2012年全国高考湖南理科数学试题详细解析

8 l1 与函数 y =| log 2 x | 的图象从左至右 (m > 0) ， 2m + 1
相交于点 A, B ，l2 与函数 y =| log 2 x | 的图象从左至右相交于点 C , D ， 记线段 AC 和 BD 在
x 轴上的投影长度分别为 a, b .当 m 变化时，
A． 16 2 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出 y=m，y= 由 log 2 x = m，得 x1 = 2
x = t +1 x = a sin θ 9. 在直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C1 : （ t 为参数） 与曲线 C2 : （θ θ y 3cos = y = 1 − 2t
为参数， a > 0 ）有一个公共点在 x 轴上，则 a = 。
3 【答案】 2
【解析】曲线 C1 ：
【答案】 −4 【解析】输入 x = −1, n = 3, 执行过程如下：
i = 2 : S = −6 + 2 + 3 = − 3 ；
i = 1: S = −3(−1) + 1 + 1 = 5 ； i = 0 : S = 5(−1) + 0 + 1 = −4 ，
所以输出的是 −4 . 【点评】本题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将 执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错. 15．函数 f ( x ) = sin (ω x + ϕ ) 的导函数 y = f ' ( x ) 的部分图象如图 4 所示 ，其中， P 为图 象与 y 轴的交点， A ， C 为图象与 x 轴的两个交点， B 为图象 的最低点。 （1）若 ϕ =
C. [−1,1]
）
B. [− 3, 3]
D. [−
3 3 , ] 2 2
π
6
) = sin x −
3 1 π cos x + sin x = 3 sin( x − ) ， 2 2 6
π ∵ sin( x − ) ∈ [ −1,1] ，∴ f ( x) 值域为 − 3, 3 . 6
【点评】利用三角恒等变换把 f ( x) 化成 A sin(ω x + ϕ ) 的形式，利用 sin(ω x + ϕ ) ∈ [ −1,1] ， 求得 f ( x) 的值域. 7. 在 ∆ABC 中， AB = 2, AC = 3, AB ⋅ BC = 1 ,则 BC = （ A． 3 【答案】A 【解析】由下图知 AB ⋅ BC = AB BC cos(π − B ) = 2 × BC × (− cos B ) = 1 . B. ）

1 . 4
【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式（组）.
11. 如图 2，过点 P 的直线与 O 相交于 A，B 两点.若 PA = 1, AB = 2, PO = 3 ，则 O 的
半径等于 。
【答案】 6 【解析】解法一： 取 AB 的中点 C ，连结 OA, OB, OC ，由勾股定理得 OC = 故
ˆ = 0.85 x − 85.71 知 y 随 x 的增大而增大，所以 y 与 x 具有正的线 【解析】由回归方程为 y ˆ = bx + a = bx + y − bx (a = y − bx ) ， 性相关关系， 由最小二乘法建立的回归方程得过程知 y
所以回归直线过样本点的中心 ( x, y ) ，利用回归方程可以预测估计总体，所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是 找不正确的答案，易错. 5. 已知双曲线 C :
2 2 2
x2 y 2 =1 的半焦距为 c ，则 2c = 10, c = 5 . a 2 b2
b b x ，点 P(2,1) 在 C 的渐近线上，∴1 = × 2 ，即 a = 2b . a a
又 c = a + b ，∴ a = 2 5,b =
5 ，∴ C 的方程为
x2 y2 − = 1. 20 5
π
4
，则 tan α = 1 ”的逆否命题是（ B. 若 α =
）
π
4
， 则 tan α ≠ 1
π
4
，则 tan α ≠ 1
π
4
， 则 tan α = 1 ”
π
4
”.
【点评】本题考查了“若 p ，则 q ”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析 问题的能力. 3. 某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
y = log 2 x
C
D
y= 8 2m + 1
A
O
1
B
y=m
x
【点评】在同一坐标系中作出 y = m, y =
8 ( m > 0 ) ， y = log 2 x 图像，结合图像可解 2m + 1
得. 二填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题 卡中对应题号的横线上。 一、选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

