高二数学期望、方差人教版知识精讲

次次正
P(
329 2)
12 11 10
A32 A19 A132
9 220
9 92 3
E
0. 3
44 220 220
D
9 (
0.3)2 1
9 (
0.3) 2 2
1 (
0.3) 2 3
44
220
220
9 9 4 9 (0.3)2 44 220 220
90 9 3 5 1
220 100 1100
[ 例 5] （0— 1 分布）某射击手击中目标的概率为 P，它射击一次，击中目标的次数
4. 某次大奖赛共有 8 人参加，平均分成两组，第一轮赛后，每组的前两名参加下一轮比
赛（赛制规定没有并列的名次），如果要求你从两组中各猜
2 名能进入下一轮的选手，并
规定猜对 4 人奖励 8 分，猜对 3 人奖励 6 分，猜对 2 人奖励 4 分，猜对 1 人奖励 2 分，否
则不给分。试计算你获奖得分的期望。
的期
望、方差。
的分布列：
0
1
P
1P
P
∴ E P D P P2
[ 例 6] 求证：事件在一次试验中发生次数的方差不超过
1
。
4
D
P P2
(P 1) 2 1 1
2 44
[ 例 7] 某射击手击中目标的概率为 P，它射击 n 次，求击中目标的次数 的期望、方差（二
次分布）
0
1
…
k
…n
P
C
0 n
P
0
(1
P)n
5 )
45
2
2
。
P( 1)
P( 5) 1
∴ a 2a 45 45
5a 1 45
a 1a3
3
1
5
1 21
P(
) P( 1) P( 2)
2
2
15 15 5
[ 例 3] 随机变量 的分布列为
2
1
0
1
2
a
P
0.16
10
a2
a 5
0.3
求： E
0.16 a a 2 a 0.3 1
10
5
50a2 15a 27 0
C
1 n
P1
(1
P)n 1
Cnk P k (1 P)n k
E
1C
1 n
P
(1
P)n 1
k
C
k n
P
k
(1
P) n k
nC
0 n
1 P(1
P)n 1
nC
k n
11P k
(1
P)n k
nP[C
0 n
1 (1
P)n 1
C
k n
1 1
P
k
1 (1
P) n k
]
nP(1 P P)n 1 nP
D E 2 (E )2
4. 若 a b 则 E aE b D a2D
( xn E )2 Pn
……
E( 2 )
Pn (E )2
5. 典型分布： 0— 1 分布，二项分布，几何分布等
…… ……
【典型例题】
[ 例 1] 一接待中心，有 A 、 B、 C、 D 四部热线电话，已知某一时刻电话 A、 B 占线的概率
均为 0.5，电话 C、 D 占线的概率均为 0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该
(1 P)Sn P(1 P)
(n 1)P(1 P)n 1 nP(1 P)n
∴ PSn P P(1 P) P(1 P)2
P(1 P) n 1 nP(1 P) n
P[1 (1 P) n ] nP(1 P ) n P
∴ Sn
1 (1 P) n P
n(1 P ) n
E lim Sn 1
n
P
1P
D
P2
[ 例 9] 甲、乙两种水稻在相同条件下各种 100 亩
0.37 （六项）
P ( 3) 0.2（四项）
P( 4) P( A) P( B) P(C ) P(D ) 0.5 0.5 0.4 0.4 0.04
E 0 0.09 1 0.3 2 0.37 3 0.2 4 0.04 1.8
0.3 （四项）
[ 例 2] 随机变量 的分布列为 P（
k）
ak （ k
1 1， 2…… 5）则 P (
k
2
C
k n
P
k
(1
P)n k
nP[
kC
k n
11P k
1 (1
P)n k
n2 P 2 ] n2P2
令k
i1
n1
nP[ i
iC
0
i n
1Pi
(1
P)n i 1
n1
i
0
C
i n
1Pi (1
P) n i 1 ]
n2P2
n1
nP[(n
1)P
i
1
C
i n
1 2
Pi
1 (1
P) n i 1
(1
P
P)n 1]
n2 P2
∴ 选择乙种水稻
[ 例 10] 据统计一年中一个家庭万元以上财产被窃的概率为
