公开课-正弦定理、余弦定理复习课
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第六节正弦定理和余弦定理课件新人教版
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c.
由③c＝ 3b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
应用正、余弦定理的解题技能
技能 边化
角
角化 边
和积 互化
解读
将表达式中的边利用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C化为角的关系
得cos A·(sin B＋sin C)＝0，在△ABC中，sin B＋sin C≠0，
则cos A＝0，所以△ABC为直角三角形．
判断三角形形状的常用技能 若已知条件中既有边又有角，则 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三 角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形 的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
＝
43 3
.由余弦定理DC2＋BC2－
2DC·BCcos∠DCB＝BD2，可得3BC2＋4
3 ·BC－5＝0，解得BC＝
3 3
或
BC＝－5 3 3(舍去)．故BC的长为
3 3.
求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”， 将已知条件和第(1)问中所求值转化为△BCD内的边角关系．解决 平面图形中的计算问题时，学会对条件进行分类与转化是非常重 要的，一般来说，尽可能将条件转化到三角形中，这样就可以根 据条件类型选用相应的定理求解．如该题中，把条件转化到 △BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长.
解析：选条件①. 由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝ 23. 由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b. 于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23， 由此可得b＝c. 由①ac＝ 3，解得a＝ 3，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
高中数学优质课《正弦定理和余弦定理复习课》公开课优秀教案
高中数学优质课《正弦定理和余弦定理复习课》公开课教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式．②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形． ③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解． ②将实际问题转化为解斜三角形． 教学过程 一、知识点回顾1、正弦定理CcB b A a sin sin sin ==2R = 变 形C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===sin sin sin ::::A B C a b c =面积公式：B ac C ab A bc S ABCsin 21sin 21sin 21===∆ 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=3、正、余弦定理的作用：解三角形（边角互化）二、随堂练习三、例题讲解例1、 (2012·广州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．四、巩固练习1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A.63 B.223 C ．－63 D ．－2232．(2011·课标全国卷)△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 例2、(2011·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .1．(教材改编题)已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2五、课堂小结 正弦定理和余弦定理公式及变形 六、课后作业课堂新坐标1-10七、板书设计正弦定理和余弦定理1、正余弦定理2、正余弦定理3、正、余弦定理的作用4、例题讲解2．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．13.在△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A2＝b ＋c2c ．试判定△ABC 的形状．4. (2012·河源质检)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →； (2)若c －b ＝1，求a 的值．。
余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
2
5
10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为
3 ， B ＝60°， a 2＋ c 2＝3 ac ，则 b ＝
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC ＝ ac sin B ＝
2 2
3
ac ＝
4
.
3 ，则 ac ＝4，所以 a 2＋ c 2＝3 ac ＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜b sinA
解的个数
无解
a＝b sinA
⑪ 一解
b sin A＜a＜b
⑫
两解
a≥b
⑬ 一解
a＞b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c .则：
1
(1) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高)；
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－2 AB ·BC ·cos B ，得 BC 2＋2 BC －15＝
4.6正弦定理和余弦定理课件高三数学一轮复习(1)
a sin
b
c
A＝s_i_n_B_＝_si_n_C_＝2R
b2＋c2－a2
cos A＝______2_b_c__；
常见
c2＋a2－b2
变形 cos B＝_____2_a_c___；
a2＋b2－c2 cos C＝______2_a_b___
(1)求角 A 的值；
解 若选①，由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btan A＝
(2c－b)tan B，
∴由正弦定理得
sin
sin B·cos
AA＝(2sin
C－sin
sin B)·cos
B B.
∵sin B≠0，∴sin Acos B＝2sin Ccos A－sin Bcos A， 即sin(A＋B)＝2sin Ccos A， 即sin C＝2sin Ccos A. ∵sin C≠0，∴cos A＝12. 又 0＜A＜π，∴A＝π3. 若选②，∵cos 2A＋2cos2A2＝1， 化简可得2cos2A＋cos A＝1， 解得 cos A＝21或－1，且 A∈(0，π)，∴A＝π3.
＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b
解的个数 __一__解__
__两__解__
a≥b __一__解__
a>b a≤b _一__解___ __无__解__
3.三角形常用面积公式 (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高). (2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径).
