2020-2021学年湖北宜昌市一中高一上期中考试数学试卷
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【详解】
解：②的图象关于 轴对称，②应为偶函数，故排除选项 ，
①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除
故选： ．
【点睛】
本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数，属于基础题．
6．C
【解析】
若 ，即 ，解得 时，满足 成立，若 ，即 时，要使 成立，则 ，即 ，解得 ，此时 ，综上， ，故选C.
考点：判断两个函数为同一函数的标准，即函数的三要素：解析式、定义域、值域．
4．A
【解析】
试题分析：对A，函数 在 上为增函数，符合要求；
对B， 在 上为减函数，不符合题意；
对C， 为 上的减函数，不符合题意；
对D， 在 上为减函数，不符合题意.
故选A.
考点：函数的单调性，容易题.
5．B
【分析】
通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．
3．下列各组函数中表示同一函数的是
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
4．下列函数中,在区间 上为增函数的是
A． B．
C． D．
5．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
6．若集合 ， ，则能使 成立的所有 的集合是（）
7．C
【解析】
令 ，∵ ，则 ，∴函数 与 是同一个函数；
∴ 的值域为
故选C.
8．B
【分析】
根据对数运算解出 ，再由 得出答案.
【详解】
由题意，令 ，则有I1＝I0×107.
同理得I2＝I0×106，所以 ＝10.
故选：B
【点睛】ห้องสมุดไป่ตู้
本题主要考查了对数函数模型的应用，属于基础题.
9．D
【解析】
试题分析：由新定义可得， ，显然函数的定义域为 ，因此解析式可整理为 ．故选D．
17．本题满分10分）
（1）计算：
（2）已知 ，求 的值．
18．设集合 ， ， ；
（1）求 ， ；
（2）若 ，求由实数 为元素所构成的集合 ．
19．设函数 ，函数 ，且 ， 的图象过点 及 ．
（1）求 和 的表达式；
（2）求函数 的定义域和值域．
20．已知幂函数f(x)=(m-1)2 在区间(0，+∞)上单调递增，函数g(x)=2x-k.
（2）当 时，方程 有四个不相等的实根 ．
①证明： ；
②是否存在实数 ，使得函数 在区间 单调，且 的取值范围为 ，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【解析】试题分析：可知， 或 ，所以 ．故选A．
考点：交集的应用．
2．C
【分析】
根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域.
15．已知函数 是定义在区间 上的奇函数，则 ．
16．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ， 后物体的温度 可由公式 求得．把温度是 的物体，放在 的空气中冷却 后，物体的温度是 ，那么 的值约等于_________．（保留三位有效数字，参考数据： 取 ， 取 ）
三、解答题
【最新】湖北宜昌市一中高一上期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，若 ，则 的值为
A．4B．7C．9D．10
2．函数f(x)＝ ＋lg(1＋x)的定义域是（）
A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)
【详解】
因为f(x)＝ ＋lg(1＋x)，
所以需满足 ，
解得 且 ，
所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域，考查了对数函数的概念，属于容易题.
3．D
【解析】
试题分析：选项A、C中两个函数的解析式一样，定义域不同，故不是同一函数；选项B的两个函数解析式不同，定义域一样，所以也不是同一函数；只有答案D中的两个函数解析式和定义域均相同，故为同一函数，所以选D．
A． 没有最大元素, 有一个最小元素B． 没有最大元素, 也没有最小元素
C． 有一个最大元素, 有一个最小元素D． 有一个最大元素, 没有最小元素
二、填空题
13．设 都是非零实数，给出集合 ，则用列举法表示这个集合是__________________________．
14．函数 的单调递减区间为．
A． B． C． D．
7．定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为()
A．[2a，a＋b]B．[0，b－a]C．[a，b]D．[－a，a＋b]
8．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：
(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）
A． 倍B．10倍C． 倍D． 倍
9．定义两种运算: ， ，则函数 的解析式为
A．
B．
C．
D．
10．已知定义在 上的函数 为偶函数， ，则 的大小关系为
A． B．
C． D．
11．如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数 且 的图象经过点E，B，则a等于（）
A． B． C．2D．3
12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集 划分为两个非空的子集 与 ,且满足 ， ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素,则称 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割 ,下列选项中,不可能成立的是（）
（1）求实数m的值；
（2）当x∈(1，2]时，记ƒ(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围.
21．（本题满分12分）已知集合 ，
．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）当 取使得不等式 恒成立的 的最小值时，求 ．
22．已知定义在区间 上的函数 ，其中常数 ．
（1）若函数 分别在区间 上单调，试求 的取值范围；
解：②的图象关于 轴对称，②应为偶函数，故排除选项 ，
①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除
故选： ．
【点睛】
本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数，属于基础题．
6．C
【解析】
若 ，即 ，解得 时，满足 成立，若 ，即 时，要使 成立，则 ，即 ，解得 ，此时 ，综上， ，故选C.
