对一道例题教学设计的反思

对一道例题教学设计的反思

《数学课程标准》指出：学生的数学学习活动不应该只限于接受记忆，模仿和练习。高中数学课程还应该倡导自主探究，动手实践，合作交流，阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”的过程。新课程理念也要求我们在日常教学中不应该是“结果”的教学，而应是“过程”的教学，数学活动的教学，即要把知识的形成，发展过程展现给学生。笔者针对《高中代数》上册（必修）中一例题的教学设计来体现这些理念，谈谈自己的体会。

例题如下：求方程x+lgx=3的近似解。书中的解答只有短短的三行：在同一坐标系中画出y=lgx和y=3-x的图像，求得交点的横坐标x2.6 ，这个x值近似地满足lgx=3-x，所以它就是原方程的近似解。

一、通过创设有效的情境，激发学生自主探究的欲望

新课程倡导自主、合作、探究等学习方式，而要将这些学习方式落实到课堂上，体现在教学中，有一个基本的前提条件，那就是要按照学科逻辑程序呈现的知识转化为学生待探究的问题或问题情境。没有问题或问题情境做前提，自主学习、合作学习、探究学习等也就无从谈起了。

而新课程的实施核心就是改进学生的学习方式，课堂教学总的要求是：创设问题情境→提供知识背景→展示思维过程→培养数学能力→提高数学素养。针对例题，教师设计：问题①先解方程x+2=0,；②求函数f(x)=x+2,g(x)=与x轴交点的横坐标；③不解方程，探讨方程有解吗？有几个解？学生解答后，师生总结：从函数观点来看，方程f(x)=0的

实根，实际上就是函数y=f(x)的零点，即函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标；而方程f(x)=g(x)的实根，就是两图像y=f(x)与y=g(x)交点的横坐标。从而将函数思想渗透到解题中去，使学生能够体会到，用函数思想可以解决一些非函数问题，而且往往方法新颖、思路独特、直观明了，大大简化解题过程。而利用图形直观解答问题③不正体现了数形相结合思想，“数”就是方程、函数、不等式等，“形”就是图形、图象、曲线等。所谓数形结合，就是抓住数与形之间的本质上的联系，以“形”直观地表“数”的本质，以“数”精确地研究“形”，将两者统一起来；数形结合的思想在数学中几乎无处不在。

教师接着设计问题④求方程x+lgx=3的近似解。学生由熟悉的一元一次方程，一元二次方程转入不熟悉，又没有公式可用的“超越方程”。通过创设“愤，悱”情境，使学生欲罢不能，产生本能的好奇心和求知欲，激发学生自主探究的欲望，从而进入课堂教学的重点。从数学学习的认知本质看，数学学习离不开情境，从数学课程及数学学习的特点看，情境化设计愈来愈显示出重要性和必要性。

二、重视教学设计中的“问”与“探”，由“疑”生“问”，培养学生主动提问题和解决问题的能力

美国数学家哈尔莫斯指出：定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的心脏。针对问题④学生经过思考后产生了疑问一：为什么要求方程的近似解？而不是精确值。疑问二：怎么求这个方程的近似解？经过学生之间和师生之间交流讨论，学生解决疑问一，考虑实际问题的需要，在生产、生活

中有时并不需要精确值。例如我们要锯出一块长木头，不管用什么样的工具都很能得到的精确值。

对于疑问二，由问题①②③铺垫启示，学生思考后得出下列四个方案：（1）考虑y=x+lgx-3与x轴的交点；（2）考虑y=x+lgx与y=3两图像的交点；（3）考虑y=lgx-3与y=-x两图像的交点；（4）考虑y= lgx和y=3-x两图像的交点。（教师）反问：哪个方案最简捷呢？学生接着讨论得出方案（4），即左右两边都是我们已熟悉的对数函数和一次函数，容易作出它们的图像。（学生）小结：求方程的近似解，选取图像也有学问，也有一个优化的问题。故有时要把原方程作适当的变形，使左、右两边的函数图像均容易作出。

教师用几何画板清晰演示y=lgx和y=3-x两图像，从而得出交点的横坐标x2.6，即方程的近似解。在教学过程中恰当运用几何画板，使得图像直观，便于正确建构知识，可以从多个维度来感受和体验知识的发生、形成过程，培养数形结合的能力，同时也充分激发学生的兴趣和热情，活跃思维，提高教学效率，从而增大教学的容量和直观性、准确性。

（教师）进一步拓展：如何解释原方程只有一个实数解？学生深思后认为对数曲线y=lgx穿过直线y=3-x，故只有一个交点；（教师）问：那么是否严密呢？个别学生发现在上y=lgx↗，而y=3-x↘来加以说明。

在此基础上教师把这个问题抽象概括成一个命题：若在定义域D上，f(x)↗,g(x)↘,则在D上，方程f(x)=g(x)不可能有多于一个的相异实数解。（师生）进一步探索发现这时f(x)-g(x)在D上↗，故把这个命

题进一步的概括与简化为：若在D上，y=保持严格单调，则在D上，方程=0不可能有多于一个的实数解。

教师设计问题⑤：能否证明方程有且只有一个实数根【提示：引入函数=】。学生充分交流后回答：因为，引入函数=，易知在R上↘，又因，所以x=2是原方程的唯一实数解。

数学解题的思维过程就是数学问题的变换过程，数学问题的推广引申和应用过程是新的数学问题发现和解决的过程，也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程。重视问题分析、解决、应用、推广是数学思维问题性的精髓。

师生总结和回顾教学过程，教师提炼题目所蕴含的数学思想(1)化归法：把待解或未解决的问题通过某种转化过程归结到一类已经能解决或者容易解决的问题中去，最终获得解原题的一种手段和方法。(2)数形结合法：即借助数的精确性阐明图形的某种属性，利用图形的直观性阐明数与数之间的关系，这是沟通数形之间的联系，并通过这种联系产生感知或认知，形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。数以形而直观，形以数而入微。“数”与“形”结合,相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，从而使几何问题代数化，代数问题几何化，数形结合在数学中占有非常重要的地位。

因此，在中学数学教学组织环节上，教师需要下的功夫在于“数学知识的问题化”：一方面，培养学生的数学问题意识，让学生感受现实生活中存在大量的数学信息，体验到用数学的视角提出问题的可能性；另一方面，教学过程不是纯粹的数学知识的学习和死记硬背，而是以问