圆的参数方程及其应用

圆心为 ( a , b )，半径为 r 的 圆的参数方程。
参数θ—— 圆的动半径与过圆心平行 x 轴 正半轴的射线所成的角。
例2、已知点 P 是圆 x 2 + y 2 = 16 上的一个动 点，点 A 是 x 轴上的定点，坐标为 ( 12 , 0 )， 当点 P 在圆上运动时，线段 PA 的中点 M的轨迹
o
rx
1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
1、圆心在原点的圆的参数方程：
x 2 + y 2 = r2
y ( rcosθ, rsinθ)
圆心在原点
o
r x 半径为 r 的
圆的参数方程
2、圆心不在原点的圆的参数方程： ( x －a ) 2 + ( y －b ) 2 = r 2
例5、已知圆的方程是 x 2 + y 2－2ax + 2( a－2 )y + 2 = 0 ，其中 a ≠ 1 且 a ∈R
(1) 求证: a 取不为 1 的实数时，上述圆恒过定点 (2) 求圆心的轨迹方程
(1) x 2 + y 2－4y + 2 －2a( x －y ) = 0定点 ( 1 , 1 )
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解法2:设M坐标(x , y),圆x2+y2=16
y P
的参数方x =程4c为osθ y =4sinθ
O
∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)
M Ax
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =6+2cosθ y =2sinθ
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
x 1 cos
y
3
sin
(θ为参数)
练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是
x 5 cos
y
5
sin
(0≤ ＜2 )
⑴如果圆上点P所对应的参数 5 ，则点P的坐标是
3
2
如果圆上点Q所对应的坐标是
5 2
(2) 圆心为 ( a , 2－a )
∴ x + y －2 = 0
例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点， 求（1） x2+y2 的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
问题：已知 a 2 + b 2 = 1，求 a + b 的最值。 只能求最大值
y P M
点P的坐标为(2x-12,2y)
O
Ax
∵点P在圆x2+y2=16上
∴(2x-12)2+(2y)2=16
即 M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4
∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。
示例分析
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
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点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
,
5
3 2
,
则点Q对应
的参数 等于
2.选择题：参数方程
x y
2 cos 2 sin
(为参数)表示的曲线是 A
A.圆心在原点, 半径为2的圆
B.圆心不在原点, 但半径为2的圆
C.不是圆
D.以上都有可能
3 、 填 空 题:
(1
)
参
数
方
程yx
2
c
os
θ 表
2 sinθ
示
圆
心
为（2，-2）
是什么？ 解：设 M ( x , y )、P ( 4cosθ, 4sinθ),
A(12, 0)
∴ ( x －6 ) 2 + y 2 = 4
变式练习：
在本题已知条件下，若点 M 分 PA 成 定比 2 : 1，求点 M 的轨迹方程。
例1、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
32
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1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
1、圆心在原点的圆的参数方程：
半径为 1 的圆，化为标准方程为
( 2 ) 把圆方程 x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 化为参数方程为
示例分析
例2. 如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,
点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
解法1:设M的坐标为(x,y), 由中点坐标公式得:
变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几
何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。
（2） 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线 上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
已知曲线C的参数方程是
x
y
3t 2t
2
1
(1)判断点（0，1）,(5,4)是否在Ｃ上.
(2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求a.
1、曲线
x y
1t 4t
2
, 3
(t为参数）
的B交点坐标是(
与x轴 )
A、（1，4）；(12B65、, 0);
(1C, 、3);
(D、1265 , 0);
2、方程{ x sin (为参数)表示的曲线上
y cos2
的一个点的坐标是
C(
)
A、(2,7)B、(1 , 1)，C、(1 , 1), D(1,0)
x 2 + y 2 = r2
y ( rcosθ, rsinθ)
o
rx
1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
o
rx
1、圆心在原点的圆的参数方程： x 2 + y 2 = r2 y
问题：若 x 2 + y 2 = r 2，x、y 如何三角换元？
练习题：已知点P（x，y）是圆x2+y2 -6x -4y+12=0上动 点，求（1） x2+y2 的最值；
（2）x+y的最值；
（3）P到直线x+y -1=0的距离d 的最值。
解：圆x2+y2- 6x -4y+12=0即（x - 3）2+（y - 2）2=1，
一.曲线的参数方程
1、参数方程的概念
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
x 、y都是某个变数t的函数，即 x f (t)
y
g(t)
并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点 M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这 条曲线的参数方程 ，联系x、y之间关系的变数叫做参