 Q ＝10，即燕子静止 时的耗氧量是 10 个单位． (2)将 Q ＝80 代入题中给出的函数关系式，得 v＝5log28100＝ 5log28＝15，即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的 飞行速度为 15 m/s.
人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)
3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。
课件5：3.2.2 函数模型的应用实例
图 3－2－8
【解】 OB 所在的直线方程为 y＝ 3x.当 x∈(0,1]时，由 x ＝t，求得 y＝ 3t，所以 f(t)＝ 23t2；
当 t∈(1,2]时，f(t)＝ 3－ 23(2－t)2； 当 t∈(2，＋∞)时，f(t)＝ 3，
23t2，t∈0，1]，
∴f(t)＝
3－ 232－t2，t∈1，2]，
3，t∈2，＋∞.
指数(对数)型函数建模问题
例 3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的 游速为 v(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q，研究中发现 v 与 log31Q00成正比，且当 Q＝900 时，v＝1.
24x－9.6 x>34.
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当 x∈0，45时，y≤f45<26.40； 当 x∈45，43时，y≤f43<26.40； 当 x∈43，＋∞时，令 24x－9.6＝26.40， 得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨)， 付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)． 乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)， 付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
【自主解答】 (1)设 y＝kx＋b(k≠0)， ∵x＝8 时，y＝400；x＝10 时，y＝320. ∴430200＝ ＝810k＋k＋b， b， 解之得kb＝＝－72400，， ∴y 关于 x 的函数关系式为 y＝－40x＋720(x>0)． (2)该班学生买饮料每年总费用为 51×120＝6 120(元)． 当 y＝380 时，380＝－40x＋720，得 x＝8.5， 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为 380×8.5＋ 228＝3 458(元)， 所以，饮用桶装纯净水的年总费用少．
3.2.2函数模型应用实例
60266
61456
62828
64563
65994
67207
y y0e
n (1)如果以各年人口增长平均值l作为我国这一时期的人口增长 率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 这一时期具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数 据是否相符;
解：设1951~1959年的人口增长率分别为 r1 ,r 2 ,......,r 9 . 由
y 其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数， r表示人口 的年平均增长率。
0
y y0e
n
表3是1950～1959年我国的人口数据资料：
年份
1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数／ 万人55196 Nhomakorabea56300
57482
58796
3.2.2 函数模型的应用实例
一辆汽车在某段路中的行驶速率与时间的关系 如图1所示，
（1）求图1中阴影部 分的面积，并说明所 求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的 里程表在汽车行行驶 这段路程前的读数为 2004km，试建立行 驶这段路程时汽车里 程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作 出相应的图象。
由图4可以看出,所 得模型与 1950~1959年的实 际人口数据基本吻 合.
（2）如果按表3的增长趋势，大约在哪一年我国 的人口达到13亿？
将y=130000代入 y 55196e0.0221t .t N.
由计算可得
t 38.76
所以,如果按表3的增长趋势,那么大约在1950 年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到 13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让 人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压 力.
学案3：3.2.2 函数模型的应用实例
3.2.2 函数模型的应用实例导入新知1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝ (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝ (k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝ (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ (a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(5)指数函数模型：f (x )＝ (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝ (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)． 2．建立函数模型解决问题的框图表示化解疑难求解函数应用题的程序常考题型题型一 二次函数模型例1 已知某种商品涨价x 成(1成＝10%)时，每天的销售量减少45x (其中x >0)成．(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？ (2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x 的取值范围． 类题通法利用二次函数模型解决问题的方法在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．活学活用1.如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM面积的最大值．题型二分段函数模型例2提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．类题通法构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 活学活用2.某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药为上午7：00，问：一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最佳？题型三 指数、对数型函数模型例3 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a . (1)求p %的值．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)该森林今后最多还能砍伐多少年？ 类题通法指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．活学活用3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问：至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知： lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)随堂即时演练1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x (1≤x ≤4，x ∈N *)之间关系的是( ) A ．