大学物理答案

第一章 质点运动学

1–18 有一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为32254t t .x -=（SI ）。试求：（1）第2s 内的平均速度；（2）第2s 末的瞬时速度；（3）第2s 内的路程。

解：（1）将t =1s 代入32254t t .x -=得第1s 末的位置为

m 5.225.41=-=x

将t =2s 代入32254t t .x -=得第2s 末的位置为

m 0.22225.4322=⨯-⨯=x

则第2s 内质点的位移为

0.5m 2.5m -m 0.212-==-=∆x x x

第2s 内的平均速度

-0.5m/s 1

0.5

=-=∆∆=

t x v 式中负号表示平均速的方向沿x 轴负方向。

（2）质点在任意时刻的速度为

269d d t t t

x

-==

v 将s 2=t 代入上式得第2s 末的瞬时速度为

m/s 626292-=⨯-⨯=v

式中负号表示瞬时速度的方向沿x 轴负方向。

（3）由069d d 2=-==

t t t

x

v 得质点停止运动的时刻为s 5.1=t 。

由此计算得第1s 末到1.5s 末的时间内质点走过的路程为

m 875.05.25.125.15.4321=-⨯-⨯=s

第1.5s 末到第2s 末的时间内质点走过的路程为

m 375.10.25.125.15.4322=-⨯-⨯=s

则第2s 内的质点走过的路程为

m 25.2375.1875.021=+=+=s s s

1–20 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2d d v v

K t

-=，式中K 为常量。试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为

Kx -=e 0v v

其中0v 是发动机关闭时的速度。

证明：由

2d d v v

K t

-=得 2d d d d d d v v

v v K x

t x x -== 即

x K d d -=v

v

上式积分为

⎰⎰-=x

x K 0

d d 0

v v v

v

得

Kx -=e 0v v

1–21 一质点沿圆周运动，其切向加速度与法向加速度的大小恒保持相等。设θ为质点在圆周上任意两点速度1v 与2v 之间的夹角。试证：θe 12v v =。

证明：因R a 2n v =，t

a d d t v

=，所以

t R d d 2v v =ds

v

v d d = 即

v

v

d d =

R s 对上式积分

⎰⎰=

2d d 0v v

v

v

s R s

得

1

2ln v v =R s 1

2ln v v

==

R s θ 所以

θe 12v v =

1–22 长为l 的细棒，在竖直平面内沿墙角下滑，上端A 下滑速度为匀速v ，如图1-4所示。当下端B 离墙角距离为x （x

解：建立如图所示的坐标系。设A 端离地高度为y 。∆AOB 为直角三角形，有

222l y x =+

方程两边对t 求导得

0d d 2d d 2=+t

y

y t x x

所以B 端水平速度为

t y x y t x d d d d -=v x

y

=v x x l 22-=

B 端水平方向加速度为

v 2

2

2d /d d /d d d x t

x y t y x t x -=

232v

x l -

=

1–23 质点作半径为m 3=R

的圆周运动，切向加速度为

图1-4

2t ms 3-=a ，在0=t 时质点的速度为零。试求：（1）s 1=t 时的速度与加速度；（2）第2s

内质点所通过的路程。

解：（1）按定义t

a d d t v

=

，得 t a d d t =v ，两端积分，并利用初始条件，可得 ⎰⎰⎰==

t

t

t a t a 0t

t 0

d d d v

v

t t a 3t ==v

当s 1=t 时，质点的速度为

m/s 3=v

方向沿圆周的切线方向。

任意时刻质点的法线加速度的大小为

2222n m/s 39t R

t R a ===v

任意时刻质点加速度的大小为

242

n 2t m/s 99t a a a +=+=

任意时刻加速度的方向，可由其与速度方向的夹角θ给出。且有

22

t n 3

3tan t t a a ===θ

当s 1=t 时有

24m/s 23199=⨯+=a ，1tan =θ

注意到0t >a 。所以得

︒=45θ

（2）按定义t

s

d d =

v ，得t s d d v =，两端积分可得 ⎰⎰⎰==t t t s d 3d d v

故得经t 时间后质点沿圆周走过的路程为

C t s +=22

3

其中C 为积分常数。则第2s 内质点走过的路程为：

m 5.4)12

3

()223()1()2(22=+⨯-+⨯=-=∆C C s s s

1–24 一飞机相对于空气以恒定速率v 沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为T 。若有恒定小风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为)1(<<=k k V v 。求飞机仍沿原正方形（对地）轨道飞行时周期要增加多少？

解：依题意，设飞机沿如图1-5所示的ABCD 矩形路径运动，设矩形每边长为l ，如无风时，依题意有

v

l

T 4=

（1） 当有风时，设风的速度如图1-5所示，则飞机沿AB 运动