3.2.2函数模型的应用实例1

注
意
用已知的函数模型刻画实际的问题 时，由于实际问题的条件与得出已知 模型的条件会有所不同， 模型的条件会有所不同，因此往往需 要对模型进行修正。 要对模型进行修正。
小结： 小结：
注
意
1、注意培养制表，读表，读图，画图的能力。 、注意培养制表，读表，读图，画图的能力。 2、分段函数是刻画现实问题的重要模型。 、分段函数是刻画现实问题的重要模型。 3、用已知的函数模型刻画实际的问题的 、 重要模型。 重要模型。
函数模型的应用实例
例1：一辆汽车在某段路程中的行驶速 ： 并 度与时间的关系如图： 度与时间的关系如图： 说 明 90 y (Km/h) 所 90 80 求 75 80 65 面 70 积 60 50 的 50 实 40 际 30 含 20 义 10 (h) t 。 0 4 5 1 2 3
一 求 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 ，
ai - ai- 1 ，所以可以得出 因为 ri = ai- 1
年份19511952195319541955195619571958 1959
ri
0.0210 0.0200
0.0250 0.0223 0.0222 0.0229 0.0197 0.0276 0.0184
于是， 年期间， 于是，1951~1959年期间，我国人口的年 年期间 平均增长率为： 平均增长率为：
( )
（2）假设这辆汽车的里程表在行驶这段 ） 路程前的读数为2004km，试建立汽车行 路程前的读数为 ， 驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时 与时 的函数解析式， 间 t h的函数解析式，并作出相应的图像。 的函数解析式 并作出相应的图像。
90 80 70 60 50 40 30 20 10
作 业
第120页 页 2，3题 ， 题
函数应用的基本过程 1、收集数据； 、收集数据； 2、作出散点图； 、作出散点图； 3、通过观察图象判断问题所适用的函数 、 模型； 模型； 4、用计算器或计算机的数据拟合功能得 、 出具体的函数解析式； 出具体的函数解析式； 5、用得到的函数模型解决相应的问题。 、用得到的函数模型解决相应的问题。
y
t
1 2 3 4 5
ywenku.baidu.com
2400 2300 2200 2100 2000
x
1 2 3 4 5
例4：人口问题是当今世界各国普遍关注 ： 的问题。认识人口数量的变化规律， 的问题。认识人口数量的变化规律，可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 为有效控制人口增长提供依据。早在 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型： 状态下的人口增长模型：
19501951 19521953195419551956195719581959
55196 56300 57482587966026661456628286456365994 67207
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 如果以各年人口增长率的平均值 一时期的人口增长率(精确到 精确到0.0001)，用马尔萨 一时期的人口增长率 精确到 ， 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型， 增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否 相符； 相符； (2)如果按表中数据的增长趋势，大约在哪一年 如果按表中数据的增长趋势， 如果按表中数据的增长趋势 我国的人口达到13亿 我国的人口达到 亿？
y = y0e
rt
其中t表示经过的时间， 表示t=0时的人 其中 表示经过的时间， 0表示 时的人 表示经过的时间 y 口数， 表示人口的年平均增长率 表示人口的年平均增长率。 口数，r表示人口的年平均增长率。
下面是1950~1959年我国的人口数据资料： 年我国的人口数据资料： 下面是 年我国的人口数据资料
r + r2 +… 9 r 1 r= ≈ 0.0221 9
根据马尔萨斯人口增长模型 y = y0e ， y0 = 55196，则我国在 则我国在1951~1959年期间的人 年期间的人 口增长模型为
rt
y = 55196e
0.0221 t
， ∈N t
从该图可以看出，所得模型与 从该图可以看出，所得模型与1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。 年的实际人口数据基本吻合。
y
70000 65000 60000 55000 50000 0 6 8 t
2
4
（2）将y=130 000代入 ） 代入 由计算器可得
y = 55196e
0.0221 t
t≈38.76
所以，如果按表的增长趋势，那么大约 所以，如果按表的增长趋势， 在1950年后的第 年(1989)我国的人口 年后的第39年 我国的人口 年后的第 就已达到13亿 由此可以看到， 就已达到 亿。由此可以看到，如果不 实行计划生育，而是让人口自然增长， 实行计划生育，而是让人口自然增长， 今天我国将面临难以承受的人口压力。 今天我国将面临难以承受的人口压力。