y ＝100x B ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100x2．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t (时)的函数解析式是( ) A ．x ＝60t B ．x ＝150－50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－50t ，t >3.5D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.53．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机15年后的价格应降为________元．4.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付的电话费为________元；(2)通话5分钟，需付的电话费为________元；(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分)之间的函数关系式为________．5．在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销量价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每百件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？参考答案导入新知1．(1) kx(2) k x(3) kx＋b(4)ax2＋bx＋c(5) ab x ＋c (6)m log a x ＋n (7) ax n ＋b例1 解：设商品原价格为m ，每天的原销售量为n ，则每天的原营业额为m ·n ，涨价后每天的营业额为y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n . (1)y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x 10·n ＝⎣⎡⎦⎤－1125⎝⎛⎭⎫x －542＋8180·m ·n . 当x ＝54，即涨价125%时，每天的营业额最大．(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加， 则需m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n ＞m ·n ， 即2x 2－5x ＜0，变形得x (2x －5)<0. 又x >0，故0＜x ＜52.∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，52. 活学活用1. 解：(1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米． 又△EPQ ∽△EDF ， 所以EQ PQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米， 则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为x ＝10， 所以当x ∈[4,8]时，S (x )单调递增．所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米. 例2 解：(1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b (a ≠0)，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 活学活用2. 解：(1)依题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1＜t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4，解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3(t 3>10)小时，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量应为第二、第三次的和－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5，故第四次服药应在20：30.例3 解：(1)由题意得a (1－p %)10＝a2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12. (2)设经过m 年森林面积为22a ， 则a (1－p %)m＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12，m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年 ，n 年后森林面积为22a ·(1－p %)n . 令22a (1－p %)n ≥14a ， 即(1－p %)n ≥24， ⎝⎛⎭⎫12≥⎝⎛⎭⎫12，得n 10≤32，解得n ≤15， 故今后最多还能砍伐15年． 活学活用3.解：依题意，得2100·⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120. 则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，考虑到n ∈N ，即至少要过滤8次才能达到市场要求．随堂即时演练 1．【答案】C【解析】当x ＝4时，A 中，y ＝400；B 中，y ＝700；C 中，y ＝800；D 中，y ＝1004.故选C. 2．【答案】D【解析】显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数． 3．【答案】2 400【解析】y ＝a ·⎝⎛⎭⎫1－13，所以当x ＝15时，y ＝8 100×⎝⎛⎭⎫1－133＝8 100×827＝2 400(元)． 4. 【答案】(1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)【解析】(1)由题图可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元． (2)由题图可知，当t ＝5时，y ＝6，即需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于x 的图象是一条直线，且经过(3，3.6)和(5,6)两点， 故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，11010m1210n325x则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0.故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)． 5． 解：设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26，代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600，14≤P ≤20，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600，20<P ≤26， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元． 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．。
教学设计：3.2.2 函数模型的应用实例
