柯西不等式的应用技巧

柯西不等式的应用技巧及练习

柯西不等式的一般形式是：设a 1,a 2L a n ,bi,b 2L b R ，则

其结构对称，

用极大.应用时往往需要适当的变形：添、拆、分解、组合、配凑、变量代换等, 方法灵活，技巧性强. 一、巧配数组

观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式的积，其中每 一个因式都是项的平方和，右边是左边中对立的两项乘积之和的平方，因此，构 造两组数：a i ,a 2L a n 和bRzL b ，便是应用柯西不等式的一个主要技巧. 例 1 已知 x,y,z R 且x 2y 2z 5,求(x 5f (y i f (z

二、巧拆常数

运用柯西不等式的关键是找出相应的两组数, 常常需要变形，拆项就是一个变形技巧. 例3 设a 、 2

求证：

a b

三、巧添项

根据柯西不等式的特点，适当添补（或加或乘）上常数项或和为常数的项等，也 是运用柯西不等式的解题技巧.

例4 a,b,c R 求证：-^

b c c a a b

四、巧变结构 有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件， 认清其内在的结构特征，

就可达到运用柯西不等式的目的.

b 为非负数，a +b=1，x i ,X 2 R

求证: (ax i bx 2)(bx i

ax 2) X 1X 2

(a i 2

2

a 2

a n

2

)(bi 2 b 22 L b n 2) (aQ a 2b 2 L aQ)2

当且仅当 a i b i

a 2

b 2

a

—或bl b 2 L b n 0时等号成立. b n

形式优美，应用极为广泛，特别在证明不等式和求函数的最值中作

3）2的最小值.

例2 设x,y, z R ，求证：迈

2

2

2x y z_ ~~2 z

722 2

当这两组数不太容易找到时, b 、 c 为正数且各不相等,

2 2 9

b c c a a b c

形式结构,

例6 a 、 但是只要我们改变一下式子的

例7 设a 1

a 2

a n

a n 1,

求证:

1

例5.若a>b>c ，求证： -----

a b

练习题

t X 2 y 2 2z 2.

（1）求t 的最小值；

⑵当t 1

时’求z

的取值范围

2 （2010年浙江省第二次五校联考）已知a,b,c R , a b c

2

(1)求a 1 4b 2 9c 2的最小值;

a ^/bc

b V a

c e V ab 的最大值.

1

4 （浙江省镇海中学高考模拟试题）已知X, y, z 是正数，且-

x

求右1

一 一勒—的最小值;

X X 2y y

1 1 a 1 a

2 a 2 a 3

a n 1 a n 1

a n 1 a 1

1. （2009年浙江省高考自选模块数学试题

）已知实数x, y, z 满足x y 2z 1,设

1。

⑵求证：/屈T b 屈

1 3/3 T c V a 2

3 （2010年杭二中高三年级第三次月考 ）已知正数a,b,c 满足: ab be ca 1，求

1,

5 （金华十校2009年高考模拟考试）若a,b,c R

求证： ___________ b

_____ 1

b 2

c c 2a a 2b

7（浙江省镇海中学高考模拟试题

求丄丄丄值. x y y z z x

1

⑵证明：对任意的x 0,a n ---------------

1 x

6 （2010年宁波市高三模拟测试卷 ）已知a,b,c 为正实数，且a

证明：(a c)2 (b a)2 (c b)2

a b c

4(a

c ）2，并求等号成立时 a,b, c 的值.

若0 x,y,z 1,且 xy yz zx 1 , 求证:

y

2 J 3x

8（2010年金华十校高考模拟考试）设正数x ，y ，

z 满足3x 4y 5z 1

9 （2008年陕西高考理科数学压轴题 ）已知数列a n 的首项

a 1

a

n1

»

，n 1,2,

.(1)求 an

的通项公式;

3 x ,n 1,2,

1 x 3

已知实数a,b,c,d 满足a b c d 3, a 2 2b 2 3c 2 6d 2

5试求a 的最值.

的取值范围.

15 设P 是 ABC 内的一点，x,y,z 是p 到三边a,b,c 的距离,

的半径，证明：攸j y V z y 1——V a 2—b 2—c 2

16 求证三角形三边上正方形面积之和不小于该三角形面积的 a 2 b 2 c 2 4忌，其中a,b,c 为三角形三边长，S 为三角形的面积.

10 11 求函数y 4仄"2 y/9~3x 的最大值.

12 求函数y a si nx bcosx 的极值，其中a,b 是常数.

已知a, b,c, R 为常数，当x 2

13 最大值与最小值.

2 2 2

y z R 时，求函数 f x,y,z ax by cz 的

14已知对于满足等式x 2 3y 2

3的任意数，对 X, y 恒有ax y 2，求实数a

R 是ABC 外接圆