考点：判断两个函数为同一函数的标准，即函数的三要素：解析式、定义域、值域．
4．A
【解析】
试题分析：对A，函数 在 上为增函数，符合要求；
对B， 在 上为减函数，不符合题意；
对C， 为 上的减函数，不符合题意；
对D， 在 上为减函数，不符合题意.
故选A.
考点：函数的单调性，容易题.
5．B
【分析】
通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．
3．下列各组函数中表示同一函数的是
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
4．下列函数中,在区间 上为增函数的是
A． B．
C． D．
5．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是
A．① ，② ，③ ，④
B．① ，② ，③ ，④
C．① ，② ，③ ，④
D．① ，② ，③ ，④
6．若集合 ， ，则能使 成立的所有 的集合是（）
7．C
【解析】
令 ，∵ ，则 ，∴函数 与 是同一个函数；
∴ 的值域为
故选C.
8．B
【分析】
根据对数运算解出 ，再由 得出答案.
【详解】
由题意，令 ，则有I1＝I0×107.
同理得I2＝I0×106，所以 ＝10.
故选：B
【点睛】ห้องสมุดไป่ตู้
本题主要考查了对数函数模型的应用，属于基础题.
9．D
【解析】
试题分析：由新定义可得， ，显然函数的定义域为 ，因此解析式可整理为 ．故选D．
17．本题满分10分）
（1）计算：
（2）已知 ，求 的值．
18．设集合 ， ， ；
（1）求 ， ；
（2）若 ，求由实数 为元素所构成的集合 ．
19．设函数 ，函数 ，且 ， 的图象过点 及 ．
（1）求 和 的表达式；
（2）求函数 的定义域和值域．
20．已知幂函数f(x)=(m-1)2 在区间(0，+∞)上单调递增，函数g(x)=2x-k.
（2）当 时，方程 有四个不相等的实根 ．
①证明： ；
②是否存在实数 ，使得函数 在区间 单调，且 的取值范围为 ，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【解析】试题分析：可知， 或 ，所以 ．故选A．
考点：交集的应用．
2．C
【分析】
根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域.
15．已知函数 是定义在区间 上的奇函数，则 ．
16．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ， 后物体的温度 可由公式 求得．把温度是 的物体，放在 的空气中冷却 后，物体的温度是 ，那么 的值约等于_________．（保留三位有效数字，参考数据： 取 ， 取 ）
三、解答题
【最新】湖北宜昌市一中高一上期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，若 ，则 的值为
A．4B．7C．9D．10
2．函数f(x)＝ ＋lg(1＋x)的定义域是（）
A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)
【详解】
因为f(x)＝ ＋lg(1＋x)，
所以需满足 ，
解得 且 ，
所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域，考查了对数函数的概念，属于容易题.
3．D
【解析】
试题分析：选项A、C中两个函数的解析式一样，定义域不同，故不是同一函数；选项B的两个函数解析式不同，定义域一样，所以也不是同一函数；只有答案D中的两个函数解析式和定义域均相同，故为同一函数，所以选D．
A． 没有最大元素, 有一个最小元素B． 没有最大元素, 也没有最小元素
C． 有一个最大元素, 有一个最小元素D． 有一个最大元素, 没有最小元素
二、填空题
13．设 都是非零实数，给出集合 ，则用列举法表示这个集合是__________________________．
14．函数 的单调递减区间为．
A． B． C． D．
7．定义域在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为()
A．[2a，a＋b]B．[0，b－a]C．[a，b]D．[－a，a＋b]
8．我们处在一个有声的世界里，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)．对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：
(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)．设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）
A． 倍B．10倍C． 倍D． 倍
9．定义两种运算: ， ，则函数 的解析式为
A．
B．
C．
D．
10．已知定义在 上的函数 为偶函数， ，则 的大小关系为
A． B．
C． D．
11．如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数 且 的图象经过点E，B，则a等于（）
A． B． C．2D．3
12．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集 划分为两个非空的子集 与 ,且满足 ， ， 中的每一个元素都小于 中的每一个元素,则称 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割 ,下列选项中,不可能成立的是（）
（1）求实数m的值；
（2）当x∈(1，2]时，记ƒ(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B=A，求实数k的取值范围.
21．（本题满分12分）已知集合 ，
．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）当 取使得不等式 恒成立的 的最小值时，求 ．
22．已知定义在区间 上的函数 ，其中常数 ．
（1）若函数 分别在区间 上单调，试求 的取值范围；