第二节微积分基本公式

? 推论1.
设F(x) ?
? (x)
f (t)dt,
则F ?(x) ? f [? (x)]? ?(x)
a
? 推论2.
设F (x) ?
? (x)
f (t)dt,
则F?(x) ?
? (x)
f [? (x)]? ?(x) ? f [? (x)]? ?(x)
? ? 推论3.
设F(x) ?
? (x)
f (t)g(x)dt,
(1)F ?( x) ?
1
( x 3 )??
1
( x2 )?? 3 x2 ? 2 x
1? (x3)4
1 ? (x2 )4
1 ? x12
1? x8
(2)F?(x) ? cos(cosx)2(?sinx)? cos(sinx)2(cosx)
? ? sinxcos(coxs)2 ? cosxcos(sinx)2
b a
f
(t )dt
?
F (b) ?
F (a)
?
F (x) |ba
此定理表明:在某区间[a,b上] ,连续函数f(x)的定积分等于它的
任意一个原函数在该区间的增量△F=F(b)-F(a).这样我们将求
定积分的问题化为求原函数或计算不定积分,这是计算定积分
的主要方法.
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我们称为微积分的基本公式.
具体的做法是把路程函数s(t)在[t0,T]之间分成n小
段,在每一小段中用v(τi)△t表示,它们的和就是整 个路程.当△t→0时的极限得到变速运动的路程
另一方面,这段路程又可以通过路程函数s(t)在区间
[t0,T]上的增量S(T)-S(t0)来计算,S = S(T) - S(t0)
于是
?T
v(t)dt
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案教子电学数等高
所以
x
? f (t)dt a
在区间[a,b上] 定义一个函数
x
? (x) ? ?a f (t)dt (a ? x ? b)
这个函数是积分上限x的函数,称为变上限积分的函数.
定理1 设函数f(x)在区间[a,b上] 连续,则变上限积分的 函数在[a,b上] 可微,且它的导数
例3 求极限
lim ?? x? 0
x2 sin t 2dt
0
0
( arctgt
)5
dt
x
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当x →0时,为0/0型.用罗必塔法则
案教子电学数等高
lim
x? 0
?x2 sin
Байду номын сангаас
t 2 dt
0
?0 ( arctgt
) 5 dt
x
?
lim
x? 0
?
d dx
x2
?0
sin
t 2 dt
d dx
定理2 如果函数f(x)在区间[a,b上] 连续,则函数
? ? (x) ? a f (t)dt
x
就是f(x)在[a,b上] 的一个原函数
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这定理的重要意义是:一肯定了连续函数的原函 数是存在的.二.它初步揭开定积分和原函数之间 的联系,我们可以用原函数来计算定积分
案教子电学数等高
这里我们补充定理1的3个推理
x
?0
(
arctgt
) 5 dt
sin x 4 ( x 2 ) ?
x42x
? ? lim x ? 0 ( arctgx
)5
? ? lim x? 0
x5
? ?2
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其中,当x→0时,sinx →x,arctgx →x 三 微积分基本公式--牛顿-莱布尼茨公式 Newton-Leibniz 设F(x)是连续函数f(x)在区间
案教子电学数等高
第二节 微积分基本公式
前面我们已经研究了定积分的定义,利用定义求定 积分很不方便 本讲介绍计前算定积分的方法。
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一, 引例
考察变速运动中路程函数s(t)与其导数--速度函
数v(t)之间的关系物体在时间区间[t0,T]经过的路
程,可以用
?T
S ? v(t)dt
表示
t0
案教子电学数等高
? ? ?( x) ? d
x
f (t )dt ? f ( x), (3)
dx a
变上限积分的函数是被积函数的一个原函数
x
? f (t)dt a
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案教子电学数等高
这个定理指出一个重要结论:连续函数f(x)取变上 限x的定积分然后求导,其结果还原为f(x)本身.由 原函数的定义,我们知道φ(x)是连续函数f(x)的一 个原函数.因此,这里引出定理2
案教子电学数等高
例4
? ? 1 xdx
0
?
1 2
x2
|10 ?
1, 2
1 x 2 dx ?
0
1 3
x3
|10
?
1 3,
?1 x 3 dx 0
?
1 4
x4
|10
?
1 4
?
?
? 例5
二 积分上限的函数及其导数
设函数f(x)在区间[a,b上] 连续,且x∈[a,b]则, f(x)在部分 区间[a,x上] 也连续,从而可积,定积分的字母无关)
? ? x
x
f (x)dx ? f (t)dt(2)
(定积分同它自变量)
a
a
存在,当x在区间[a,b内] 变动时,则每一个x值对应
?x f (t)dt 的一个值 a
[a,b上] 的一个原函数,则
案教子电学数等高
?b a
f
( x )dx
?F (b) ?
F (a)
?
F (x) |ba
(4)
证明: 根据定理1我们得到
x
x
F(x) ? ?a f (t)dt ? C, x ? a ? C ? F (a)? ?a f (t)dt ? F (x) ? F (a)
? x ? b ?
a
F ?(x) ?
[g ( x)
? (x)
a
f
(t)dt ]?|x
? 则F ?(x) ? g?(x) ? (x) f (t)dt ? g (x) f [? (x)]? ?(x) a
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? ? 例1
求下列导数 (1)F(x) ?
x3 x2
dt 1? t4
(2)F (x) ? cos x cos t 2dt sin x
t0
?
S(T ) ?
S(t0 )
?
S
(t
)
|T
t0
(1)
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而S' (t)=v(t),(1)式表明:速度函数在区间[t0,T]上的定积 分等于它的原函数S(t)在[t0,T]上的增量△S=S(T)-S(t 0)
? 我们在(1)式中得到
b a
f
( x) dx
? F (x) |ba ?
F (b) ?
F (a)
(1)式把定积分和被积函数的原函数相互联系起来,如果是 这样,那我们求定积分可以借助不定积分求出来.问题就显 然得到解决.这个方法由牛顿和莱布尼茨 两人独立完成的, 我们称为牛顿-莱布尼茨公式(它的证明在第3部分中.)
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案教子电学数等高
为了更好的研究牛顿-莱布尼茨公式,我们引入 “积分上限的函数”这个概念