第六章纠错编码4线性分组码资料

所得结果为标量。
矢量空间相关定义和解释
线性组合： 对于域F上的若干矢量V1, V2 , Vi及Vk V,若满足 Vk a1V1 a2V2 a3V3 aiVi (ai F )，则称Vk是 V1, V2 , Vi的线性组合。 线性相关：
对于域F上的若干矢量V1, V2 , Vi V,若满足 a1V1 a2V2 aiVi 0 (ai F，且ai不全为零)，则 称矢量V1, V2 , Vi线性相关。
注意
任何子空间都包含零矢量，因为它是矢量加法单位元。 n维矢量空间的元素可用n重来表示，其维数和重数是 一致的；引入子空间概念后，维数指线性空间基底的 个数，重数指构成矢量的有序元素的个数，两者不同。 矢量空间与其子空间一定具有相同的重数，不同的维 数。维数 重数，当维数 重数，表明是子空间。
码字与矢量、矢量空间
为便于区分，码字Ci写作(ci0 , ci1, , ci(n1) )，将码字 的集合写作C，称为码集。码集C不一定能构成Vn的一个 子空间，线性分组码的码集C一定是Vn的一个子空间。
对于一般q进制(n, k)分组码，编码前有qk种信息组合， 属于q元域上k维k重矢量空间；编码后有qn种可能的码字 组合，属于q元域上n维n重矢量空间；通常qn qk
(x, y) -x (-1, 0) - y (0, -1)
例3-1 基底及其性质
由例3 -1可知： 基底并非是唯一的。 把矢量元素中包含一个"1"，而其余为"0"的那组 基底称为自然基底，如(1, 0)和(0,1)。 自然基底在保持正交的前提下任意缩放或旋转后 仍然是基底。如(1, 0) (1, 0) (0,1) (0, -1)。
信息编码理论
信道编码定理和方法
之 线性分组码
线性分组码
• 矢量空间与码空间 • 线性分组码编码 • 线性分组码伴随式与译码 • 码的纠检错能力与MDC码 • 完备码与汉明码 • 分组码的性能极限
矢量空间与码空间
分组码： 信息：I (i1,i2, ik ) - - - - k位信息 码字：C (c1,c2, cn ) - - - - n位码字
源自文库3-1 基底及其性质
例3 -1 直角坐标系中的任何点都可以用一个二维矢量 (x, y)来表示，其中x, y R(实数域)，则可以认为：
两维空间是由两个矢量(1, 0)和(0,1) 作为基底张成的，空间的任意一矢量 可由这两个基底线性组合而成。 (x, y) x (1, 0) y (0,1) 两维空间是由两个矢量(-1, 0)和(0, -1)作为基底张成的， 空间的任意一矢量可由这两个基底线性组合而成。
矢量空间运算法则
对于矢量Vi (vi0 , vi1, vi(n1) ), Vj (v j0 , v j1, 标量a F,有如下运算法则:
v j(n1) )及
矢量加：Vi Vj (vi0 v j0 , vi1 v j1, vi(n1) v j(n1) ) 标乘：a Vi (avi0 , avi1, avi(n1) ) 点积或内积：Vi Vj vi0 v j0 vi1 v j1 vi(n1) v j(n1) 以上三者，矢量加和标乘所得结果为矢量，而内积
分组码编码任务
分组码的任务： 在q n种可能的组合中选择其中q k 个构成一个k维 n重子空间作为码空间。 确定由k维k重矢量空间 映射到 n维n重矢量空间的 映射方法。
码字又可以看成一个n重矢量（n维线性空间中的 一个矢量）, n个码元正是n个矢量元素，这样可以从 矢量空间的角度来分析和理解分组码。
矢量空间定义
对于数 域（F, , ）上n重有序元素的集合V， V {Vi}，Vi (vi0 , vi1, vi(n1) ), vij F , j 0,1, 2, , n 1 若满足条件：
矢量空间相关定义和解释
矢量空间的基底：如果存在一组线性无关的矢量
V1, V2 , Vk，这些矢量的线性组合的集合可以构成一个 矢量空间，则称这组矢量为这个矢量空间的基底。n维
矢量空间应包含n个基底，即n个基底张成了n维矢量空间。
子空间：若矢量空间V的一个元素子集Vs也能构成一个
矢量空间，则称Vs为V的子空间。
集合V中矢量元素在矢量加运算下构成加群(V, )； 集合V中矢量元素与标量的标乘封闭在V中，即 a F和Vi V, a Vi V; 分配律、结合律成立，即 a,b F和Vi , Vj V a(Vi Vj ) aVi aVj , (a b)Vi aVi bVi , (ab)Vi a(bVi ) 则称集合V 是数域F上的n维矢量空间，也称n维线性 空间，n维矢量又称n重，因此码字也叫码矢。
矢量空间相关定义和解释
线性相关： 若a1 a2 ai 0时，a1V1 a2V2 aiVi 0 才成立，则称矢量V1, V2, Vi线性无关。 若线性相关，则可以通过移项将V1, V2, Vi中任一 矢量表示成其他矢量的线性组合。 若线性无关，则V1, V2, Vi这组矢量中的任何一个 都不能由其他矢量的线性组合生成。
码字与矢量、矢量空间
码字Ci是n个码元的有序排列，是n维n重矢量空间Vn 的元素之一，但是矢量空间Vn的元素不一定是码字。
例如：k位二进制信息有2k 种组合，如果将一个信息 组合对应成一个码字，那么总共有2k 个码字；而n重码 矢所在的n维n重矢量空间Vn应包含2n 种n重矢量，显然 还存在着 2n - 2k 种n重矢量不是码字。
矢量正交：若两个矢量的点积为零，即 Vi Vj 0，
则称Vi和V
正交。
j
矢量空间相关定义和解释
矢量空间正交： 若某矢量空间中的任意元素与另一个矢量空间中的 任意元素正交（Vi Vj =0），称这两个矢量空间正交。 若两个矢量空间的基底正交，这两个矢量空间一定正交。 对偶空间： 若n维矢量空间Vn中的两个子空间V1和V2正交，称 V1和V2为对偶空间，其中一个空间是另一个空间的零空间 （也称零化空间）。