§3.2.2函数模型的实际应用教学目标：知识与技能：将实际问题转化为函数模型．过程与方法：能够借助函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）解决实际问题，了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学过程例1某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.而每月所获利润=卖报收入的总价－付给报社的总价.卖报收入的总价包含三部分：①可卖出400份的20天里，收入为20·0.30x；②可卖出250份的10天里，收入为10·0.30·250；③10天里多进的报刊退回给报社的收入为10·0.05·(x－250).付给报社的总价为30·0.20x.解：设摊主每天从报社买进x份，显然当x∈［250，400］时，每月所获利润才能最大.于是每月所获利润y为y=20·0.30x+10·0.30·250+10·0.05·(x－250)－30·0.20x=0.5x+625，x∈［250，400］.因函数y在［250，400］上为增函数，故当x=400时，y有最大值825元.例2某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间(共4次)效果最佳？图3－2－1－15解：(1)依题意，得y =⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.101,32032,10,6t t t t (2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，则32-t 1+320=4，t 1=4.因而第二次服药应在11:00； 设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为两次服药量的和，即有32-t 2+32032-(t 2－4)+320=4，解得t 2=9小时，故第三次服药应在16:00； 设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次的和，32-(t 2－4)+32032-(t 2－9)+320=4，解得t 3=13.5小时，故第四次服药应在20:30.变式训练通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲座开始时，学生兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用f (x )表示学生接受概念的能力〔f (x )的值愈大，表示接受的能力愈强〕，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式： f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤<++-.3016.1073,1610.59,100.436.21.02x x x x x x(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解：(1)当0<x ≤10时，f (x )=－0.1x 2+2.6x +43=－0.1(x －13)2+59.9，由f (x )的图象，知当x =10时，［f (x )］max =f (10)=59；当10<x ≤16时，f (x )=59；当16<x ≤30时，f (x )=－3x +107，由f (x )的图象，知f (x )<－3×16+107=59.因此，开讲后10分钟，学生的接受能力最强，并能持续6分钟.(2)∵f (5)=－0.1×(5－13)2+59.9=53.5，f (20)=－3×20+107=47<53.5，∴开讲后5分钟时学生的接受能力比开讲后20分钟强.点评：解析式与图象的转换是函数应用的重点，关于分段函数问题更应重点训练. 拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式.②分段函数解析式的求法.③函数应用中的最大值、最小值问题.举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图3－2－1－18(1)、图3－2－1－18(2)、图3－2－1－18(3)所示.其中图3－2－1－18(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图3－2－1－18(3)的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系.图3－2－1－18(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )、国内市场的日销售量g (t )与第一批产品A 上市时间t 的关系式；(2)第一批产品A 上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元? 分析：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段.3.回忆函数最值的求法.解：(1)f (t )=⎩⎨⎧≤<+-≤≤,4030,2406,300,2t t t t g (t )=203-t 2+6t (0≤t ≤40).(2)每件A 产品销售利润h (t )=⎩⎨⎧≤≤≤≤.4020,60,200,3t t t . 该公司的日销售利润F(t )=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+-≤≤+-≤≤--,4030),240203(60,3020),8203(60,200),8203(3222t t t t t t t t t ， 当0≤t ≤20时，F(t )=3t (203-t 2+8t )，先判断其单调性. 设0≤t 1＜t 2≤20，则F(t 1)－F(t 2)=3t 1(203-t 12+8t 1)－3t 2(203-t 22+8t 2)=209-(t 1+t 2)(t 1－t 2)2. ∴F(t )在［0，20］上为增函数.∴F(t )max =F(20)=6 000<6 300.当20<t ≤30时，令60(203-t 2+8t )>6 300，则370<t <30; 当30<t ≤40时，F(t )=60(203-t 2+240)<60(203-×302+240)=6 300， 故在第24、25、26、27、28、29天日销售利润超过6 300万元.点评：1.利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点.2.在t ∈［0，40］上，有几个分界点，t =20，t =30两点把区间分为三段.3.二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一.课堂小结本节学习了:幂函数、指数函数、对数函数的应用.作业课本P 107习题3.2A 组3、4.。
高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案 新人教A版必修1
高中数学 3.2.2函数模型的应用实例教案新人教A版必修1课题：§3.2.2函数模型的应用实例（一）教材分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（A版）》的第三章的3.2.2函数模型的应用实例函数模型及其应用是中学重要内容之一，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数模型的应用实质是揭示了客观世界中量的相互依存有互有制约的关系，因而函数模型的应用举例有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。
本节课要求学生利用给定的函数模型或建立函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了几类不同增长的函数模型，学会了任何选择适当的函数模型分析和解决实际问题，对函数模型增长变化有了较深刻的认识。
这为建立函数模型解决实际问题提供了支持。
但学生对于从实际应用问题获取信息转化为数学问题的能力较薄弱，给建立函数模型带来了一定的难度。
