力偶系

A rBA rA rB F d B rA
rB
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
2、力偶转动效应三要素
力偶矩大小
力偶矩矢长度 力偶 矩矢 三要素
力偶 转动 效应 三要素
转向
力偶矩矢指向
作用面方位
力偶矩矢法线
3、力偶的解析表示式 选取坐标轴Oxyz，力偶矩矢可表示为：
C
C
FC FA FB FC
M a b
2 2
FA
A
FB
B
例题 3-3 各构件不计自重，在构件BC上作用一力偶矩为 M的力偶。试求支座A的约束力。 解：1）以BC构件为研究对象，画出分离体及其受力图。 根据力偶平衡条件，列平衡方程 ：
M 0,
M FC l 0
M2
FD
D
例题 3-2 图示机构在图示位置处于平衡。 已知，a:b=c:a,不计杆重，求A，B两点的约束力。 解：1）画受力图，BC为二力杆。 2）列平衡方程： a b c
M
A
C B
M 0,
M FA a 2 b 2 0
FA M a 2 b2
M
FC FC
工程力学
•第三章 力偶系
第一章
力偶系
§3-1 力偶的概念和工程实例 §3-2 力对点之矩矢及其基本性质 §3-3 力偶系及其性质 §3-4 力偶系的合成与平衡
§3-1 力偶系概念及工程实例
一、工程实例
日常生活中经常遇到力偶， 比如：用手拧钥匙、汽车司机双
手转动驾驶盘等。 力偶的概念:作用于刚体上大小
( yFx zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力对点O的矩 MO (F ) 在三个坐标轴上的投影为:
M o ( F ) yFz zFy
x
M o ( F ) zFx xFz
因 F F
Mo (F , F ) (rA rB ) F M
（4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移
转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长
短，对刚体的作用效果不变。
r M
r F r d F (a)
r M r F dr F (b)
相等、方向相反且不共线的两 个力组成的力系称为力偶。
力偶作用面：由一对力 F 所组成的平面； 力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，
用 d 表示；
无法再简化的简单力系之一。
作用效应:
使刚体的转动状态发生改变。
度量转动作用效应的物理量。
单位为N· m或kN· m。 d F´
力偶系：作用于刚体上的一 群力偶。
y
M o ( F ) xFy yFz
z
（3）力对点之矩矢的基本性质 作用于刚体上的二力对刚体产生的绕任一点的转动 效应，可以用该点的一个矩矢来度量，这个矩矢就等于 二力分别对该点矩矢的矢量和，即：
M O M O ( F1 ) M O ( F2 )
Q qdx ql
0
l
再根据合力矩定理确定合力的作用线位置。 假设合力Q的作用线距离A点的距离为xC 。 Q
M A (Q) QxC
q
A x d x xC
B
l 1 2 M A ( F ) 0 qxdx 2 ql
l
M A (Q) M A ( F )
A
q B l
（4）合力矩定理 合力矩定理：合力对任一点之矩等于诸分力对 同一点之矩的矢量和。 即：
M O ( FR ) M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( FR ) M O ( F )
也就是说：力对点之矩服从矢量的合成法则。即在
一般情况下：
M O M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( F )
对于平面力系，则有：
M O M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( F )
对于平面力系，则有：
M O ( FR ) M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( FR ) M O ( F )
例题3-1：图示梁受到载荷集度为q的均布载荷的作用，求均 布载荷的合力及其作用线位置。 解：这是一个平面力系。 根据合力投影定理，则合力的大小为：
α FAB
FBA
B
M1
M2
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
FO
M1 O
M2
FD
D
解：1）画受力图，杆AB为二力杆。
2）分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
M 0,
M1 FAB r cos 0
A
α FAB
FO FBA
M1 O
B
M 2 2FBAr cos 0
FAB FBA M 2 2M1
r F rF sin Fh
M O (F )
M O (F ) r F
F
A
r
h O
②力对点之矩矢的解析表示式
r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k
则:
r
M O ( F ) r F ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k )
合力偶矩矢的大小和方向余弦可表示为：
M R ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
平面力偶合成所得的合力偶的力偶矩等于力偶 系各力偶力偶矩的代数和，即：
M R M1 M 2 M 2 M
2）力偶的性质
（1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 （2）力偶不能与一个力等效（即力偶无合力），本 身又不平衡，也不能与一个力平衡（力偶只能由力偶来 平衡）。是一个基本的力学量。