《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计
正弦定理和余弦定理复习课教学设计一、教学目标本次复习课的教学目标主要包括：1.复习正弦定理和余弦定理的概念与公式；2.掌握应用正弦定理和余弦定理解决相关问题的方法；3.加深学生对三角函数的理解和应用能力。
二、教学准备教学准备包括：1.教学课件：包括正弦定理和余弦定理的公式推导和相关例题；2.教学工具：黑板、彩色粉笔、计算器。
三、教学内容与步骤本次复习课采用讲授和练习相结合的教学方法，具体内容与步骤如下：1. 复习正弦定理•教师介绍正弦定理的概念和公式，并通过数学推导进行解释；•教师通过几个简单的几何图形，引导学生理解正弦定理的几何意义；•教师给出一些常见的例题，并让学生根据正弦定理计算未知边长或角度。
2. 复习余弦定理•教师介绍余弦定理的概念和公式，并通过数学推导进行解释；•教师通过几个简单的几何图形，引导学生理解余弦定理的几何意义；•教师给出一些常见的例题，并让学生根据余弦定理计算未知边长或角度。
3. 应用正弦定理和余弦定理解决相关问题•教师给出一些综合性的例题，要求学生运用正弦定理和余弦定理解决；•教师引导学生分析题目，确定解题思路，并进行详细解析；•学生在黑板上演示解题过程，并对整个过程进行讨论和总结。
四、教学总结与评价本次复习课通过对正弦定理和余弦定理的复习，加深了学生对这两个重要定理的理解和应用能力。
在分析和解决问题的过程中，学生逐渐形成了逻辑思维和数学推导的能力，提高了解决实际问题的能力。
通过本次复习课，看到了学生们对正弦定理和余弦定理有了更深入的理解，并且在解决问题时愈发独立和自信。
然而，仍然存在一些学生对推导过程理解不够深入的情况，需要进一步巩固。
为了进一步提高学生的学习效果和解决问题的能力，建议课后学生进行相关习题的练习和巩固。
同时，希望学生主动参与课堂讨论和提问，积极与教师互动，共同提高学习效果。
注意：文档中无法展示数学公式，故省略了实际的公式，但在教学中需要详细讲解和推导相关公式，以保证学生对正弦定理和余弦定理的理解和掌握。
正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
三角形面积问题的常见类型
（1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差
的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；
（2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已
知角求出角的两边之间的关系;
（3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公
式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形.
（1）求∠；
【解】由题意及余弦定理得,
= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × �� ×
−
= ，解得 = （负值已舍去）.
方法一：由正弦定理，得
∠
=
,即∠
∠
以 =
, = ，所以
△ = ∠ =
− =
−
×
=
− ,所以
+
,所以
= ，即 + − = ,又 = ,所
× ×
=
.
1.已知在△ 中，角,,的对边分别为,,， = , = , = ∘ ，
则此三角形的解的情况是(
)
A.有一解
B.有两解
C.无解
√
解析：选C.由正弦定理得
D.有解但解的个数不确定
=
,所以
所以不存在，即满足条件的三角形不存在.
=
2025届高考数学一轮复习讲义
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
②在△ABC中，若 sin A sin B cos A cos B
则此三角形是钝角三角形.
（
△ABC中，若 b 2 c 2 a 2 ， 则此三角形是锐角三角形.
典型例题讲解
例1.（教材第20页第14题改编）△ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,且
（II）tan A 2 tan B （II）边化角得：
3(sin A cos B sin B cos A) sin C
sin( A B)
整理得：
sin A cos B 2 cos A sin B
cos A 0 cos B 0
sin A sin B 2 cos A cos B
0
3 sin A sin C cos A sin C tan A 3 3
（II）若a=2,△ABC的面积为 3 ，求b,c.
1 （II）由 A 及面积公式 S bc sin A 得： 3 2 1 bc sin 3 bc 4 2 3 由余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bc cos A 有：
.