因此在教学中应该给学我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度，并对给定的数学模型进行适当的分析和评价． 设计意图 教师介绍现实生活中函数应用的典型题型，提出研究内容与研究方法引出问题． 二、组织探究例1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．1） 求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；2） 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2019km ，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s 与时间t 的函数解析式，并作出相应的图象．012345102030405060708090v（km让学生主动参与，认真观察分析所给图象，独立思考后，讨论，教师可以作以下引导首先引导学生写出速度v关于时间t的函数解析式其次引导学生写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象再次探索：1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？设计意图学会将实际问题转化为数学问题．学会用函数模型（分段函数）刻画实际问题．培养学生的读图能力，让学生理解图象是函数对应关系的一种重要表现形式例2．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：其中t表示经过的时间，y表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）年份19501951195219531954人数551965630574825879660266年份19551956195719581959人数61456628286456365994672071）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？认真阅读题目，教师指出本例的题型是利用给定的数学模型（指数函数模型rt e yy）解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数y与r．学生独立思考后，教师作以下提问1）本例中所涉及的数量有哪些？2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？3）根据表中数据如何确定函数模型？4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？５）如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？学生根据教师引导，完成数学模型的确定，借助计算器，利用所确定的函数模型对我国的人口增长情况进行适当的预测教师在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度．设计意图通过本例让学生认识到表格也是函数对应关系的一种表现形式．培养学生得阅读能力，分析能力三、探索研究引导学生分析例题，进行总结归纳利用给定函数模型或建立确定函数解决实际问题的方法：1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；2）利用待定系数法，确定具体函数模型；3）对所确定的函数模型进行适当的评价；4）根据实际问题对模型进行适当的修正．设计意图渗透数学思想方法，培养学生读图、分析已知数据、概括、总结等诸多方面的能力。
§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)
2400
S=
50t+2004 0≤t＜1 80(t-1)+2054 1≤t＜2 90(t-2)+2134 2≤t＜3
75(t-3)+2224 3≤t＜4
70 60
2300
50
2200
40 30
2100
20 10
65(t-4)+2299
2013-8-14
4≤t＜5
2013-8-14
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
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§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)
总结解应用题的策略：
抽象概括
实际问题
数学模型
推理 演算
实际问题 的解
还原说明
数学模型 的解
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§3.2.2-1函数模型的应用实例(一)
解决应用题的一般程序是： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型； ③解模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为 实际问题的意义．
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( x 5) 5 x f ( x) ( x＞5) 25 3( x 5)
从中可以知道，函数与现实世界有着紧密的联 系，有着广泛应用的，那么我们能否通过更多的实 例来感受它们的应用呢？若能的话，那么如何在实 际问题中建立函数模型呢？
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思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在1950～1959 年期间的人口增长模型是什么？ 解：(3)令y0=55196，则我国在1950～1959年期间 的人口增长模型为：
高中数学3.2.2.1一次函数、二次函数、幂函数模型的应用举例
营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系
是
.
【解题指南】1.分析题意,明确各个量之间的关系,建立峰时段 用电量与总电量之间的关系式,弄清利润=(售价-进价)×件数,本题数学模型为一次 函数.
【自主解答】1.选D.①原来电费y1=0.52×200=104(元). ②设峰时段用电量为xkW·h,总电费为y, 则y=0.55x+(200-x)×0.35=0.2x+70, 由题意知0.2x+70≤(1-10%)y1,所以x≤118. 所以这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118kW·h.
3.2.2 函数模型的应用实例
第1课时 一次函数、二次函数、 幂函数模型的应用举例
类型 一 一次函数模型的应用实例
1.某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后,峰时段
(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h,谷时段(晚上九
点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月
【拓展延伸】解函数应用问题的基本步骤 第一步:阅读理解,审清题意. 读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,在此基础上, 分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题. 第二步:引进数学符号,建立数学模型. 一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量, 并用x,y和辅助变量表示各相关量,然后根据问题已知条件,运 用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式, 将实际问题转化为函数问题,即所谓建立数学模型.
件不变的条件下,每裁员一人,则留岗员工每人每年可多创收
0.01万,但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费,并且企
业正常运转所需人数不得少于现有员工的 3 ,设该企业裁员x
高一数学函数模型的应用实例1
3. 分段函数模型的应用 例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率 与时间的关系如图所示.
(1) 求图中阴影部分 v/(km·h－1) 的面积，并说明所 100
90
求面积的实际含义； 80
70 60 50 40 30 20 1010
O 1 2 3 4 5 t/h
3. 分段函数模型的应用
例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率 与时间的关系如图所示.
3.2.2函数模型的 应用实例
主讲老师：
复习引入
一次函数、二次函数的 解析式及图象与性质.
讲授新课
1. 一次函数模型的应用 例1 某列火车从北京西站开往石家庄， 全程277km.火车出发10min开出13km 后，以120km/h的速度匀速行驶.试写 出火车行驶的总路程s与匀速行驶的 时间t之间的关系，并求火车离开北京 2h内行驶的路程.
(2)
50t 2004,
函数解析式
s
9800((tt
s
9800((tt
1) 2054, 2) 2134,
v/(km·h－1)
100 90 80 70 60 50 40 30 20 1010
75(t 3) 2224, 65(t 4) 2299,
O 1 2 3 4 5 t/h
0 t 1, 1 t 2, 2 t 3, 3 t 4, 4 t 5.