（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 变而改变。 力偶矩
M rBA F
Mo (F , F ) Mo (F ) Mo (F ) rA F rB F
2 ）以 ACD 构件为研究对 象，画出分离体受力图。 根据力偶平衡条件，列平 衡方程：
M M 0, FD l FC l 0 FD l M M A点约束力为: FAx , FAy 方向与图示一致。 l l
例题 3-4 图示使机构在图示位置处于平衡。 已知，OA=a，β=30o， M1，不计杆重，求M2。
F
§3-2 力对点之矩· 合力矩定理
1、平面中力对点之矩 力对点之矩（力矩）是为了描述 刚体运动中的转动效应。 力F对刚体产生的绕平面上O点 A
B F
h
的转动效应取决于：
转动效应的强度：Fh； 转动的方向：顺时针或逆时针。
O
定义: M O ( F ) Fh 为力对点之矩。
其中：
O 为参考系中的某一点，称为矩心。 h 为矩心至力F作用线的垂直距离，称为力臂。
i j k y z x
Fx Fy Fx
( yFx zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
M O ( F ) r F ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k )
FA FC
B
M1
A
M2
o
M1
B A
o
FA
A o1
FO1
β o1
M2
解：1）画受力图。 曲柄OA： 摆杆O1B：
F4 A F F3 r BA F1 F 3 S1 B F4 F1 M 1 M2
S2 F2 F F2 M 2 M1
M
两个力偶合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力 偶矩矢等于此二力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M 2
r M
F
(c)
r
r F
（5）只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一 与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
3、力偶的表示方法
M M M
§3.4力偶系的合成与平衡
1、力偶的合成
（F3，F3) （F4，F4）
F = F3 + F4 F = F3 + F4 M rAB F rAB （F3 F4 ） rAB F3 rAB F4 M1 M 2
M O ( F ) Fh 2OAB
规定：
F h F h
A
B F
h
O 即：力使刚体绕矩心逆时针转动时为正， 顺时针转动时为负。
平面中力对点之矩是一个代数量。
力矩在下列两种情况下等于零： （1）力的大小等于零； A
B F
h
（2）力的作用线通过矩心，
即力臂等于零。 力矩的单位常用N· m或 kN· m。
M = M xi +M y j +M z k
M x，M y，M z 是力偶矩矢在三个坐标轴上的投影。
4、平面力偶
M = Fd
规定：力偶使刚体在作用面内逆时针转动时为正，顺 时针转动时为负。
3、力偶的等效条件和性质 1）力偶的等效条件 两个力偶的等效条件是它们的力偶矩矢相等。 （两个力偶矩矢相等的力偶等效。）
O
2、力对点之矩矢 （1）力对点之矩矢的概念 在空间问题中，力对刚体产生的绕O点的转动效应 取决于三个要素： (1）大小:力F与力臂的乘积； (2) 方向:转动方向；
(3) 作用面：力矩作用面。
M O ( F ) ——力对点之矩矢，是一个过矩心O的定位矢量，
是力对刚体转动效应的度量。
（2）力对点之矩矢的矢量积表示式和解析表示式 ①力对点之矩矢的矢量积表示式
M 为合力偶矩矢。
推广： 力偶系合成的结果得到一个合力偶，合力偶的力 偶矩矢等于力偶系各力偶力偶矩矢的矢量和，即：
M R M1 M 2 M 2 M
有 M R

Mi
选取坐标轴Oxyz，则：
M Rx M x , M Ry M y , M Rz M z
2、力偶系的平衡条件 空间力偶系平衡的充分必要条件是:合力偶矩矢等于零， 力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零 。 2 2 2 M ( M ) ( M ) ( M ) M 0 x y z R 写出解析的形式，有：
M
x
0
M
y
0
M
z
0
即：力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和为 零，称为力偶系作用下刚体的平衡方程。 平面力偶系作用下刚体的平衡方程：
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
例题 3-1 图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD 上 分别作用着矩为 M 1和 M 2 的力偶，而使机构在图示位置处 于平衡。 已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不计杆重，试求 M 1 和 M 2间的关系。 B A A O α
1 2 qlxC ql ， 2 l xC 2
A 思考：这两个力系的合力及作 用线位置。
q2
q1 B
l
§3-3
1、力偶矩矢概念
力偶及其性质
平面有一对力偶 ( F , F ) ,将它们对O 点取矩。
根据力对点之矩，力偶对O 之矩为：
M
M M O ( F ) M O ( F ) F rA F rB F rA F rB ( F ) (rA rB ) F M rBA F