0.005，保险公司开办一年期万
元以上家庭财产保险参加者交保费 100 元，若一年内万元以上财产被窃， 保险公司赔偿 a 元，
问 a 如何确定可使保险公司期望获益。
答案： 表示保险公司在每个参加保险人身上的收益
100
100 a
5.（理）现有四道数学试题，记为 A 、B 、 C、 D，和它们应的答案记为 a 、 b 、 c 、 d ，
把 A 、 B、 C、 D 和 a 、 b 、 c 、 d 分别写成左、右两列。现有一答题者，随机用
4 条线把
左、右全部连结起来，构成一个“一一对应”，连对一个得
2 分，连错一个得 0 分。
（ 1）求答题者得分的分布列；
3 a 或a
5
9
（舍）
10
∴ E 0.32 0.06 0.12 0.6 0.34
[ 例 4] 一盒中有 9 个正品和 3 个次品，每次取一测试，不放回在取出一个正品前已取出的 废品数为 ，求期望、方差。
0
1
2
3
P
9
3、9
3 、 2、 9
3、 2、 1
12 12 11 12 11 10 12 11 10
36
36
36
36
∴E
16 72 48 8 4 36 36 36 36
5. 得分的随机变量 的分布列
0
2
4
8
3
1
1
1
P
8
3
4
24
∴E
2
1
1
2
3
3
P
0.995
0.005
【模拟试题】 1. 已知 ~ B( n , P) ，若 E
12 ， D
4 ，求 n 、 P
1 2. ~ B( 6 , ) ，求 D （ 2 4 ）
2
3. 美国 NBA 篮球职业联赛总决赛，采用七局四胜制，预计两队实力相当，每场比赛组 织者可获利 200 万美元，问组织者在本次比赛中期望获利多少万美元。
（ 2）求所得分数的期望。
参考答案
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n P 12
1.
nP(1 P) 4
n 18 2
P 3
2. D
6 1 (1 1 ) 3 2 22
D a2D 6
3.
800
P
1
8
∴ E 1162.5 万
1000
1 4
1200
5 16
1400
5 16
4. 的分布列
0
2
4
6
8
P
1
8
18
8
1
36
甲
亩产
300
320
330
340
亩数
20
25
40
15
乙
亩产
310
320
330
340
亩数
30
20
40
10
在以上收获情况下，应选择种植哪种水稻 设甲亩产 ，乙亩产
300
320
330
340
P
0.2
0.25
0.4
0.15
310
320
330
340
P
0.3
0.2
0.4
0.1
E D 323 平均水平相同
D 173 D 101 乙更稳定
时刻有 部电话占线，试求随机变量
的概率分布和它的期望。
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
P( 0) P(A)P( B)P(C) P(D) 0.5 0.5 0.6 0.6 0.09
P( 1) P( A)P( B) P(C ) P( D) P( A)P( B) P(C) P(D )
P( 2) P(A) P( B) P(C) P(D)
nP[(n 1)P 1] n2 P2 nP(1 P)
[ 例 8]（ 几何分布） 某射击手击中目标的概率为 P，求从开始射击直到击中目标所需次数
的
期望、方差。
1
2
…
k
…
P
P (1 P) P
(1 P) k 1 P
E 1P 2(1 P) P
kP(1 P) k 1
令 Sn P 2P(1 P)
nP(1 P)n 1
高二数学期望、方差人教版
【 同步教育信息 】
一. 本周教学内容： 期望、方差
二. 重点、难点：
1. 分布列
x1
x2
……
xn
P
P1
P2
其中 x1、 x2 …… xn 表示 的所有可能性
P1P2 …… Pn 为所对应可能的概率
Pi 0
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P1 P2
1
2. 期望
E x1 P1 x2 P2
xn Pn
3. 方差
D ( x1 E ) 2 P1