(2)假设这辆汽车的里 v/(km·h－1)
程表在汽车行驶这段 100
路程前的读数为2004
90 80
km, 试建立行驶这段
70 60
路程时汽车里程表读 50
数skm与时间th的函
40 30
数解析式, 并作出相
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ai - ai- 1 ，所以可以得出 因为 ri = ai- 1
年份19511952195319541955195619571958 1959
ri
0.0210 0.0200
0.0250 0.0223 0.0222 0.0229 0.0197 0.0276 0.0184
于是， 年期间， 于是，1951~1959年期间，我国人口的年 年期间 平均增长率为： 平均增长率为：
函数模型的应用实例
例1：一辆汽车在某段路程中的行驶速 ： 并 度与时间的关系如图： 度与时间的关系如图： 说 明 90 y (Km/h) 所 90 80 求 75 80 65 面 70 积 60 50 的 50 实 40 际 30 含 20 义 10 (h) t 。 0 4 5 1 2 3
一 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 ，
r + r2 +… 9 r 1 r= ≈ 0.0221 9
根据马尔萨斯人口增长模型 y = y0e ， y0 = 55196，则我国在 则我国在1951~1959年期间的人 年期间的人 口增长模型为
rt
y = 55196e
0.0221 t
， ∈N t
从该图可以看出，所得模型与 从该图可以看出，所得模型与1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。 年的实际人口数据基本吻合。
( )
（2）假设这辆汽车的里程表在行驶这段 ） 路程前的读数为2004km，试建立汽车行 路程前的读数为 ， 驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时 与时 的函数解析式， 间 t h的函数解析式，并作出相应的图像。 的函数解析式 并作出相应的图像。
90 80 70 60 50 40 30 20 10
y
70000 65000 60000 55000 50000 0 6 8 t
2
4
（2）将y=130 000代入 ） 代入 由计算器可得
y = 55196e
0.0221 t
t≈38.76
所以，如果按表的增长趋势，那么大约 所以，如果按表的增长趋势， 在1950年后的第 年(1989)我国的人口 年后的第39年 我国的人口 年后的第 就已达到13亿 由此可以看到， 就已达到 亿。由此可以看到，如果不 实行计划生育，而是让人口自然增长， 实行计划生育，而是让人口自然增长， 今天我国将面临难以承受的人口压力。 今天我国将面临难以承受的人口压力。
y = y0e
rt
其中t表示经过的时间， 表示t=0时的人 其中 表示经过的时间， 0表示 时的人 表示经过的时间 y 口数， 表示人口的年平均增长率 表示人口的年平均增长率。 口数，r表示人口的年平均增长率。
下面是1950~1959年我国的人口数据资料： 年我国的人口数据资料： 下面是 年我国的人口数据资料
作 业
第120页 页 2，3题 ， 题
函数应用的基本过程 1、收集数据； 、收集数据； 2、作出散点图； 、作出散点图； 3、通过观察图象判断问题所适用的函数 、 模型； 模型； 4、用计算器或计算机的数据拟合功能得 、 出具体的函数解析式； 出具体的函数解析式； 5、用得到的函数模型解决相应的问题。Hale Waihona Puke 、用得到的函数模型解决相应的问题。
y
t
1 2 3 4 5
y
2400 2300 2200 2100 2000
x
1 2 3 4 5
例4：人口问题是当今世界各国普遍关注 ： 的问题。认识人口数量的变化规律， 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 为有效控制人口增长提供依据。早在 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型： 状态下的人口增长模型：
19501951 19521953195419551956195719581959
55196 56300 57482587966026661456628286456365994 67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 如果以各年人口增长率的平均值 一时期的人口增长率(精确到 精确到0.0001)，用马尔萨 一时期的人口增长率 精确到 ， 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型， 增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否 相符； 相符； (2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年 如果按表中数据的增长趋势， 如果按表中数据的增长趋势 我国的人口达到13亿 我国的人口达到 亿？
注
意
用已知的函数模型刻画实际的问题 时，由于实际问题的条件与得出已知 模型的条件会有所不同， 模型的条件会有所不同，因此往往需 要对模型进行修正。 要对模型进行修正。
小结： 小结：
注
意
1、注意培养制表，读表，读图，画图的能力。 、注意培养制表，读表，读图，画图的能力。 2、分段函数是刻画现实问题的重要模型。 、分段函数是刻画现实问题的重要模型。 3、用已知的函数模型刻画实际的问题的 、 重要模型。 重要模型。