解：（I）边化角得：
sin A cosC 3 sin A sin C sin B sin C sin( A C ) sin C 整理得： 3 sin A sin C cos Asin C sin C sin C 0 3 sin A cos A 1 0 A 2 sin( A ) 1 A 6 6 6
例2.（2014·陕西卷改编） 已知a,b,c为△ABC的内角
A,B,C的对边,若a,b,c成等差数列，且 sin C 2 sin A
求cosB的值.
2b a c 3 b 2a c 2a 3 2 2 2 a (2a) ( a) 11 2 cos B 2 a 2a 16
）
则B等于 60
3 sin B 2
（ ）
②在△ABC中，若 A 60 , a 2 3, c 4， 则此三角形有两解.
sin C 1
（3）三角形形状的判断
①(教材第10页)在△ABC中， a cos A b cos B ， （
）
则此三角形是等腰三角形. sin A cos A sin B cos B
，
a (2)sin A＝ ， sin B＝ b ， 2R 2R 变形
b2＋c2－a2 cos A＝ ； 2bc
c2＋a2－b2 cos B＝ ； 2ac c sin C＝2R ； a2＋b2－c2 (3)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin . C cos C＝ 2ab
2.三角形的面积公式
正弦定理、余弦定理复习课
任后兵
1.正、余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
a b c 2R 2 b ＝ c2＋a2－2cacos B 内容 sin A sin B sin C
c2＝ a2＋b2－2abcos C
a2＝ b2＋c2－2bccos A
(1)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B c＝ 2Rsin C ；
S ABC 1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
3.常用结论
（1）符号：sin A 0, cos A, tan A与角A有关
（2）A B a b sin A sin B cos A cos B 2 2 2 2 2 2 b c a A (0, ); b c a A ( , ) （ 3）
解：
变式：在△ABC中，若 a,b,c成等比数列，且 3 cos( A C ) cos B ，求B. 2
2 解：由题意得： b
ac sin B sin A sin C
2
3 cos( A C ) cos( A C ) 2 3 2 sin A sin C 2 3 2 2 sin B B 2 3
2
b c 3
怎样解题
知己知彼，百战不殆 不入虎穴 ,焉得虎子
认真读题 执行解题计划 需要耐心 回顾小结
滴水穿石, 绳锯木断
螳螂捕蝉, 黄雀在后
4 b c 2bc cos
2 2
3 2 (b c) 2bc bc
b c 4
b 求得，
c2
已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,若 变式：
a cosC 3a sin C b c . （I）求A； （II）若 CA AB 1, a 3 ,求b+c.
）
4 2 sin A sin B 5 2
②在△ABC中，sin A : sin B : sin C 3 : 2 : 4
1 则最大内角的余弦值为 4
（
）
a :b : c 3: 2: 4
（2）三角形解的个数的判断
①在△ABC中，若 A 30 , a 1, b 3 ， （
3(a cos B b cos A) c
2 2 2 求证： （ I） 3(a b ) c （II）tan A 2 tan B
解：（I）角化边得：
2 2 2 a 2 c2 b2 b c a 3 a b c 2 ac 2 bc
例 4. 已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,若
（I）求A；（II）若a=2,△ABC的面积为 3 ，求b,c.
. 解：（I）边化角得：
3 a cosC a sin C b. 3
整理得： sin C
3 sin A cosC sin A sin C sin B 3 sin( A C )
B角大小 在中间！
例3.（教材第20页中线公式改编）
AB 4, AC 5, BC 6 ，D是BC上一点， 在△ABC中，
A
且BD=2DC，求AD. 法一：先在△ABC求cosB,
4
B
5 4
D
再在△ABD中求AD.
法二：利用 cos ADB cos ADC
2
C
AD 14
4
（II）若 CA AB 1, a 3 ,求b+c. （II）由 CA AB 1 有 CA AB cos( A) 1 ,即：
bc cos A 1 bc 2
由余弦定理有：
3 b c 2bc cos
2 2
3
(b c) 3bc
2
2 sin( A B) sin C, cos(A B) cosC, tan(A B) tanC （ 4）
A B C A B C sin( ) cos , cos( ) sin （ 5） 2 2 2 2
（1）三角形中边角判断
3 3 2 ①在△ABC中， ,则 B 或 （ cos A ， sin B 5 2 4 4