1 4
1 −3, ( x < − 2 ) 1 【解析】令 f ( x ) = 2 x + 1 − 2 x − 1 ，则由 f ( x) = 4 x − 1, ( − ≤ x ≤ 1) 得 f ( x) > 0 的解集 2 3, ( x > 1)
为 x x >
1 6 ) 的二项展开式中的常数项为 x
.（用数字作答）
【答案】 −160 【解析】( 2 x -
1 6 1 r r 6−r r 6− r ) = C6 2 (−1) r x 3− r . ) 的展开式项公式是 Tr +1 = C6 (2 x ) (− x x
3 3 3
由题意知 3 − r = 0, r = 3 ，所以二项展开式中的常数项为 T4 = C6 2 (−1) = −160 . 【点评】 本题主要考察二项式定理， 写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14．如果执行如图 3 所示的程序框图，输入 x = −1, n = 3 ，则输出的数 S = 。
【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知，原图下 面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能 是该几何体的俯视图， Ｄ不可能是该几何体的俯视图， 因为它的正视图上面应为如图的矩形.
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4. 设某大学的女生体重 y （单位： kg ）与身高 x （单位： cm ）具有线性相关关系，根据 一组样本数据 ( xi , yi ) (i = 1, 2,
x = t + 1, 3 直角坐标方程为 y = 3 − 2 x ，与 x 轴交点为 ( , 0) ； 2 y = 1 − 2t
x = a sin θ , x2 y 2 曲线 C2 ： 直角坐标方程为 2 + = 1 ，其与 x 轴交点为 (−a, 0), (a, 0) ， a 9 y = 3cos θ
x2 y 2 − = 1 的焦距为 10 ，点 P(2,1) 在 C 的渐近线上，则 C 的方程为 a 2 b2
（ A．
）
x2 y 2 − =1 20 5
B.
x2 y2 − =1 5 20
C.
x2 y 2 − =1 80 20
D.
x2 y 2 − =1 20 80
【答案】A 【解析】设双曲线 C ： 又∵ C 的渐近线为 y = ±
7
C. 2 2
D. 23
∴ cos B =
AB 2 + BC 2 − AC 2 1 .又由余弦定理知 cos B = ，解得 BC = 3 . −2 BC 2 AB ⋅ BC
A
B
பைடு நூலகம்
C
【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合 思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意 AB, BC 的夹角为 ∠B 的外角. 8. 已知两条直线 l1 : y = m 和 l2 : y =
2012 年普通高等学校招生全国统一考试 湖南理科数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页，时量 120 分钟，满 分 150 分。 试卷总评： 试题难度较之以前变大，体现于解答题的难度相对于前两年有显著提高。着 重体现在 19 题的内容更换为数列的充分必要性的证明，考数列解答题可能很多人都有预测 到，但是靠充分必要性的证明可能预测到的少，另外函数应用问题较去年也有提高，着重了 函数、 不等式应用思想的考查应用。 而相对而言今年的选择题、 填空题的布局与前两年吻合， 注重对考生基础知识，基本技能的考查。内容变换，将原有的三角解答题去掉，对立体集合 问题不直接考查角度的计算，而考查几何体体积的计算。突出了重点内容的考查，如函数与 导数，圆锥曲线等。 一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求的。 1. 设集合 M = {−1, 0,1} ， N = {x | x ≤ x} ,则 M ∩ N = （
2
）
A． {0} 【答案】B
B. {0,1}
C. {−1,1}
D. {−1, 0,1}
【解析】 N = {0,1} ， M = {−1, 0,1} ， M ∩ N = {0,1} . 【点评】本题考查了集合的基本运算,先求出 N = {0,1} ,再利用交集定义得出 M ∩ N . 2. 命题“若 α = A．若 α ≠ 【答案】C 【解析】 因为 “若 p ， 则q” 的逆否命题为 “若 ¬p ， 则 ¬q ” ， 所以 “若 α = 的逆否命题是 “若 tan α ≠ 1 ，则 α ≠
由 a > 0 ，曲线 C1 与曲线 C2 有一个公共点在 X 轴上，知 a =
3 . 2
【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线 C1 与曲线 C2 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与 x 轴交点，即可求得. 10.不等式 2 x + 1 − 2 x − 1 > 0 的解集为_______. 【答案】 x x >
−m
b 的最小值为（ a
D. 4 3 4
）
B. 8 2
C. 8 3 4
8 (m＞0)， y = log 2 x 图像如下图， 2m + 1
8 − 8 2 m+1 ，得 x3 = 2 2 m +1 , x4 = 2 . 2m + 1
8
, x2 = 2m ， log 2 x =
依照题意得 a = 2
−m
, n) ，用最小二乘法建立的回归方程为 y = 0.85 x − 85.71 ，
则下列结论不正确的是（ ） A． y 与 x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心 ( x, y ) C. 若该大学某女生身高增加 1cm ，则其体重约增加 0.85kg D. 若该大学某女生身高为 170cm ，则可断定其体重必为 58.79kg 【答案】D
2
。
【答案】 10 【解析】 z = (3 + i ) = 9 + 6i + i = 8 + 6i ， z = 8 + 6 = 10 .
2
2
2
2
【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的 a + bi (a, b ∈ R) 形式，利用
z = a 2 + b 2 求得.
13.( 2 x -
−2
−
8 2 m +1
,b = 2 − 2
m
8 2 m+1
b , = a
2 −2
m
8 2 m+1
2− m − 2
−
8 2 m +1
= 2m 2
8 2 m+1
=2
m+
8 2 m +1
.
∵m +
b 8 1 4 1 1 1 = m+ + − ≥ 4 − = 3 ，∴ ( ) min = 8 2 . a 2m + 1 2 m+ 1 2 2 2 2
5 ，则 r 2 = 12 + ( 5) 2 = 6 ，
O 的半径等于 6 ．
解法二： 设 PO 交圆 O 于 C , D ，如图，设圆的半径为 r ，由割线定理知
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD,即1× (1 + 2) = (3 - r )(3 + r ),∴ r = 6.
【点评】本题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知 PA ⋅ PB = PC ⋅ PD , 从而求得圆的半径. 二、必做题（12~16 题） 12．已知复数 z = (3 + i ) （ i 为虚数单位） ，则 | z |=
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想 和基本运算能力，是近年来常考题型. 6. 函数 f ( x) = sin x − cos( x + A． [−2, 2] 【答案】B 【 解 析 】 f ( x) = sin x − cos( x +
π
6
) 的值域为（