求未知参数的置信区间的一般方法

(9.50.98) (8.52, 10.48)
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 4/9
设 X1,X2,为,来Xn自总体
X 的~ N样(本,,2)
, 2 均未知 , ,求2 的 无的2 偏置估信(n计水12分平)S2别为~视为为21的(Xn“,置S 1等2,)信且价区符形间式. 运算”
t/2(n1n22)
t第/2七(n章1n参2数12估)计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 9/9
为了提高某化学产品得率,试采用新工艺.在对比试验
中,用老工艺进行了 次试8验,计算出得率的
x 91.73,
样本方差 s12 3;.又89用新工艺进行了 次试8 验,计算出得率的
分布密度f ( x已) 知,且
数P { f1 ,而/2 不 W 含(其,它ˆ,ˆ)f/2 } 不1 含任何未知参数
等价地 未知参数
/2
/2
P{}1
的 置信区间为 ( , )
f 1 /2 ( x )
f /2 (x) x
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 2/9
设 X1,X2,,Xn为总体 X ~ N(,2) 的样本 , , 2 均
故 的置信水平为 1ห้องสมุดไป่ตู้置信区间为
(X Snt/2(n1))
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 3/9
从甲地发送一个电讯号到乙地，设发送的讯号值
为 由, 于噪声干扰使得乙地接收的讯号值 X ~N(,2). 设
甲地发送讯号 5 次,乙地收到的讯号值为
8 .5 , 9 .5 , 1 0 , 9 , 1 0 .5
(XY)(12) ~t(n1n2 2)
P 故 ( X 改 1Y 为) 的 分t 2( 置n 位1 信形n 数(2 度式(1 2 X ) S 为上 2 Y 有)Sn 1 )~ 1 的1(改tnX n 11 1置2 /为2 (Y 信n n不1 1)21 区 等n t2 (间n 号2 1 为2 ( )X n 2 S Y 2 ) )n 1 S 1 t( n 改1 n 1 n 1 n 为2 12 分2 n ) 1 S 2 位数n 1 1 n 1 2
故 的2 置信水怎平样为直接1的写置出信置区信间区为间
仍用这个
改为分位数(n2/2(1n)(Sn221()n1,)S1)21(2n~/21(2)nS改21为) 不等区号间行否？
若 已知, /2的2 置信区间是什么
2 的置2 的信区MPL间E利为为(用n2/2S下(1n2)S述1221)1n/n分22(/Sin2nX(布121n()/)2X能,ni否~11(22nn求)NS22///222,(1(2出(且(0n)nn/,2S1)1))21n)2S的22置~1信2 (区n)间
试给出 的置信水平为 0 .的9 5区间估计.
由上例, 的置信水平为 0 .的9 5 置信区间为
(X Snt/2(n1))
由题给数据计算得
8.52~10.48
n 5 , 0 . 0 5 ,t /2 ( n 1 ) t 0 . 0 2 5 ( 4 ) 2 . 7 7 6 4 ˆ
故 的 0 .的9 5 置x 信9 区.5 ,间s2 为 1 4 (1 0 0 .2 5 0 .2 5 e 1 |) ˆ 0 |. 6 2 2 5 0.981.96
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 5/9
求未知参数 的置信区间的一般方法
设 是待估计的未知参数， 是其它的未知参数
求 的,较好的点估计 ˆ, ˆ
构造样本函数
一般运用抽样分布定理
WW(,ˆ,ˆ)~f(x)
对于给定的置信水平 ，1由 确定f 两( x)个分位
点 f1，W/2,使只f得/包2 含未知参
§5 正态总体均值与方差的区间估计 1/9
求未知参数 的置信区间的一般方法
设 是待估计的未知参数， 是其它的未知参数
求 的,较好的点估计 ˆ, ˆ
构造样本函数
一般运用抽样分布定理
WW(,ˆ,ˆ)~f(x)
对于给定的置信水平 ，1由 确定f 两( x)个分位
点 f1，W/2,使只f得/包2 含未知参
X的~N样(本1,,2)
Y1,Y2,,Yn2是来自总体 Y~N(的2,样2)本,两样本独立,
样本均值和样本方差分别为 X,Y,S1 2,S2 2.1,2,2 均未知,
求 1 2 的置信度为 1的 置信区间.
1, 2, 2 的无偏估计分别为
且
X
n11
n1
Xi,
i1
Y
n12
n2
Yj
j1
,
S
2
(n11)S12 (n2 1)S22 n1n2 2
分布密度f ( x已) 知,且
数P { f1 ,而/2 不 W 含(其,它ˆ,ˆ)f/2 } 不1 含任何未知参数
等价地 未知参数
/2
/2
P{}1
的 置信区间为 ( , )
f 1 /2 ( x )
f /2 (x) x
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 6/9
设 X1,X2,,Xn为总体 X ~ N(,2) 的样本 , , 2 均
未知.试求 的置信水平为 1的置信区间.
, 2 的无偏估计分别为 X , S 2 ,且
X ~ t(n 1)
S/ n
故对于给定的置信水平 1 查, 表可求得
t/使2(n得1)
等价地有
P|XS/n|
t/2(n1)1
P { X S n t/2 (n 1 ) X S n t/2 (n 1 )} 1
未知. 的置信水平为 的1置信区间
(X Snt/2(n1))
已2 知, 的置信水平为 的1置信区间
(X Snt/2(n1))
未知, 的2 置信水平为 1的置 信区间
(n1)S2
2/2(n1)
,
(n1)S2
12/2(n1)
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 7/9
设产品的某质量指标 X~N(1,12)
由于原材料的改变、或设备条件发生变化、或技术革
新等因素的影响，使得产品质量指标可能发生变化，此时
该产品的质量指标应为 Y~N(2,22)
为了了解产品质量指标有多大的变化，需要考虑
的统计推断问题
12, 12/22
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 8/9
设 X1,X2,是,X 来n1自总体