实数竞赛题

实数竞赛题1

1、已知x=1/(2+√3)，y=1/(2-√3)，则x³+12xy+y³=______.

2、设a、b、c为互不相等的有理数，满足(b+√2)²=(a+√2)(c+√2)，则符合条件的a、b、c 共有_____组.

3、若3√a+5|b|=7，则s=2√a-3|b| 的取值范围是_____ .

4、设a=(√5-1)/2，则(a5+a4-2a3-a2-a+2)/(a3-a)=______.

5、已知a、b、c满足 |2a-4|+|b+2|+√[(a-3)b²]+a²+c²=2+2ac，试求a-b+c的值.

6、已知√(1-|x|)+√(2-2|y|) 有意义，若s=√(x²+2xy+y²)+√(x²+2x+1）+|2x-y-4|，试求s的最大值a和最小值b.

7、

1、已知x=1/(2+√3)，y=1/(2-√3)，则x³+12xy+y³=______.

解：x=1/(2+√3)=(2-√3)/[(2+√3)(2-√3)]=2-√3，

y=1/(2-√3)=(2+√3)/[(2-√3)(2+√3)]=2+√3，

所以x+y=4，xy=(2-√3)(2+√3)=4-3=1

所以x³+12xy+y³=(x+y)(x²-xy+y²)+12xy=(x+y)[(x+y)²-3xy]+12xy=4[4²-3]+12=64

2、设a、b、c为互不相等的有理数，满足(b+√2)²=(a+√2)(c+√2)，则符合条件的a、b、c 共有_____组.

解：由(b+√2)²=(a+√2)(c+√2)，得b²-ac=(a+c-2b)√2

因为a、b、c为有理数

所以b²-ac=0，且a+c-2b=0

即b²=ac，且a+c=2b

所以(a+c)²=4b²=4ac

所以(a+c)²-4ac=0，即(a-c)²=0，a=c

这与a、b、c为互不相等的有理数矛盾，所以符合条件的a、b、c共有0组.

3、若3√a+5|b|=7，则s=2√a-3|b| 的取值范围是_____ .

解：关于√a、|b| 的方程组

3√a+5|b|=7 (1)

2√a-3|b| =s (2)

（1）×3+（2）×5，得19√a=21+5s，√a=（21+5s）/19

（1）×2-（2）×3，得19|b|=14-3s，|b|=（14-3s）/19

因为√a≥0，|b|≥0

所以（21+5s）/19≥0，且（14-3s）/19≥0

解得s≥-21/5，且s≤14/3，即-21/5≤s≤14/3

4、设a=(√5-1)/2，则(a5+a4-2a3-a2-a+2)/(a3-a)=______.

解：由a=(√5-1)/2，得a2=(6-2√5)/4=(3-√5)/2

所以a2+a=(3-√5)/2+(√5-1)/2=1，a2=1-a

所以(a5+a4-2a3-a2-a+2)/(a3-a)

=[a3(a2+a)-2a3-(a2+a)+2]/(a·a2-a)

=[a3-2a3-1+2]/[a(1-a)-a]

=(1-a3)/(-a2)=-(1-a3)/(1-a)=-(1+a+a2)=-(1+1)=-2

5、已知a、b、c满足 |2a-4|+|b+2|+√[(a-3)b²]+a²+c²=2+2ac，试求a-b+c的值.解：（1）当b=0时，

原等式化为|2a-4|+(a-c)²=0

所以a=c=2，a-b+c=2-0+2=4；

（2）当b≠0时，有b²＞0，a≥3，故2a-4≥2，

所以原等式化为2a-4+|b+2|+√[(a-3)b²]+(a-c)²=2

即|b+2|+√[(a-3)b²]+(a-c)²=6-2a，故有6-2a≥0，a≤3

所以a=3

所以上等式化为|b+2|+(3-c)²=0，解得b=-2，c=3，所以a-b+c=23+2+3=8

所以a-b+c的值为4或8.

6、已知√(1-|x|)+√(2-2|y|) 有意义，若s=√(x²+2xy+y²)+√(x²+2x+1）+|2x-y-4|，试求s的最大值a和最小值b.

解：s=√(x²+2xy+y²)+√(x²+2x+1）+|2x-y-4|=|x+y|+|x+1|+|2x-y-4|

因为√(1-|x|)+√(2-2|y|) 有意义，则1-|x|≥0，2-2|y|≥0，即-1≤x≤1，-1≤y≤1

所以-2≤x+y≤2，0≤x+1≤2，-7≤2x-y-4≤-1

所以s=|x+y|+x+1-(2x-y-4)=|x+y|+5-x+y

当0≤x+y≤2时，s=x+y+5-x+y=2y+5，3≤s≤7；

当-2≤x+y≤0时，s=-x-y+5-x+y=5-2x，3≤s≤7；

所以s的最大值a=7，最小值b=3

7、首先确定x>0

1-1/x≥0

(x-1)/x≥0

x>0

所以x-1≥0

x≥1

x-1/x≥0

(x^2-1)/x≥0

x^2-1≥0

x≥1或x≤-1

综合，得：x的范围是x≥1

原式变化一下，为：

√[（x^2-1)/x]+√[（x-1)/x]=x

√[(x-1)(x+1)/x]+√[(x-1)/x]=x

√[（x-1)/x]*[√(x+1)+1]=x

√(x+1)+1=x*√x/√(x-1)

[√(x+1)+1][√(x+1)-1]/[√(x+1)-1]=x*√x/√（x-1）

x/[√(x+1)-1]=x/[√(x-1)/√x]